Rotation et translation oscillatoire. — Si la COUrbe

était plane et par conséquent une ellipse^ la rotation simple de Tun des corps toujours dans un même sens produirait un mouvement d'oscillation de Tautre corps. Soit t Tangle du plan de la courbe avec un plan perpendiculaire à Taxe de rotation, que nous supposons vertical pour fixer les idées. A un certain instant, le §oint glissant sur cette courbe est en A (fig. 64), extrémité de son diamètre horËBontal. Au bout d'un certain temps^ le cylindre ayant tourné d'un angle a égal à AOA', le second corps se sera élevé d'une hauteur AN égale à A'M ou A'P tang i ou OA sin a tang i ; d'où il siHi-què ce point glissant du corps en translation a la même projection sur une verticale qu'un point m qui se mouvrait sur un cercle vertical dont le rayon oa serait égal à OA tang t, avec la môme vitesse que tout point qui sur le corps tournant est situé à cette distance OA tang i de son axe de rotation. Lorsque la rotation est uniforme, le mouvement oscillatoire du corps en translation est celui qui a été indiqué (i8), comme exemple de mouvement varié.

TIS SANS Fin.

iiO. Liaison de'denx rotations dont les axes non concourants sont rectangulaires. — L'engrenage connu sous le nom de vis sans fin réalise cette liaison dans le cas où les rota-tions sont en rapport constant.

On se fait une idée juste, quoique incomplète^ de ce mécanisme, en imaginant qu'au peigne mentionné au numéro 108 soit substituée une roue dentée tournant autour d'un axe fixe, situé à une certaine distance de Taxe également fixe de la vis, et perpendiculaire à sa direction. On reconnaît au premier aperçu que la vis, en tournant sans translation, entraîne la roue au moyen de quelques dents engagées entre ses filets et continuellement remplacées par d'autres, comme la même vis entraînerait un long écrou qui ne pourrait se mouvoir que par trans-

136 cnvfiiUTiQins. sbct. i, ciup. ra.

lation parallèle à Taxe de cette même vis. Celle-ci prend dans ce cas le nom de vis sans firiy parce qu'elle peut tourner indéfiniment en menant la roue dans le même sens, ce qui n'a pas lieu pour un écrou ou un peigne rectiligne.

Profils des filets de la vis sans fin et forme des dents de la

rone. — Une observation que chacun a pu-, faire, c'est que^ lorsque nous regardons une vis tourner sans translation^ si elle est. un peu longue et que notre attention ne se porte que vers son milieu, ou mieux encore si ses extrémités sont masquées, il nous est difficile da^Aous défendre d'une illusion par laquelle la vis nous semble se déplacer par une simple translation ; et cette translation est uniforme si la vitesse angulaire de la vis est constante : sa vitesse apparente linéaire est telle, qu'un parcours Fcctiligne d'un pas semble se faire pendant chaque révolution effective de la vis. L'explication fort simple de ce fait» c'est que la perspective ou la projection, sur un plan fixe, des positions successives de la vis varie de la même manière, soit que la vis tourne, soit qu'elle se meuve sans tourner, et que, pour nous faire admettre ce second cas moins simple^ il faudrait que quelques circonstances, comme des taches ou marques quelconques sur la vis nous avertissent de l'existence de la rotation. C'est ainsi qu'une surface de révolution de couleur parfaitement uniforme et tournant autour de son axe de figure nous paraîtrait immobile.

De là il résulte que les dents de la roue doivent, par leur forme^ satisfaire aux mêmes conditions que si elle engrenait avec la vis qui, sans tourner, se transporterait en glissant le long de son axe fixe , à raison d'un pas par tour de sa rotation effective.

La vis, dans cette hypothèse, ferait exactement la fonction d'une crémaillère, sauf cette différence, d'avec la crémaillère ordinaire, que le profil de celle-ci, dans des plans quelconques perpendiculaires à l'axe de la roue, est toujours le même, tandis

que les intersections de la vis par ces plans varient avec leur distance à son axe.

Cette remarque nous conduit à dire que dans la pratique on distingue deux espèces de roues engrenant avec une vis sans fin. Dans la première, la partie utile de la roue se réduit à une tranche très-mince dont le plan milieu passe par Taxe de la vis : chacune des dents de la roue actuellement en contact avec la vis ne la touche qu'en un point situé dans ce plan (point qui varie d'un instant à un autre), et les dents sont terminées extérieurement, comme dans une roue droite ordinaire, par des troncatures figurant une surface cylindrique de révolution.

