Détails spéelaax svr les en^ena^es épicycloidaax

Les engrenages dont le profil se compose d'un flanc droit intérieur au cercle primitif et d'un arc d'épicycloïde extérieure, donnent lieu à deux cas distincts, selon que les dents de la plus petite des deux roues sont ou ne sont pas assez nombreuses pour que le contact puisse commencer à la distance d'un pas en avant de la ligne des centres et finir à la même distance au delà de cette même ligne. Dans le cas de l'affirmative, on borne^ comme nous allons fiexpliquer, la saillie des dents de manière à restreindre le contact dans ces limites, entre lesquelles il y a toujours deux paires de dents en contact, ou, comme on dit^ en prise.

PREHnsR CAS, — La figure 48 présente un exemple de ce premier cas. A est le point de contact des circonférences primitives AoA,AA,A,..., A^AA'^A'g... dont les centres non figurés sont désignés par G et G', et dont les rayons sont dans le rapport de 1 à 2. Le nombre de dents de la petite roue est de i5. Yoici le détail des constructions très-simples à faire pour tracer les profils complets des dents des deux roues.

\^ Diviser les deux circonférences primitives en autant de parties égales qu'il doit y avoir de dents, A étant un des points de division. On a les points A^, A„ A,, A,... sur la petite circonférence, les points A'^, A',, A',... sur l'autre. Chacune des parties des circonférences ainsi divisées est égale au pas, que nous désignerons par p.

2*» Mener les rayons CA,, CAj, C'A',, C'A',, et les cordes

Ii2 CmfiMÀTlQUB. SBCT. I, CHAP. Ul.

AA^, AAj, AA'^, AA'j, ce qui détermine les points d'intersection T„ T„ T',, T',.

3° Tracer les deux arcs de cercles T,BT,, T',ET', autour du centre C, et les deux arcs T\B'T'„ T,E'T^ autour de C.

l^ Tracer Tare d'épicycloïde AE et son égal A,T/ qui touche en T', le rayon A',C'. Ces épicycloïdes ont pour cercle générateur (93) celui qui a pour diamètre le rayon du cercle primitif C'A et qui roule sur l'autre cercle primitif CA. Tracer de même Tare d'épicycloïde AE' et son égal A'^T, qui touche en T, le rayon CA, : le cercle générateur a pour diamètre le rayon AC et roule sur le cercle C'A.

5® Faire Tare Aa égal à l'épaisseur des dents de la roue C. Dans la figure les dents sont d'égale épaisseur sur les deux roues, et cette épaisseur est de 15/31 du pas. Porter cette môme épaisseur en A,a,, Aa et A'^a'^.

6"* Les points a, a„ a' et a'^ étant ainsi obtenus, tracer les épicyloïdes ae et a,e, symétriques de AE et A,T',, et les épicycloïdes a'^e'jj et a'e' symétriques de A',T, et AE'.

Les arcs précédemment tracés (3°) déterminent les troncatures Ee^ T',e,, E'o', Tj^e',,, qui limitent les saillies des dents, les points T,, b,, B, b, Tj, où commencent les flancs rectilignes des dents de la roue C, et les points analogues T',, b',, B', b'^^, T'^, des dents de la roue C. Dans la situation indiquée par la figure, il y a contact de trois paires de dents, en T',, en A et en T,. Mais cet état est instantané, et immédiatement après il n'y a plus que deux paires de dents en contact.

7° Les flancs se prolongent vers l'intérieur des roues, soit simplement en ligne droite jusqu'à la jante dans laquelle les dents sont encastrées, soit partie en ligne droite et partie en courbe de raccordement lorsque les dents en métal font corps avec la jante. Dans Tune et Tautre disposition l'espace entre les dents d'une roue doit être suffisant pour y laisser passer, sans contact, les parties saillantes des dents de l'autre roue.

Deuxième cas. — La figure 49 est un exemple du second cas.

