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Ces nombres^ qui permettent de construire la courbe de la

CALCUL DES COORDOimÉBS DE LÀ COURBE DE WATT. 189

figure 93, où les déviations horizontales sont amplifiées au centuple^ comparativement aux distances verticales, montrent que le maximum d'ccartement est, à un millionième près, égal à la fraction 0,000282 du rayon OA, et qu'il a lieu à peu près aux 3/4 de la distance du point central M^ au point extrême M^.

Remarques. — Quelque petite que soit la déviation de la courbe qui vient d'être étudiée, on pourrait la réduire encore. Rien n'empêcherait, en conservant les deux premières règles de Watt, de s'écarter de la troisième et de diminuer le rapport de la distance M ^M, aux rayons OA et GB, rapport qui semble n'avoir été préféré par Watt qu'à cause de l'avantage qu'il offre, quand la course M ^M ^ est donnée, d'exprimer très-simplement la distance OH qui en est le triple, et la flèche f qui en est le douzième, et, par conséquent, contient autant de pouces et de lignes que la course contient de pieds et de pouces.

Du reste, en diminuant l'intervalle des deux points extrêmes M^M, en ligne droite avec le point milieu M ^ , on pourrait conserver la longueur de la course égale aux 24/37 du rayon R, d'où il résulterait que la courbe se prolongerait un peu en dessus et en dessous des points M^ et M, , mais en s'écarlant moins que la courbe de Watt de Taxe rectiligne passant par M,.

141 (*)• Propriété du pantoupraphe» lemme applicable an numéro suivant. — abBA (fig, 95) étant un paralléhgramme articulé en ses quatre sommets^ de sorte que ks angles peuvent varier simultanément; 5t, sur trois côtés consécutifs ab, aA^ AB^ prolongés selon le besoin, on prend trois points m, M, O^ en ligne

(*) Bien que les numéros 141 et 142 traitent de cas qui ne sont pas compris sous le tilre du paragraphe 5, puisqu'ils considèrent, Tun, une liaison de quatre corps, et Taulre^ une liaison de cinq corps raobileSi néanmoins les propriétés quMls démontrent se rattachent si étroitement à l'emploi du simple balancier à bride, quMl parait convenable de ne pas les séparer des articles précédents.

190 CINiXATIQUE. 8ECT« I, CHiP. Ht.

droite, et d ailleurs quekonque$; et qu'on fasse mouvoir cette figure plane^ en maintenant fixe Fun de ses points. G, par exemple, et en assujettissant un des deux autres points à décrire une cer^ taine courbe^ telle que MM'; le troisième point m décrit une seconde courbe mW semblable à la première y et semblablement placée relativement au point O, pôle commun de similitude.

En effet, de ce que ies points m, M, O, sont en ligne droite, il s'ensuit que les points m\ M, O, satisfont à la même condi-

tion, puisque de même que ~ == — on a ^j^ = — ;

par conséquent^ le rapport des distances v^ri^bles On' et OM'

, , ^ Qa' Oa

reste constant, étant égal à -—-. ou --— ,

Un pantographe est formé^ de quatre règles aO, ab, AB, bB articulées aux quatre sommets a, li, fi, A d'un parallélogramme. On assujettit Tune des règles à tourner autour d'un axe immobile O; on fixe en m et M en ligne droite avec O, deux pointes, Tune sèche, l'autre traçante; on promène la pointe sèohe sur une ligne donnée, située dans un plan perpendiculaire aux axes d'articulation et de rotation ; l'autre pointe trace dans le même plîin une figure semblable ; le rapport de similitude est celui de OA à Oii.

148. Ffirallé|figramai(B HPlIralé 4e Walt.~8i OAa(fig. 06) est un balancier, CB une bride assujettissant le point M da li^n AB à décrire uqe courbe presque droite, en achevant le parallélogramme articulé AabB, on obtient en m, à la rencontre dç <ib et du prolongement de la droite DM, un point qui dé* crira une courbe semblable à la première, presque droite, mais plus grande dans le rapport de Oa à OA. Les deux points M 6t n serviront donc à guider deux tiges parallèles. Tel est, en effet, l'usage de cette disposition dans certaines machines à vapeur.

