Déplaeements simultanés de deux poulies dont

rase est exœntrique. — Les poulies dont les sections par un

i96 CmfiHÀTIQUB. SECT. l, CHÀP. UI.

plan perpendiculaire à leur axe de rotation ne sont pas des cercles ayant leurs centres sur cet axe, sont dites poulies excentriques. Deux poulies, dont Pune est excentrique, établissent entre les deux arbres, à axes parallèles, sur lesquels elles sont calées^ une communication telle, que si l'un a un mouvement uniforme, l'autre, au contraire, a un mouvement varié.

On peut se proposer et résoudre la question suivante : Connaissant les deux courbes de deux poulies sur lesquelles la corde est enroulée^ Pune de ces courbes dont uneportion est BAD (fig. 101), étant quelconque et tournant autour du point fixe C, tandis que t autre est une circonférence NMP tournant autour de son centre O, trouver la relation qui existe entre deux déplacements angulaires simultanés quelconques des deux poulies.

A l'instant où la première courbe avait la position indiquée par la figure, la portion de corde qui allait d'une poulie à l'autre était tendue suivant la tangente AM. Après un certain temps, la courbe BAD est venue en B'A'D' et la corde est tangente aux deux courbes suivant E'Q. Le déplacement angulaire de la première poulie est Tangle au centre de Tun des arcs semblables AA', BB', DD'. Pour trouver celui de la seconde poulie, on remarquera qu'une partie de la corde, qui s'étendait de A vers M, est maintenant enroulée de A' en E' ; de sorte que, pour savoir quelle est sur E'Q la position m' du point de la corde qui était d'abord en M, il suffit de faire la distance rectiligne EW égale à la droite AM diminuée de l'arc A'E' rectifié ; or, pour que ce point de la corde soit venu de M en m', il faut que la longueur de la corde m'M ait passé par le point géométrique M; et comme elle n'a pas glissé sur la circonférence NMP, le point M de celle-ci a parcouru un arc MM' égal à la longueur m'QM, c'est-à-dire qu'on obtient le point M' en faisant l'arc QM' rectifié égal à Qm'. Enfin, le déplacement angulaire cherché de la deuxième poulie est l'angle au centre de l'arc MM' ainsi déterminé.

Maintenant^ remarquons qu'il n'est pas nécessaire de con-

HOUYSMENT ÉPICTCLOÏDAL PLAN. 197

stniire la courbe B'A'D'. En effet, supposons que la figure CB'A'E'QM'O tourne en sens contraire de la rotation effective autour de C, de manière à ramener B'A'D' en BAD, le centre O vient au point O, déterminé par la condition que l'angle OCO, soit égal au déplacement angulaire ACA', mais décrit en sens contraire ; la circonférence NMP vient en N,M,P,, la tangente E'Q en EQ'. On obtient ainsi la longueur AEQ^ M^ et par conséquent son égale A'E'QM, ce qui suffit pour trouver le point M'; car on. a :

MM'= A'E'QM — A'E'm' = AEQ.M, — AM .

40 DEUX CORPS TOVRIIANTS L1]£s PAR UN TROISlâXE EV VOnVBlIZlIT £PIGTCL0IDAL.

i49. HonTemeiit éplcycioidai plan. — Autour d'un axe géométrique fixe MN que nous supposerons vertical (fig. 102) tourne un solide qui peut être une roue dentée ou poulie, mais qui peut se réduire à une simple barre A. Ce corps entraîne dans son mouvement un boulon ou arbre cylindrique vertical PQ, sur lequel tournent deux pignons .b et e formant un seul corps solide. Ces deux pignons engrènent respectivement avec deux roues dentées B et G, qui ont leurs centres sur MN, et dont Tune, C par exemple, est immobile dans l'espace, tandis que Tarbre qui la traverse tourne. Des deux corps A et B, l'un, B par exemple, est invariablement fixé sur Tarbre dont MN est Taxe géométrique, tandis que la barre A tourne librement sur cet arbre. Ainsi les deux corps tournants A et B sont liés entre eux par l'intermédiaire du système solide et mobile des deux pignons b et c : il s'agit de trouver le rapport de leurs vitesses angulaires que nous désignerons par w^ et ii^b et dont le sens positif est celui qu'indiquent les flèches.

A cet effet, prenons pour inconnue auxiliaire la vitesse angulaire du système des pignons b et c relativement à la barre A qui entraîne leur axe PQ. Cette vitesse, que nous désignons par ^

198 CmÉVATIQUS. SKCf . I, CfiA^. lit.

ef8t celle que constaterait, comme une rotation absolue, un observateur qui serait entraîné à son insu dans le mouvement de )û barre A. Désignons, d'ailleurs, par B, h^ C et c, les rayons des quatre roues dentées B, b^ € et o.

Cela posé, remarquons qu'au contact des roues b et B, le point T^ con&idéré comme appartenant à la roue b, a sa vitesse linéaire absolue exprimée par la résultante, qui est ici une somme algébrique de sa vitesse d'entratnement Wi,'B et de sa vitesse relative — ff^-b, tandis que le même point T, considéré comme étant sur la roue B^ a sa vitesse linéaire absolue égale à w^B, De même* au contact des deux roues e et G, le point S appartenant à la roue c, a sa vitesse linéaire absolue égale à Wi^Ç-^W'C, tandis que ce point» appartenant à la roue G, est immobile. On a donc les deux équations

Wé.'M**^fV»hisstw^*B,

dou ^.,(---J=^.,-

OU Wa

ji|.£)=«,..

Remarques. — Selon que t est plus grand ou plus petit que

—, les deux rotations w^ et w» du bras A et de la roue B sont

du même sens^ comme nous l*ayons supposé dans l'établissement de la formule, ou de sens contraires. Si les deux rapports

-r- 6t - étaient égaux , w^ serait nulle; la roue B serait en • c

repos eomme la roue G. Sans multiplier excessivement les

nombres de dents des quatre roues on peut faire que le rapport

des deux rotations soit très-petit. Exemple : si Ton fait

MOUVEMENT ÉPICTCLOÏDAt gPHÉRIQDE. 199

en adoptant pour les quatre roues b, B, C et c les nombres de dents 48, 19, 39 et 37, on trouve

C'est à cause de cette propriété que le mécanisme dont il s*agit s'appelle engrenage différentiel.

L'une des roues B et C, ou toutes les deux pourraient être à engrenage intérieur. Ainsi, par exemple, le rayon primitif de la roue immobile C peut s'étendre depuis l'axe MX jusqu'à S' où serait le contact de cette roue et du pignon c En répétant dans cette hypothèse le raisonnement précédent, on verra que les équations obtenues tout à l'heure s'appliquent, avec cette

seule différence que le rapport - change de signe, de sorte

qu on a

Dans ce cas d'engrenage intérieur, on peut réduire les deux pignons b et c à un seul (fig. 103), qui engrène tout à la fois, intérieurement avec la roue fixe C et extérieurement avec la roue mobile B.

La formule deviept alors :