Dans la seconde espèce, l'ensemble de la roue, abstraction faite des entailles ou vides entre les dents, présente Taspect d'une poulie creusée à son pourtour extérieur en une gorge qui embrasse partiellement le noyau de la vis, en laissant un espace convenable pour le jeu : une dent de la roue, en contact avec la vis, la touche simultanément en une suite de points qui forment une courbe changeant d'un instant à un autre^ et sur sa roue et dans Tespace.

■Etudions séparément ces deux espèces de roues.

Roue de première espèee pour tIs sans fin. — Puisque les

filets se déplacent et se succèdent dans le plan milieu de la roue comme les dents d'une crémaillère, le profil de ces filets et celui des dents de la roue^ dans ce plan^ doivent être tels, qu'ils conviendraient à une crémaillère et à sa roue cylindrique. L'un de ces deux profils peut être quelconque, sauf certaines exceptions (86), et l'autre en est une conséquence. Dans tous les cas, on commence par tracer la circonférence primitive de la roue et la droite tangente parallèle à l'axe de la vis , lesquelles^ circonférence et droite^ étant entraînées l'une avec la roue, l'autre avec la crémaillère fictive, doivent avoir à chaque instant la même vitesse et porter des dents d'égal pas. Sais il y a lieu de distinguer pour la pratique les deux derniers systèmes de profils

138 CnfÉHATIQUB. SIGT. I, CHÀP. m.

indiqués au numéro i04, savoir : le système à flancs normaux aux lignes primitives, et le système à normale constante.

Dans le système des profils à flancs normaux^ le profil de la crémaillère^ c'est-à-dire du fliet de la vis, est composé d'un flanc ou partie intérieure en ligne droite perpendiculaire à la tangente primitive, et d'une partie extérieure, arc de cycloïde tangent au flanc droit et engendré par une circonférence, dont le diamètre est égal au rayon de la circonférence primitive ; le protil de la dent de la roue est composé d'un flanc droit dirigé suivant un rayon et d'une courbe extérieure, arc de développante de la circonférence primitive.

Dans le système des profils à normale constante, les lieux des contacts sur les deux faces des dents sont deux droites qui se croisent au point commun des deux lignes primitives et sont tangentes à une circonférence intérieure concentrique avec la circonférence primitive. Le profil du filet de la vis devient triangulaire, et celui des dents de la roue est formé de développantes de la circonférence intérieure qui vient d'être mentionnée. Ce système a pour caractère spécial que la distance de Taxe de la vis à celui de la roue peut varier dans certaines limites, sans que les mêmes profils cessent de convenir et que le rapport des vitesses soit changé.

Quant à la forme des dents de la roue hors du plan milieu, il est facile de satisfaire théoriquement à la condition qu'à chaque instant la vis et une dent de la roue se touchent en un point de ce plan. Pour cela on peut limiter la dent par une surface réglée dont voici la détermination. A étant, dans le plan milieu pris pour celui de la figure 65^ le point de contact de la circonférence primitive GA de la roue et de la droite primitive AB de la vis dont la droite OZ est l'axe, si M est le point où se touchent le filet dont le profil est IM n, et la roue dont le profil est LM X, il sufiit d'imaginer qu'on mène par ce point M une tangente à l'hélice qH sur la vis passe par le même point pour avoir la génératrice rectiligne correspondante de la surface réglée

dont il s'agit^ surface qui, évidemment, est tangente en M à celle du filet C).

Roues de deuxième espèce pouv vis sans fin. ^ L'idée de

la vis considérée comme une crémaillère en translation rend très-facile à concevoir la détermination de la denture de la roue comme une conséquence de la figure adoptée pour la vis. Supposons donnés :4° le profil des filets ; 2*» leur nombre -, 3® leur pas ; 4<> la plus courte distance de l'axe de la vis à celui de la roue; 5® enfin le rayon primitif de celle-ci. Imaginons que Pon coupe la vis et la roue par un plan perpendiculaire à Taxe de cette dernière. Si ce plan passe par l'axe de la vis, il rencontre les filets suivant ce que nous appelons spécialement leurs profils, formés chacun de deux parties symétriques relativement à une droite perpendiculaire à Taxe de la vis. Dans toute autre position le plan coupe les filets suivant des courbes qui, faciles à construire par points,, n'ont plus la propriété de symétrie du profil principal. Dans tous les cas, le plan coupe le cylindre priiiiitif de la roue suivant une circonférence dont le centre est dans Taxe fixe de cette roue, et la connaissance de cette circonférence et du profil particulier correspondant de la vis^ crémaillère fictive, suffit pour construire les courbes que doivent présenter les dents de la roue, suivant le procédé général expliqué au numéro 88, et applicable au cas particulier où Tune des circonférences primitives considérées dans cet article a son rayon infini. Cette indication démontre, si ce n'est la facilité, au moins la possibilité de déterminer , par un nombre suffisant de coupes parallèles , la figure qui convient à la roue, d'après les cinq données que nous venons d'énumérer.

