IG' ~ MI IC+IC
donc
iwICss'UJ'IC' et Vg=:MI(w4-w').
Ainsi, les deux vitesses angulaires w et w' sont réciproquement proportionnelles aux distances des axes G et G', à Tintersection de la normale MI avec la droite GG'. Elles sont dans le même rapport que si les deux corps se touchaient en I sur cette droite. La vitesse de glissement est celle qu'aurait le point M si la normale MI tournait autour du point I avec la vitesse angulaire w + ty'. Cette vitesse est nulle quand le contact est dans le plan des deux axes, et seulement alors.
Remarquons que la droite MI peut n'être pas la normale commune aux deux surfaces qui se touchent en A. Hais elle est^ sur le plan de la figure^ la projection rectangulaire de cette normale, qui est, comme MI, perpendiculaire à la tangent^ MT. Ainsi, la relation ti>.IG = W-IG' peut s'énoncer en disant que ks vitesses angulaires w et w' sont réciproques aux distances des axes CetCà la rencontre de la normale avec te plan de ces deux axes.
Seconde méthode. — Les deux corps étant situés comme Tindique la figure 33, les rotations autour de G' et de G sont de sens contraires ; savoir w et — w'. Si nous considérons le mouvement du corps lié à Taxe G et à la courbe NMP^ relativement à l'autre corps pris pour système de comparaison, nous voyons que ce mouvement relatif est une rotation instantanée w^ résultante de iv, rotation absolue de GM et de w'j rotation d*entraînement prise en sens contraire de — w\ (34)*, donc (63) w^ = w-f-w', et l'axe instantané de cette rotation relative contient tous les points tels que I qui divisent la distance GG' en deux parties
92 ' anÉMÀTIQUE. SECT. 1, CBàP. iû.
réciproques aux vitesses angulaires w eW;'. De plus, la vitesse de glissement en M, étant aussi la vitesse relative du point M, est égale au produit M I-tv, ; et cette vitesse étant tout à la fois dirigée suivant la tangente TM (parce qu'elle est Vitesse de glissement), et suivant la perpendiculaire au rayon MI de la rotation relative (parce qu'elle est vitesse relative), il s'ensuit que la droite MI est normale aux deux courbes NMP^ X'M'P'.
81. Remarques. — i*» La relation w.IC=: wMC' est celle du numéro 55 trouvée dans une question qui a en effet la plus grande analogie avec celle dont nous venons de nous occuper. Pour le reconnaître^ il suffit de considérer les courbes NMP et IV'M'P' (fig.33) comme deux cercles qui, se touchant en M, ont leurs centres en O et O' sur la normale commune MI. Il est clair que^ pendant que ces cercles, sans cesser de se toucher^ tournent^ Tun autour de C , Tautre autour de C^ la distance OO' reste constante, et par conséquent (55) leurs vitesses angulaires sont dans le rapport inverse des distances CI et Cl.
2*> Si, au lieu de tourner en sens contraires, les deux corps tournent dans le même sens, les relations précédemment démontrées subsistent eu égard aux signes des quantités qui y entrent.
Les côtés MM„ MM', et M,M', (fig. 34) du triangle infinitésimal MM,M', sont proportionnels aux vitesses linéaires w MC, w'MC, vg, et aux côtés du triangle MLI qui leur sont respectivement perpendiculaires. On a donc
wMC __ w'.MC vg ML ~'~tL IM'
Or, à cause des parallèles MC' et IL, on a aussi
MC CC[ Mg CC;
ML ^ iC ® IL ~ IC '
SOLIDES TOURNAIT AUTOUR D'aXBS PARALLÈLES. 93
donc
n;»CC^ w'CC % (w— w')CC' .
iC ~ IC ~ IM ~ iC— IC '
donc
W'IC = wMC et vg = (w — w') IM.
Les vitesses angulaires qui, dans ce cas, sont de même sens, étaient de sens contraire dans le cas de la figure 33, et il en est de même des distances du point I aux deux centres G et C C'est ce qui explique pourquoi Tune des deux dernières équations subsiste sans changement^ tandis que l'autre diffère de son analogue par le changement du signe d'une des vitesses angulaires.
On arriverait aux mêmes résultats par la seconde méthode.
82. Cas partieulier d'une rotation et d'une translation perpendienlaire & l'axe. — Un des deux corps tourne avec une vitesse w autour de Taxe C (iig. 35). L'autre a une vitesse de translation v perpendiculaire à cet axe^ et par conséquent parallèle au plan de la figure. M et M' sont deux points de ces corps qui coïncident actuellement ; NMP et N'M'P', les intersections du plan de la figure avec les surfaces qui terminent les deux corps. Au bout du temps d^, M et M' sont venus en M^ et M',. On a
MM. =wCM*ût, AA. = vét, A.M, = v^ét.
La normale MI, commune aux deux courbes, est perpendiculaire à M\M. ; et si Ton mène CI perpendiculaire à la direction M'M\ de la vitesse v, les deux triangles MCI et M.M'M', sont semblables; donc
wCM
= — - 1= -^; donc vsswCI, et Vg =:w MI.
