ENGRENAGES

il faut et il suffit que la normale commune aux deux courbes en contact dans une position quelconque passe par le point de contact des deux cercles primitifs, puisque ce point diTise la distance des centres en segments réciproques aux vitesses angulaires.

88. Premier proeédé général pour déterminer les profils de eontaet des engrenages. — Etant donnée la COurbe mn

(fig. 40) adoptée pour une dent fixée à la roue C (*), on peut trouver celle qui convient à la dent correspondante de l'autre roue C.

Plaçons la courbe donnée dans une position quelconque relativement au point A commun aux deux cercles primitifs. Soit Aa la plus courte distance de A à la courbe mn. Si l'on fait arc AB' = arc AB, les deux points B et B' doivent coïncider, quand, en faisant tourner à droite de A les deux roues, ou rouler à gauche Tune sur l'autre restée fixe, on amène B au. contact des deux cercles. On a ainsi deux points a et B' de la courbe cherchée. La droite aA est sa normale en a, et on aura la normale en B', si Ton trace par B' une droite faisant avec le prolongement du rayon C'B' un angle P'B'N' égal à Tangle CBiV que la normale en B à mn fait avec le rayon BC.

Pour avoir un point intermédiaire, prenons entre a et B sur mn un point d et menons la normale dD ; lorsque dD sera la normale commune aux deux courbes, D coïncidera avec D' déterminé en faisant arc AD'=: arc AD. Donc, si, prenant D' pour centre, on décrit un arc de cercle avec le rayon D'd' =:Dd, cet arc sera tangent à la courbe cherchée. Si même on trace D'd' faisant avec le prolongement du rayon un angle égal à CDd, on aura en d' le point cherché de la seconde courbe.

On voit aisément comment on obtiendrait des points tels que e et e' devant coïncider en même temps que les deux points

(') Afin d'abréger, nous disons la roue C ou le cercle € pour la roue ou le cercle dont l'axe ou le centre esl C. Quand il y a lieu de désigner plus complètement un cercle, nous disons le cercle CA pour le cercle dont le centre est € et le rayon CA.

98 CmÉMÀTIQUE. SSCT* I» CHAP. III.

E et ^' des cercles primitifs, et les deux points f et f ^ qui coïqcideront en même temps que F et F'.

Un petit nombre de points ainsi déterminés^ avec la direction de la normale et par conséquent de la tangente pour chacun d'eux, fourniraient un bon moyen de solution graphique (*); mais

{*) Ajoutons même que, ce qui serait théoriquement bien préférable, on pourrait en chaque point déterminé, tel que les points a^ 4', f',. . . de la courbe cherchée calculer^ le rayon de courbure de cette courbe.

Four cela appliquons les constructions précédentes à un point a, infiniment voisin de a sur la courbe mn. La normale eai en ce point rencontre la circonférence primiUve € en A^i et lorsque, par le roulement de cette eir^ conférence sur la circonférence €' supposée fixe, le point Ai arrivera en 4'i (déterminé par la condition AJk\ ^ AA,), la droite a|A| venue en a'|V| sera la normale commune aux deux profils. La rencontre en X des deux normales infiniment voisines Aa et A^a^ détermine le rayon de courbure âX de la courbe d'af ', de même que la rencontre en e des deux normales en ëi et en ai à la courbe mn détermine le rayon de courbure aa de cette courbe. Cela étant compris, soient

aXssp, acssr, Aa=sn, angle aAC»^, ACsasA, AC'srjf.

Il s'agit de trouver la relation qui lie ces six quantités.

A cet cffet^ on remarque que, pendant que la circonférence primitive mobile passe du contact en A au contact en A, avec la circonférence fixe, toutes les lignes de la figure mobile auront tourné d'un même angle; Ainsi, A,a, venant en A/a|' aura tourné du même angle qae le rayon A|€ venant dans la direction et en prolongement de CA',.

Or, d'une part l'angle de A,a, avec A',a', (extérieur au triangle que ces droites prolongées formeraient avec cX), est égal à la somme des deux angles AcA, et AXA'f , ce qu'on peut, attendu que AA^ égal à AA', est infiniment petit, exprimer ainsi :

, ,« ., , t AA« cos 9 . AA4COS9 angle (A.a^, A'«a'i) =s — i- — I h -^ !•

D'autre parl^ l'angle de A^C avec C'A\ (extérieur au triangle que ces droites font avec €G'), est égal à la somme ACA^ -f- AC'A'4, ce qui se formule alui^i :

angle (A.C, C'A',) «= ^ + ^.