(') Nous ne nons arrêtons pal à démontrer que, dans le système d'engrenage à flancs normaux ci-dessus indiqué^ la surface réglée de la dent, dans sa partie eitérieure au cylindre primitif, est un héliçoîde développable dont Itis intersections par des plans paraUèles au plan milieu sont des développantes égales à celle du profil milieu de la dent.

140 CmtHÀTIQUB. 8IGT. I, CHÀP. m.

i 1 1 . Relations entre les diverses quantités ft considérer dans une vis sans fin et sa rone. — Ces quantités SODt :

dans la vis, i<» le rayon moyen ou primitif r'

2"» le pas des hélices h

3"" le nombre des filets distincts n'

4® Tangle d^inclinaison de Thélice moyenne

sur le plan perpendiculaire à l'axe t

5<* la vitesse angulaire w*

dans la roue, 1° le rayon moyen ou primitif r

2<* le pas mesuré sur la circonférence primitive , égal à la distance de milieu en milieu de deux spires voisines de la vis. p

3^ le nombre de dents n

4° la vitesse angulaire w

dans la vis et la roue, la vitesse de glissement que nous nous bornerons à considérer au point de contact situé sur la perpendiculaire commune aux deux axes, de la vis et de la roue. Nous désignerons cette vitesse de glissement par. • . Fg. Etablissons les équations qui existent entre ces dix quantités. Le pas de la roue est évidemment lié au nombre de ses dents et au rayon primitif par l'équation

Si la vis n'avait qu'un filet, le pas h de ses hélices serait égal au pas p de la roue, parce qu'il serait égal au pas de la crémaillère fictive que figure la vis. Mais s'il y a plusieurs filets distincts, c'est la distance de deux filets voisins qui est égaie au pas p. On

a donc

L'angle i est évidemment lié aux quantités précédentes par l'équation

tangi = 2^. • [31

Tis SANS pm. 141

Pendant que la vis fait un tour, un point de la crémaillère fictive se déplace de la quantité h , tandis que la circonférence primitive de la roue, s'avançant de la même quantité h, tourne

d'une fraction de tour qui est exprimée par - — ; c'est le rap-

zTTr

port des vitesses angulaires, lequel d'après [i] et [2] se réduit à

c'est-à-dire que les vitesses angulaires sont réciproques aux nombres des dents de la roue et des filets distincts de la vis. Cette relation est analogue à celle qui a lieu dans un engrenage ordinaire. A ce propos, on remarquera que, si l'on coupe une vis à plusieurs filets distincts par un plan perpendiculaire à Taxe, la section obtenue présente l'aspect d'une roue dentée dont les dents ne sont pas symétriques. En désignant par p' le pas de cette roue mesuré sur la circonférence moyenne de la vis, dont le rayon est r\ on a

P =— rî

ce pas n'est donc pas en général égal au pas p de la roue engrenant avec la vis.

Pour calculer la vitesse de glissement relatif de la roue et de la vis, à l'instant où elles se touchent sur la perpendiculaire commune aux deux axes, exprimons (74) la distance qui, au bout du temps df, séparera les deux points de la roue et de la vis actuellement confondus au contact. Celui de ces deux points qui appartient à la roue aura parcouru l'espace wràt parallèle* ment à l'axe de la vis, tandis que l'autre appartenant à la vis aura parcouru Pespace wVdt' perpendiculairement au même

axe. L'espace qui les séparera est donc l/^ {w^r^+w'^r^^) df,

142 GinfiMATIQCB. 8BGT. I, GHÀP. m.

ce qui donne la vitesse de glissement

Fg = J/wV^ + wVa ; [5],

c'est-à-dire que la vitesse de glissement est égale à Thypoténuse d'un triangle rectangle dont les deux c6tés d'angle droit sont les vitesses linéaires des deux cylindres primitifs de la roue et de la vis.

