IB C\ B C
Ainsi, connaissant deux des trois vitesses angulaires autour de MN^ on calculera la troisième^ puis, si Ton veut, la vitesse relative ¥V,
Si par un mécanisme très-facile à imaginer on fait en sorte que le rapport de deux des trois vitesses ait une valeur connue, on en conclura le rapport de la troisième à chacune des deux autres.
Remarques. — L Si la roue B enveloppait la roue b et était par conséquent à dents intérieures, les équations précédentes
subsisteraient moyennant le changement de signe de -7, comme
il est facile de le vérifier.
MÉCÂNISMBS. 1'^ CLASSE. !«' GERRB. 215
II. Si Tune des pièces A, B, G tourne en sens contraire du sens que supposent les formules, celles-ci subsistent moyennant le changement du signe de la rotation de cette pièce.
Dans le cas particulier où les deux roues B et G ont des vitesses égales (ce qu'on réaliserait par divers moyens, et entre autres en fixant (fig. 107) sur les canons de ces deux roues deux roues coniques égales B' et G' engrenant avec une troisième D à axe fixe), la formule [1], dans laquelle il faut faire wc = — wb, devient
Wa (Bc — Cb) = wn (Bc + Cb).
Soit, par exemple,
JBc 61-41 __ 2501 6C ~ STÏÔ "" 2499 '
il en résulte
waz=:2500w,.
Ainsi, pendant que chacune des roues B et G fait un tour, le bras A et son arbre en font 2500.
Les rayons des quatre roues du système épicycloïdal doivent satisfaire à la condition iî -f- fe = € + c; les nombres 61 , 51, 49 et 41 sont ceux de leurs dents,
III. Dans les figures nM 5 et 107 la barre A est liée invariablement à Tarbre MN, qui participe à la rotation wa- H pourrait en être autrement : les trois corps A, B, G qui tournent autour du môme axe géométrique MX peuvent être libres sur l'arbre, ou bien Tun quelconque des trois peut y être fixement attaché et par conséquent Tentraîner dans sa rotation. Dans la figure 15, le double pignon est partie au-dessus, partie au-dessous de la barre; il peut au besoin être tout entier d'un côté ou de Tautre, comme dans les figures 102 et 107.
216 CINfiHÀTIQUB. SBCT. 11^ CHÀP. II.
1 65. Exemple : Horlocpe hebdomadaire et lanalre. -— Dans
le système de rouages indiqué par la figure 108, les rotations des deux arbres parallèles KL et MIV sont liées de manière que, tandis que le premier, KL^ mené par un mécanisme d'horloge ordinaire^ fait un tour en une semaine, le second, MIV, doit faire le sien en un mots lunairey dont la durée moyenne est de 29 jours, 530 588.
Des aiguilles étant fixées sur ces arbres ou sur d'autres ayant le même rapport de vitesses angulaires, la première marque sur un cadran le jour de la semaine, et l'autre indique Tâge de la lune. Le tour du cadran est donc divisé pour la première aiguille en 7 parties égales, et pour la seconde en 30 parties, dont la dernière n'est que les 0,53 de chacune des 29 autres.
Le rapport des vitesses angulaires réciproques aux durées des
. , . ^ . . 29,530 588 révolutions doit être •
Voici comment Pecqueur, mécanicien constructeur à Paris, a réalisé cette condition très-approximativement.
La roue a, calée sur son arbre KL, engrène avec la roue A, folle sur son arbre MIV, laquelle porte et entraîne un canon creux où tourne librement Tarbre PQ, lié aux deux roues b et e. La roue b engrène avec la roue B, qui est immobile et dont le centre est dans l'axe géométrique de Tarbre MX. La roue o engrène avec une roue G calée sur ce même arbre MIV.
En conservant les notations précédentes et faisant Wb = o dans la dernière équation [1]» on en tire
wa hC Wc bC — cB *
d'où, à cause de w^Aziz wa-a, on conclut
Wa A hC
W(: a hC — cB ^ ^
Pour obtenir les valeurs qu'il convient de donner aux quan-
MfiCANISMES. 1'® CLASSE. 1" GENRE. 217
tilés A, a, B, ô, C el c, qui seront les nombres entiers de dents des six roues, on remplace le rapport donné par une fraction ordinaire qui en diffère très-peu et qu'on obtient par la méthode des fractions continues.
On décompose les deux termes de la fraction approximative en leurs facteurs premiers. On est ainsi conduit à poser
wa 188190 2 27.5. 17-41 wc~ 44609 ~ 311 439 '
expression qu'on parvient sans grande difficulté à identifier avec la formule [2] en faisant, comme a fait Pecqueur,
A 54 hC 8541
a 31 cB 6233'
ce qui donne
wa 84 85. 41 5485.41 188190
Cette expression fractionnaire ne diffère presque pas du rapport indiqué, car elle est égale à
29,530 585 7... ,. ' 29,530 588 -— au lieu de = ,
de sorte que Fhorloge dont il s'agit pourrait marcher pendant 7000 jours ou 19 ans, avant de se trouver en retard de 0,0023 de jour ou 3 minutes 1/3 sur l'âge moyen de la lune.
Le nombre 1439, qui entre en facteur dans l'expression du rapport approché, étant premier, on n'aurait pu réaliser ce rapport par un train de roues à axes fixes, à moins que Tune d'elles n'eût eu 1439 dents. On voit que la communication des rotations par mouvement épicycloïdal réduit la difiiculté à rem-
218 CmÉMATIQUB. SBCT. H, CHÀP. II.
placer ce nombre par la différence de deux nombres, dont l'un soit le produit de deux facteurs de 188 190, et Tautre décomposable en deux facteurs qui ne soient ni trop petits ni trop grands pour être les nombres des dents des roues c et B.
164. Exemple de l'emploi de plusieurs mouTements épicyeloldanx sur un même bras. — La pièce A (fig. 109) tournant autour du même axe MN que les deux roues B et C porte tçois doubles pignons formés des roues b' et B', b et c, C" et c". En appelant W, W et W" les vitesses angulaires de ces trois doubles pignons relativement au corps tournant A, on verra, toujours d'après la considération de la composition des vitesses, qu'on a
en S, Wb = WBf,
en T, Wc = WC",
hV
en S', wbH = waB + WV = w^B+W — p ,
en T", WcC = WjjC + W V= WiJC + W -7;. ;
d'où
iBt! CCf\ BBl ce
formule dont Tanalogie avec Téquation [1] du no 162 est facile à apercevoir.
Remarque. — Les communications de rotations qui viennent d'être supposées obtenues par des engrenages pourraient être réalisées par des poulies et courroies sans fin, si ce n'est que Texactitude précise des rapports risquerait d'être altérée par le glissement de ces organes.