PROFILS DES ENGRENAGES CTUNDRIQUES. il3

Les diamètres primitifs étant encore dans le rapport de 1 à 2^ la petite roue n*a que 10 dents. Les constructions qui viennent d'être expliquées s'exécutent encore ici, sauf les modifications suivantes : les arcs de cercles passant par T^ et T^, et par T', et T'g, (3® ci-dessus) sont inutiles, et les troncatures Ee et E,e, sont plus rapprochées du centre C que le point T',,, parce que les épicycloïdes AÈ et ae, faces d'une même dent, étant suffisamment prolongées, ne se rencontrent plus en dehors de la circonférence CT',; de même les troncatures des dents de la grande roue sont plus rapprochées du centre C que le point T,.

Amplitude de prise. — II est intéressant d'étudier, dans le second cas, à quelle distance de la ligne des centres le contact des deux dents commence, et à quelle autre distance de cette ligne le contact des deux mêmes dents finit. Supposons que la grande roue mène la petite. La dent E'AB', qui actuellement pousse de gauche à droite celle qu'elle touche en A, a commencé à la toucher lorsque le point qui est maintenant en E de la petite roue était en e sur la circonférence AeT'^ dont le diamètre est le rayon C'A du grand cercle primitif. A cet instant le flanc actuellement en AB' était en ea'; ainsi, le point de la dent B'AE' qui est maintenant en A était en a', et par conséquent le point de la dent BAS, qui est aussi actuellement en A, était en a, obtenu en faisant Aa = Aa'. La même dent B'AE cessera de pousser celle qu'elle touche, lorsque E' sera en e^ sur la circonférence dont AC est un diamètre, et par conséquent le point actuellement en A de la dent BAE sera en a,, tandis que le point A de la dent D'AB' sera en cl\ obtenu en faisant Aa', = Aa^.

Concluons que, pendant que deux mêmes dents continuent de se toucher, un point pris sur Tune ou l'autre des deux circonférences primitives parcourt un arc égal à «a, ou a!a!^. Cet arc est ce que j'appellerai, pour abréger, Vamplitude de la prise des deux roues. En exécutant à grande ^échelle la figure 49, on

414 QINiSATIQVB. SIGT. I^ CSâP. IlU

trouvera que, pour le cas qu'elle représente, le rapport de Tamplitude de prise au pas est à peu près i,70. Plus Famplitude de prise approche d'être double du pas^ plus Tengrenage est près de satisfaire à la condition qu'il y ait toujours deux paires de dents en contact.

L'examen de la figure 49 suffit pour partager la durée du parcours d'un pas dans les deux roues^ en deux périodes, l'une pendant laquelle deux paires de dents sont en prise, l'autre pendant laquelle le contact n'a lieu que pour une paire. La première période commence à Tinstant où le profil curviligne d'une dent de la petite roue arrive, avant la ligne des centres, en «e, et est poussé au point e par la dent qui lui correspond dans la grande roue. A ce même instant, il y a contact au delà de la ligne des centres entre deux dents qui sont en avance d'un pas sur les deux dont nous venons de parler et ont les origines de leurs profils curvilignes en y et / ,' à une distance, au delà de A, égale à a,a et à a'^a'. Cette période de deux contacts finit quand les deux profils dont nous venons de parler arrivent en 0e« et en a'^; par conséquent, pendant toute sa durée, un peint de la petite circonférence primitive a parcouru l'arc

ya, = AA, — Ay — a|A„

quantité qu'on peut exprimer en fonction de l'amplitude de prise oLa^ et du pas AA,, car on a

Ay =: a^a = âAA^ — aai — «fA^,

d'où, en substituant cette expression dans celle de yce,,

ya» = cLOL^ — AA,.