En résumé, il existe cinq équations nécessaires entre les dix quantités énumérées au commencement de cet article, et parmi lesquelles n et n! doivent être des nombres entiers. Supposons, par exemple, qu'on se donne :

Le rayon moyen de la roue r =0™,1;

L'inclinaison de Thélice moyenne de la vis. . tang i =0,3;

Le nombre des dents de la roue n=50;

Le nombre des filets distincts de la vis n' = 3.

On conclut :

1*» Le rapport des vitesses angulaires (équation [4]). — = — ;

2* Le pas de la roue (équation [i]). ;»=-^— - — = 0",01257;

DU

3^» Le pas des hélices de la vis [2] A=0",0377;

4* Le rayon moyen de la vis [3] . . r' = \ = O^jO^

(on aurait pu aussi bien se donner r' et calculer tang t).

5° La vitesse de glissement comparée à celle de la circonférence primitive de la roue [5]

^^9à, Cas de réciproeité de l'engrenagpe de la vis sans

fin. — Si l'on ne considère qu'au point de vue géométrique

Fengrenage de la vis sans fin, il semble que Ton peut indifféremment mener la roue par la vis (ce qui en est le cas le plus fréquent en pratique)^ ou la vis par la roue (comme cela se voit, par exemple, dans les tourne-broches, ou dans l'appareil de M. A. Morin servant à constater la loi de la chute des corps sous l'action de la pesanteur, où l'arbre vertical de la vis porte un volant à ailettes tournant rapidement et destiné à modérer et régulariser le mouvement du mécanisme par la résistance de l'air). Mais cette faculté réciproque n'existe pas toujours pour une vis donnée et sa roue : le frottement inévitable des surfaces en contact s'oppose à ce que la roue puisse mener la vis lorsque l'inclinaison i est trop petite, et réciproquement la vis ne pourrait pas mener la roue si cette inclinaison était trop grande. Lorsque Pangle i diffère peu de 45^, et que les jsurfaces sont suffisamment polies et onctueuses, on peut à volonté faire conduire Tun des deux organes par l'autre. Nous nous bornons à ces iDEdications qui seront justifiées et complétées dans le Traité où nous nous occuperons de la théorie du frottement dans les machines.

lis. Exécution mécanique de la roue d'une iri^ sans

fin. — Le glissement mutuel des surfaces dans l'engrenage de la vis sans fin est, à cause du frottement, un inconvénient sous le rapport de l'économie de la force, qui, appliquée en un certain point de l'un des corps tournants, doit vaincre les résistances exercées en certains points de l'autre corps. Mais cette propriété de glissement a l'avantage de permettre de se servir de la vis comme d'un outil pour donner aux dents de la roue la forme qui leur convient le mieux. Pour cela on exécute la vis en acier ; on en fend les filets par des rainures étroites, à arêtes vives, et suffisamment multipliées, dont le plan milieu passe par l'axe ; puis on durcit cette pièce par la trempe. D'une autre part, on prépare la roue en lui donnant la forme d'une poulie à gorge, et Ton ébauche la denture par des entailles en nombre égal à

i4A cmfiMÂTiQUB. SBGT. I, CHÀP. ni.

celui des dents qu'on veut obtenir, inclinées et assez larges pour que les filets de la vis s'y engagent, quoique incomplètement. Ensuite on installe la roue et la vis respectivement sur leurs arbres dont les axes sont à angle droit, celui de la vis étant dans le prolongement du plan milieu de la roue ; ces arbres sont d'ailleurs disposés sur leurs supports , de manière qu'on puisse peu à peu les rapprocher et les amener à la distance où ils doivent être définitivement maintenus. Ces dispositions prises, on fait tourner celui des deux corps qui doit mener l'autre ; les filets mordants de la vis liment les parties des entailles de la roue dans lesquelles ils s'enfoncent peu à peu^ jusqu'à ce que celles-ci soient devenues les enveloppes des positions successives que prend la vis dans son mouvement relativement à la roue. En continuant de faire tourner les deux corps sans rapprocher les axes, et en exerçant sur la pièce menée une faible résistance, on use une face de chaque dent de manière à obtenir le jeu que l'on juge convenable. La vis qui a servi Coutil est ensuite remplacée par une autre de même profil et de même pas> mais polie et sans rainures.

