Profils de eontaet pratiques des engrenaises. — - Le
problème des engrenages cylindriques a reçu dans la pratique trois genres de solution distincts.
Première solution pratique. Engrenag^e à lanterne on ft
fuseaux cylindriques. — La coupe OU profil des dents d'une des roues C (fig. 43) est un cercle dont le centre est sur la circonférence primitive. Ces dents prennent le nom de fuseaux, et la roue s'appelle dans ce cas une lanterne. La figure représente, non divers fuseaux d'une même roue, mais diverses positions successives d'un seul et même fuseau. Les roues étant supposées tourner dans le sens indiqué par les flèches, la position O de Taxe du fuseau est celle où sa circonférence passe par le point A de contact des cercles primitifs, le centre O étant au delà de la droite CC appelée ligne des centres des deux roues. Dans la position O^ le fuseau est au delà de cette ligne des centres ; la position o est une de celles où le fuseau doit passer avant d'arriver à la position O.
Si Ton veut que la roue G' mène l'autre pendant que le fuseau passe de O en O^ , il faut qu'elle soit armée d'une dent dont la courbe soit d'abord comme AB tangente en A au cercle O et vienne ensuite en A,B, pour être tangente au cercle O, au point B, situé sur la droite O.A. Le point A^ est déterminé par la condition que l'arc AA, sur le cercle c! est égal à Tare OO^, sur le cercle C, puisque, pendant qu'un point quelconque tel que O du cercle C décrit Tare OO,, il faut qu'un point quelconque, par exemple le point A, du cercle C décrive un arc de même longueur.
Cet aperçu montre comment on pourrait obtenir autant de points qu'on voudrait de la courbe AB, en considérant autant de positions diverses du fuseau au delà de la ligne des centres. Mais on construit plus simplement cette courbe en faisant usage du principe posé au numéro 86 : on remarque que le cercle € qui porte le fuseau, roulant à gauche sur le cercle C, le centre O
PROFILS DB5 BNGftBNAGBS CYLINDRIQUES. 103
décrit relativement à celui-ci un arc d'êpicycloïde OM, d'où il est facile de conclure la courbe enveloppe AB.
L'exécution graphique de l'épicycloïde CM peut se faire ainsi (*) : O étant pris pour point décrivant, sur le cercle C actuellement tangent en A au cercle C\ on détermine Torigine IV en faisant Tare AIV de même longueur que Tare AO ; puis pour avoir un point M de Tépicyloïde situé sur un arc donné PM tracé autour de G, on fait Tare IVQ de même longueur que Tare AP et Ton détermine M par la condition que les distances rectilignes QM et AP soient égales. Non-seulement Tépicycloïde est ainsi construite par points, mais on a en chacun de ces points tels que M sa normale MQ. On pourra même trouver pour le pojnt quelconque M son rayon de courbure MF = p, soit par la formule C*)
dans laquelle R et JR' sont les rayons AG et AG', et n est la distance du point M dont il s'agit au point où la normale coupe la circonférence, ainsi n = AP ou MQ; soit par une construc-
{*) Nous rappelons ici le procédé général pour construire une épicycloîde (6g. 44).
On donne : 1<» Torigine Bf de l'épicycloïde ; 2° une position quelconque du cercle générateur C.
En faisant Tare JLP'VÊ! de même longueur que AN, on obtient le point M'. Supposons qu*on veuille avoir le point Kl sur Tare circulaire MP décrit autour du centre C. Pour l'obtenir on fait : l» arc HVft = arc AP' ou AP; S^ la distance 0^ = corde AP, sans décrire le cercle €« indiqué seulement pour la démonstration.
On pourrait aussi f^tre arc AQ' == arc AP' et corde linit a= ft'P'.
(**) Cette formule se déduit de celle qui termine la note du numéro 88^ quand on y fait : 1« r s= 0, c'est- à^lre qu^on réduit la courbe nm à un
point unique; ^ cos tp = ^, c'est-à-dire que ce point est sur la circon^
an
férence €.
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lion graphique consistant à faire SD = AP et à mener DC rencontrant PA prolongé en E, ce qui donne le rayon de courbure PE qu'on porte de M en F, centre de courbure f).
L'épicycloïde étant supposée tracée, on en conclut la courbe AB en portant sur ses normales du côté de sa concavité le rayon du fuseau, de sorte que cette courbe AB et l'épicycloïde NM ont une môme développée. Or, on sait que la développée d'une épicycloïde est une épicycloïde semblable à la première (*). Donc, la courbe AB (dont la tangente en A est AT perpendiculaire à OA , et déterminée en faisant ST = AO) , a en dedans du cercle C, au-dessous et près de A, un rebroussement situé sur l'épicycloïde développée de NM au point dont la distance à MN est égale au rayon du fuseau. Il est évident que le profil d'une dent ne peut avoir un rebroussement; ainsi, la courbe convexe AB et son prolongement intérieur au cercle C jusqu'au rebroussement , et non au delà, peuvent seuls former le profil de la dent qui, fixée sur la roue C\ doit pousser le fuseau dans le sens des flèches. Si le mouvement a lieu dans ce sens, le contact devra commencer au point de rebroussement géométrique dont nous venons de parler, un peu avant que le fuseau prenne la positioin O (**) ; bientôt le fuseau dépassera la ligne
(*) Voir, à la suite de ce Traité, la noie sur les épicycloïdes planes.
{**) On peut déterminer très-approximativement la distance entre la ligne des centres et le point de rebroussement, origine du proûl de la dent, à Tinstant où commence te contact de cette dent et du fuseau. Soit X (fig. 45) le point de rebroussement à cet instant. La normale en ce point, commune' à la dent et au fuseau, passe au point de contact A. des cercles primitifs et au centre O du fuseau. La distance OX est tout à la fois le rayon du fuseau , et le rayon de courbure de répicycloïde NO au point O; désignons-la donc par (>.La distance AO est celle qui, dans la formule citée dans le texte,
nR'
est désignée par n, et la distance AX, égale à p ^ n, est à très-peu près la distance cherchée, parce que Tangte de XO avec la ligne des centres