Pour faire connaître les règles pratiquées par Watt» inventeur

PÀRÀU£LQG|Umi| AIITIÇCIJ 91 WATT. ifil

de cet appareil, il suffit d'ajouter à celles du numéro 138, qu'on fait ordinairement OA = Aa en même temps que AM =MB. Il en résulte :

1° Que le point m^ se confopdant avec b, est un sommet du parallélogramme ;

S"" Que la courbe momim. à longue inflexion qu'il décrit est double de celle Moli,M^ que parcourt le point AI, et est à une distance double, de Taxe de rotation G;

3® Que, par conséquent, la droite «^9^ passe par Taxe de rotation C; et, comme le point V^ est sur la droite CO (138 i»), il s'ensuit que m, position nioyenne de m, y est aussi et conséquemment en G ;

A"" Que la course mjm^ double de M^lUs ou de A^A, est égale

8» Que le rayon Oa du balancier est égal à cette course mul-

tipliée par (^ -f. 1 ) ; 6"" Que la flèche de Tare a^a^a^ décrit par rprticqlgtîon m

aux - de la distance du centre O à la droite m^ma î

est TTT de cette même course a^a^ ou m^^^ ,

143. Joiiit brisé •« nalTerael. •*- Ce mécanisme (flg. 97), qu'on appelle aussi 70M/ de Cardan et Joint de Hoohe^ établit une communication de mouvement entre deux arbres tournants 1 et K dont les axes fixes concourent en O. Ces deux corps sont liés entre eux par un troisième corps MNmn, dit croisillon^ portant quatre tourillons, dont deux, M et m^ ayant un môme axe qui passe par O, tournent sans glisser Ipngitudinalement dans des ouvertures pratiquées aux extrémités de deux branches adhérentes aq preniier corps, et les deux autres, N et n^ dont Taxe commun passe également par le point O et est perpendiculaire à Taxe Mm, tournent sans glisser iongitudinalement dans deux ouvertures ménagées aux bouts de deux branches faisant partie du second corps.

192 CmtMATIQDB. SBCT. I, GHAP. m.

Proposons-nous de trouver la relation des déplacements angulaires simultanés des deux arbres à partir d*une position déterminée, par exemple celle où Taxe Mm est perpendiculaire au plan fixe lOK^ tandis que Taxe Nu est dans ce plan.

Supposons que le premier arbre tourne autour de CI d'un angle a (en avant du plan lOM) ; le rayon Olf vient en CM', J'angle MOM' est égal à a et son plan est perpendiculaire à Taxe OI. En même temps, le rayon ON est venu en ON', en décrivant un angle NON' que nous désignerons par |3, et dont le plan perpendiculaire à OK contient par conséquent la droite

OH, de sorte que l'angle MON' est égal à r+ j3; de plus,

l'invariabilité du croisillon fait que Tangle M'ON' est droit. Ainsi les trois faces ou angles plans de Fangle trièdre formé des

droites OM , OM' et ON' sont a , ^ + ^ et ^ . Enfin ,

Tangle dièdre M'OMN'^ compris entre deux plans respectivement perpendiculaires aux axes OI et OK^ a pour mesure l'angle aigu PON, que nous désignerons par Â^ et qui est supplément de l'angle obtus lOK de ces deux axes. Cela posé, il ne reste plus qu'à appliquer la formule connue de trigonométrie sphérique, qui établit la relation entre les trois angles plans a, b, e d*un angle dièdre et de l'angle dièdre A opposé à la face a, savoir :

cos a = cos fr cos c + sin & sin c cos A

en faisant ^ = - , hz=z ol et es j3+ ^ , ce qui donne

= —cos a sin j3 + sin « cos j3 cos ^ , d'où la relation cherchée :

tang ^ es tang « cos ^ .

JOINT BRISÉ OU UNIVERSEL. i93

Les angles /3 et a sont donc en même temps nuls et en même temps droits, mais inégaux dans l'intervalle. La transmission de mouvement serait impossible si l'angle A était droit, et qu'il en fût par conséquent de même de Tangle des deux axes.