Nous expliquerons plus loin le mécanisme au moyen duquel on exécute facilement et exactement une vis dont le profil et le pas sont donnés.

BHGREKAGE HTPERBOLOlOE.

1 i4. Préliminaires sur ce sujet. — On emploie depuis assez longtemps dans les machines de filature un genre d'engrenage que, par un trop rapide aperçu, on confond aisément avec un engrenage conique, quoiqu'il en diffère essentiellement, en ce que les axes des deux corps tournants ne sont pas dans un même plan^ et sont seulement très-proches. Nous nous proposons d'exposer ici la théorie générale de ce mécanisme, sans faire aucune hypothèse restrictive, ni sur la distance des deux axes^ ni sur Tangle qu'ils forment dans l'espace.

EIYGRENÀGE HTPERBOLOÏDE. 145

On sait (84 et 106) que le premier pas fait dans l'étude des engrenages cylindriques et coniques consiste à' remarquer que la liaison entre les mouvements de deux corps, qui tournent avec un rapport constant de leurs vitesses angulaires, autour d'axes différents situés dans un même plan, s'obtient au moyen, soit de deux cylindres de friction (si les axes sont parallèles), soit de deux cônes de friction (si les axes se rencontrent), cylindres ou cônes qui se touchent le long d'une génératrice recliligne commune, et roulent sans glisser l'un sur Tautre. Ces deux surfaces dites primitives une fois déterminées, d'après le rapport' connu des vitesses angulaires des corps qu'elles entrainent, on les arme le plus souvent de dents, ou plutôt on remplace les surfaces primitives, devenues simplement idéales, par des dents dont les formes doivent être telles, que, lorsqu'elles se poussent mutuellement, rien ne soit changé à la loi de liaison des deux mouvements de rotation.

On a dû être ainsi conduit à demander quelles seraient les surfaces de révolution qui, en tournant autour de leurs axes respectifs et en roulant relativement l'une sur l'autre, se toucheraient suivant une ligne droite et rempliraient, dans le cas général où les axes ne sont pas dans un même plan, une fonction analogue à celle des surfaces primitives, cylindriques ou coniques, propres à deux axes parallèles ou concourants. Poser ainsi la question, c'est dire que les surfaces cherchées, si elles existent, doivent être des hyperboloïdes de révolution, et c'est en effet ce qu'a énoncé M, WilliSy savant auteur d'un ouvrage anglais justement estimé, ayant pour titre : jPrmct/)/^5 ofmechanism. Mais, faute d'une étude suffisamment approfondie de la question, il a inexactement indiqué la détermination de ces deux surfaces, en supposant, comme d'autres auteurs l'ont admis après lui, que la génératrice de contact doit partager la plus courte distance des deux axes en deux parties réciproques aux vitesses angulaires.

Les considérations qui suivent vont redresser celte erreur. Ce

1^6 CDifiiUTtQVit. PICT, h C^HiFf in.

ne 3ont que des déductions immédiates d^ tA théorie exposée au chapitre II de ce Traité, sur les divers mouvements d'un système invariable.

Le problème qui se présente est celui-'Ci : En supposant que deux corps solides tournent simplement et uniformément autour de deux axes respectifs , fixes dans ^espace et d'ailleurs quelconqueSf il s'agit de définir le mouvement de l'un de ces corps relati" vement à l'autre. Ce mouvement relatif jouit évidemment des propriétés générales du mouvement absolu d'un système invariable. Ainsi ;

Premièrement (68), ce mouvement, à chaque instant , ^ un axe central ou a^e instantané de rotation et de glissement, ce qu'on exprime clairement par une image, en disant que les vitesses du corps relativement mobile (oe sont ÎQÎ des vitesses relatives à l'autre corps pris pour système de comparaison) ont entre elles les mêmes relations que si ce corps était acituellemeut lié à une certaine vis qui se mouvrait dans son écrou relativement immobile. L'axe de la vis est l'axe instantané de rotation et de glissement -, il change de position relative d'un instant à un autre quelconque^ et sans la condition de l'uniformité du rapport des vitesses angulaires absolues, le pas de la vis change-* rait aussi.

