P'M' PL

TÏT ■" TÏ7 ' '- ^

et remarquons que ces quatre longueurs s'expriment facilement en fonctions des angles a, |3, |3', et des distances a, a' et z : 4* Le triangle rectangle P'M',0' donne

(M'M'.)a (Mm)« a» sin» <3' .

~ MO' "~ MO' ■" a' '

V On a évidemment

TM' == Am =: z COS j3' ;

' 3<» Les triangles semblables PL'M ^ et O^M^m, donnent

^^ — — lûT^ '

ENGRENAGE HTPERBOLOÏOE. 157

d'où, à cause de O^m, = CM = z sin /3, de M^m, = « et de

MjM , = LM = = î: on conclut]

cos a cos a

a * cos ' 4'' On a enfin

TL'=:AL = -^=i£^. .

cos a cos a

En substituant ces quatre expressions dans Téquation [6], on obtient pour la condition cherchée, après réduction

tang ^' tang /3

c'est-à-dire Téquation [5] indépendante de z, ce qui prouve que le contact des deux surfaces précédemment déterminées existe tout le long de la génératrice commune. On voit aussi que deux hyperboloîdes de révolution pris arbitrairement pourraient ne pas satisfaire a cette condition, puisque, le rapport des rayons de gorge étant donné, ainsi qu'un des angles j3 et j3S l'autre doit avoir une certaine valeur.

1!21. Cas parlienlier où les axes de rotation sont reetan-

i^aiFes. — Il suffit, pour obtenir les formules relatives à ce cas, de faire oc = 90^ dans celles qui ont été établies ci-dessus. On a donc, au lieu de [2],

t: = '-r-^= ^, d où tang Ë = ;f= — .

cos/3 sm/3 ^ tang^' w

La formule [3] devient

Fg =;,w sin p =pw' cos ^ =r7=^=.

iW cmÉiATiQini. «iCT» I» ci4F« m.

L'équatioQ [5] donn»

- = taDg«|3=. d'où «=-P;;;iq::;7,.

La valeur de b (113) deviepi

aW tfW - y^ j

ft = — 7 = = 1/ aa .

L'hyperbole méridienne, dont la vitesse angulaire est w, a toujours pour équation

y=±^l/¥+ir^

et son paramètre est — . Hais, danç Iç cas particulier dont il 9'agit, on a

De méme^ Phyperbole méridienne, dont la vitesse angulaire est ti/, a pour paramètre

Or, on sait, et il est facile de vérifier qu'au sommet d'une $qctîon conique quelconque , le rayon de courbure est égal au demi-paraipètre (c'est la sou$-normaIe sur le diamètre au sommet); donc,

Quand les axes sont rectangulaires, le rayon de courbure du fond de la gorge de chacun des hyperboloîdes est égal au rayon du cercle de gorge de f autre hyperboloîde.

Les deux surfkoes font , s'il est permis d'employer cette

iipage vulg^irQ, en selle Tune sur Tautre» de la manière la plus intime.