Dans le cas particulier de roues de iO et de 20 dents, nous venons de dire que olcl^ est égal à i,70 AA^. On a donc alors

ya, =0,70 A A,,

PROFILS DBS BlfGlUaiAGllS GTUUDIUQUES. lig

e^esl-à-dire que l'arc parcouru pendant la (lériode où deut paires de dents sont en prise est les 0,70 d'un pas, et par conséquent j comme on le vérifierait directement, la seconde période, où le contact n'existe qu'en une seule paire de dents^ ne dure que pendant le parcours de 0,30 d'un pas. Ajoutons, que si l'on porte de A en ^ et en $' deux arcs égaux k a^A^,onB, en Sy et en d'y' les arcs que parcourent sur les circonférences primitives les profils des dents en contact dans la seconde période. Ainsi, pendant ce parcours, les roues ne se touchent qu'en une paire de dents, mais le contact a lieu plus près de la ligne des centres.

Quelques professeurs^ notamment Savary dans ses le^ns à TËcoIe polytechnique^ et à son exempTe Lerôi, ont émis Topinion qu'on devrait éviter de faire toucher les dents des engrenages avant leur passage à la ligne des centres. Mais les motifs allégués supposent dans l'exécution ou dans l'étal d'entretien de ces dents des imperfections grossières ; aussi, la pratique des constructeurs ne tient-elle pcûnt compte de cette prohibition. Nous avons dit (95) que^ lorsque le contact de deux dents a lieu à une distance notable de la ligne des centres, et surtout avant leur arrivée à cette ligne, le frottement devient plus nuisible que lorsque cette distance est faible* C'est dans la Mécanique appliquée^ chapitre du frottement, que doivent se trouver les développements nécessaires pour éclaircir cette question. Nous nous bornons à dire ici qu'en général il est bon de multiplier assez les dents pour que la plus grande distance du contact à la ligne des centres ne soit qu'une petite fraction du rayon, et dans ce cas l'expérience prouve que, pour obvier àFimperfection inévitable de l'exécution des dents et à leur déformation par Tusure, il est utile qu'il y ait constamment deux paires de dents en prise, une après et l'autre avant la ligne des centres. C'est ce qui se trouve réalisé dans le cas de la Jigure 48 où l'une des roues a 15 dents et l'autre 30. Si la plus grande des deux roues avait plus de 30 dents, à plus forte raison sufiirait-il

ii6 CmÉKATIQUE. SECT. I, CHAP. m.

que l'autre en eût 15 pour que Tamplitude de la prise fût de deux pas. Si les deux roues étaient égales, il faudrait qu'elles eussent chacune au moins 17 dents pour satisfaire à cette condition^ dont on peut d'ailleurs s'écarter un peu sans inconvénient notable.

Il est même certains cas où des motifs tels que la nécessité de réduire Tespace occupé par un engrenage, portent à diminuer autant que possible le nombre des dents , sans s'inquiéter beaucoup de l'économie de la force employée à le mouvoir. Dans cette hypothèse, la condition qui subsiste est qu'il y ait toujours une paire de dents en contact pendant que les vitesses angulaires des deux roues restent dans un rapport constant. Il faut donc et il suffit alors que Tamplitude de la prise soit un peu supérieure au pas. Or, un essai graphique facile à vérifier constate que, sous cette condition, quand la plus grande des deux roues a au moins 12 dents, l'autre peut à la rigueur n'en avoir que A; et que quand la première a moins de 12 dents, il est nécessaire et rigoureusement suffisant que Tautre en ait au moins 5. Mais il est à remarquer que de pareils engrenages sont beaucoup plus sujets que les autres à se déformer par l'usure, parce que la vitesse de glissement des dents devient considérable à l'instant où Tune des dents touche l'autre vers son extrémité (91), ce qui fait qu'après un certain temps de service les pointes des dents s'effilent, tandis que leurs flancs se creusent dans leur partie*la plus rapprochée du centre, et le mouvement des deux roues perd la propriété du rapport constant de leurs vitesses angulaires. Sans doute le même genre d'usure a lieu dans les engrenages dont les dents sont assez nombreuses pour que Tamplitude de prise soit de deux pas ; mais cette usure est beaucoup moindre, parce que, à l'instant où une paire de dents est en contact à une distance de la ligne des centres qui rend leur glissement considérable, à ce même instant une autre paire de dents est en contact près de la ligne des centres sans glissement sensible et par conséquent aussi