Secondement (70), les positions successives de Taxe instan** tané, relativement au second corps, formant une surface réglée, et ses positions successives dans le système invariable dont fait partie le premier corps en formant un antre, ces deux surfaces (qui dans le cas particulier qui nous occupe vont être deux byperbolpïdes) sont à chaque instant tangentes l'une ^ l'autre, tout le long de leur génératrice commune , et elles roulent l'une sur l'autre en glissant suivant cette génératrice! axe central du mou^ vement relatif à ce même instant (*).

n Un modèle en relief irès-bien exécuté par M, Clair, ti^bila mécanicien constructeur à Paris, îi'après les instructions elles figures cotées que je

ENQRBUàGB HTPERBOI.QÏDB. 147

11^, Vlleiiaesi de rim des deux eorps tonmaHts velatlvement 1^ l'imipe* -^ Précisons ces généralités par leur application aux deux corps désignés y et posons d'abord les données du problème- Bien que les deux axes de rotation soient quelcon- ({UQ9« on peut, pour faciliter le langage et les figures, les supposer dans deux plans parallèles, verticaux , et considérer Tun des axes comme horizontal.

Ainsi, un corps que, pour abréger, nous appelons corps C tourne autour de l'axe A'B' (fig. 66), supposé horizontal et dirigé de gauche h droite, avec une vitesse angulaire représentée par la longueur A'B', et par le nombre W.

Un autre corps C tourne autour de AB, supposé dans un plan vertical parallèle à A'B', avec une vitesse angulaire représentée par la longueur AB et par le nombre — w, le sens de la rotation de G autour de AB étant contraire à celui de la rotation v/ de C autour de A'B'.

La plus courte distance ou perpendiculaire commune aux deux axes est Thorizontale A A' = p.

L'angle de AB*et de l'horizontale Ab, parallèle à A'B' et de même sens, est désigné par BAb = a.

Pour étudier, au point de vue des vitesses actuelles, le mouvement du premier corps relativement au second, imitant ce que nous avons déjà fait au numéro 75, imprimons à l'ensemble des deux corps en mouvement une rotation additionnelle et contraire à — w. Le second corps C est alors réduit au repos, et le corps C a un mouvement composé de w' autour de A'B', et de w autour de AB.

lui ai remises en février 1860, modèle dont un exemplaire appartient au CoBservatoire des Avis et Métiers^ conûrme au besoin Tesactitude de la théorie exposée oi->après. Il est bien entendu qu'en pratique un engrenage de ce genre se compose de deux tronçons sensiblement coniques, et que les surfaces étendues du modèle n'y sont que pour faire voir et comprendre quelles sont sur ces surfaces primitives les directions des génératrices qui doivent être les lignes de naissance des surfaces courbes des dents.

i48 CINÉMATIQUE. SBCT. I^ GHAP. HI.

Cherchons Taxe central de ce mouvement composé. Pour cela (66), dans le corps G' introduisons autour d'une droite passant par A' (fig. 67) et parallèle à AB (droite qui étant projetée horizontalement suivant A'B' et verticalement suivant AB, sera appelée la droite (AB, A'B')), deux rotations de grandeurs égaler entre elles et de sens opposés : Tune w^ = Wy l'autre w4=—tw.

La rotation w autour de AB et la rotation w^ ou —w autour de (AB, A'B'), appartenant ainsi au mouvement relatif du corps C'y forment (64) un couple de rotations équivalent à une translation perpendiculaire au plan A'AB, savoir, parallèlement à la droite AV de la figure

i^=pw. [4]

Les deux rotations w' et w^ dont les axes représentatifs se coupent en A' et se projettent en vraie grandeur en Ab et AB, sont équivalentes à une rotation unique «^, dont l'axe représentatif se projetterait horizontalement suivant AB, et se projette verticalement et en vraie grandeur en AW, diagonale du parallélogramme BAbW, dont les côtés sont égaux et parallèles aux axes représentatifs des rotations w et w\

Désignons par |3 et |3' les angles BAW, bAW, que la diagonale AW fait avec les axes AB et A'B', et nommons a leur somme : les trois équations

^ ^ ' sm j3' sm j3 sm « ' '■^

feront d'abord connaître les angles /3 et j3', quand le rapport des vitesses angulaires w et w', et Tangle a des deux axes seront donnés, puisqu'on a, par exemple,

w sin p = w' sin (« — j3) = w' (sin « cos /3— cos « sin ]3),

ENGRENAGE HYPBRBOLOÏDE. 149

d'où

cot ^=- — (— , + cos a ), f3]

et de même

cot fi =-: — ( h cos a ;

'^ sm « \w /

puis on calculera, à volonté, soit

fV sin a , W sin «

soit — = -r

sin/3' w sin /3'*

La tj^anslation F perpendiculaire au plan BAA\ et la rotation fV dont Taxe passe par A', étant ainsi obtenues, on en conclut, par le moyen connu (67) et comme nous allons le répéter, la direction de Taxe central^ et d'abord la vitesse de glissement V^ qui s'y rapporte.

La vitesse F, perpendiculaire à AB, se décompose en deux, l'une suivant AW, et l'autre perpendiculaire à cette même diagonale. On a pour la première qui est la vitesse de glissement, en ayant égard aux équations [1] et [2],

Fg = Fsin j3 =;»w sin j3 =;>w' sin j3', [-4]

formule dont l'interprétation géométrique est très-facile, et sera d'ailleurs indiquée tout à Pheure. On peut en conclure^ d'après la relation [3], l'expression de la vitesse de glissement en fonction des quatre données p^ a^ w et W.

pww sm a

L/iw3 f- n;'2 j. 2um;' cos a

La seconde composante de F, perpendiculaire à AW, est

i50 CmÉKAtIQUB. SBCT. I, CHAP. lO.

F cos j3 = pv) cos /3, translation qui se compose avec la rotation ff^y autour de Taxe (AW, A'B'), en une rotation simple, dont l'axe, parallèle à AW et ayant une vitesse nuUe^ coupe la droite AA' en un point T, situé à une distance de A' qui, désignée par A'T = a\ est déterminée par l'équation

f¥^a' — pw cos j3 = 0.

La distance TA, désignée par a, serait, à cause de l'analogie des notations, donnée par Téquation

fVa—pw'cos^' = Oy

ce qu'on vérifie d'ailleurs en ajoutant ces dernières équations, qui donnent la relation ff^p=:p(wcos^ + w' cos! ^) évidente d'après le parallélogramme BAbW.

De là on conclut^ par division et en recourant aux équations [2],

a w' cos |3' sîn j3 cos /3^

« W cos j3 sin ]3^ cos j3

et finalement

A tang p a' ~ tang /3'

Ainsi se trouvent déterminées par les équations fâ] et [5] la position et la direction de l'axe instantané de rotation et de glissement du mouvement du corps C relativement au corps C; la dernière équation [2] fait connaître Tintensité ff^ de la rotation relative, et l'équation [4] donne la vitesse de glissement Fg qui se compose avec cette rotation.

liO. Coiistraetioai fpraphlqne des fommlMi préoédeatéB.

— * Lei équations que nous venons d'obtenir s'interprètent géométriquetoènt d'une manière très*slmple.

Connaissant l'angle a des deux axes A'B' et AB> p tin \M leur plus courte distance, tw' et ti) les vitesses angulaires des deux corps autour de ôes axes, exécutez les constructions sui* vantes :

1° Faites le parallélogramme bABW dont les côtés Ab et AB sont parallèles aux axes, proportionnels aux valeurs absolues dfes vitesses angulaires rjo' et tu, et dirigés de manière que, l'un dés corps, C, étant supposé tourner autour d'une parallèle à Al* dans le sens positif, l'autre corps C tourne autour de AB dàbs le sens négatif : la diagonale AW sera parailèle à Taxé instantané de rotation et de glissement de chacun des deux corps i*elâtivement à Tâutre, et représentera, pour la grandeur et le s&ni, la vitesse angulaire du premier corps relativement au second.

3:^ Mene^, perpendiôulairement à Iti diagonale, la droite telle^ ment située que sa partie lUi' interceptée dans l'angle bAB du parallélogratnme soit égale à la distance p des déujc axes : elle se trouvera divisée, à sa rencontre i avec là diagonale, en deux parties ai et a't respectivement égales aux distances Al" =±: it et AT'=: a\ des points A et A' au point T, où la perpendiculaire AÀ' ôoi^mune aux deuit axes de rotation est coupée perpendiculairement par Taxe central instantané du mouvement relatif dés deux corps. En effet, les deux distances ut et a't étant respectivement égales à At.taiig j5 et à At'taUg j3' satisfont à l'équation [3].

3° Portez dé A en a^ sur la diagonale une longueur égale à p : si vous imaginez que le point a, ainsi obtenu^ et dont les distances à Ab et à AB sont p sin j3' et p un ^^ tourne , soit autour de Ab avec la vitesse angulaire id', soit autour de AB avec la vitesse angulaire tu, la Vitesse linéaire qu'aura ce point a^ est égale à la vitesse de glissement v^ , conformément à l'équation. [4].

152 CINÉMATIQUE. SECT. I, CHÀP. Ht.

ii7. HouTemeiit eontinu de l'un des corps relatiTenieitt

à l'autre. Hyperboioides primitifs. ^- Nous venons de reconnaître la loi du mouvement du corps C relativement au corps C, à un instant quelconque, c'est-à-dire la loi qui, à cet instant, lie entre elles les vitesses relatives du premier corps. Il ne s'agit plus que de voir ce que devient, d'un instant à un autre, ce même mouvement relatif.

Le point A reste immobile; le point A' qui, dans respace,est fixe aussi, tourne, dans son mouvement relatif, autour de l'axe AB, en vertu de la rotation additionnelle w attribuée au système des deux corps pour détruire la rotation — w du corps C autour de ce même axe AB. Le point A' décrit donc, relativement au corps C, un cercle autour de A, dans un plan perpendiculaire à AB. Le point T en fait autant ; et l'axe central instantané passant à chaque instant par ce point, étant toujours perpendiculaire à AT et faisant toujours avec une parallèle à AB l'angle invariable j3, décrit par conséquent un hyperboloïde de révolution dont le cercle de gorge a pour rayon la distance a.

Ce raisonnement, s'appliquant aussi bien à Taxe A'B^ qu'à AB, on voit que le même axe central instantané décrit, relativement au corps C, autour de A'B', un hyperboloïde dont le cercle de gorge a pour rayon la distance a' = A'T, et dont la génératrice fait avec une parallèle à Taxe A'B' l'angle |3'.

Or, suivant la proposition générale démontrée au numéro 70, les deux hyperboloïdes ainsi engendrés par Taxe central instantané jouissent de la propriété d'être continuellement tangents tout le long de cette droite, et de rouler l'un sur l'autre en glissant suivant cette même génératrice. Nous les appelons hyperboloïdes roulants ou primitifs, par analogie avec les cylindres et cônes primitifs des engrenages ordinaires.

Quand on connaîtra l'angle a des deux axes, leur distance p et le rapport des vitesses angulaires w' et w, les constructions indiquées au numéro précédent pourront servir à déterminer : 1° les angles |3 et JS' de la génératrice commune des deux

ENGRENAGE HTPERBOLOÏDB. 153

hyperboloïdes avec leurs axes, 2^ les rayons a et a' des cercles de gorge, 3^ la vitesse de glissement donnée par la formule [4] et correspondante à une vitesse angulaire donnée.

Il 8. I^uations des hyperbole»» méridiennes des hyperboloïdes primitifs. — Prenant Taxe des jc suivant AB (flg. 68) et Taxe des j^ suivant une perpendiculaire passant par A, attendu que AW est une asymptote de Thyperbole méridienne verticale de Thyperboloïde dont Taxe est AB, on a pour exprimer cette courbe

y=±^j/P+r^ et i = ^^,

formules où Ton peut loettre pour tang |3 sa valeur déduite des équations [2], comme on Ta vu ci-dessus; ou bien, si Ton se contente des constructions graphiques indiquées au numéro 116, on reconnaît immédiatement que b est la longueur At de la figure 67.

La méridienne de Thyperboloïde dont l'axe est A'B' est obtenue de même par les équations

^=±^^\/WT^ et b'=—^ ^ ^ VV ^ tang^'.

Or, il résulte de l'équation [5] que les deux demi-axes non transverses h et V sont égaux, de sorte que Péquation de la méridienne relative à Taxe A'B' peut s'écrire ainsi

et si Ton coippare les deux ordonnées y et y' qui correspondent à des abscisses x et x' égales entre elles, on trouve la proportion très-simple et commode pour construire ou calculer l'une des courbes, quand on a Pautre

i5é CINfliATiQOR. MCÏ. I^ CÈÀf. ku.

Si Ton veut n'eraployef que le calcul poUf déteritiitter léô axes principaux des deux hyperboles méridiennes, on commencera par calculer le rapport de « à a\ d'après les équations [5J et [3], savoir :

iv'

h cos «

— ; + cos «

d'où étant donné a + a' =: p^ on conclura a et a' ; ou bien directement

+ cos a — r + <^^s a

a=zp' et a'szp • * — »

— ; H h 2 cos a --

7 + — + 2 cos a --.4. ^ + 3 cos «

puis on calculera l'axe non transVerse d'après la formule [3]

/ + cos a] I h cos « )