DÉTERMINATION DES RAPPORTS DE VITESSE DANS LES SYSTÈMES ÉPICYCLOÏDAUX

467. Soit AB un levier tournant autour de A (fig. 379) et condui-

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COMBINAISON DE VITESSES

sant un train dont la première roue est À concentrique au levier, et dont la dernière B peut être concentrique ou non concentrique avec A. Ces deux roues sont réunies par un nombre quelconque de roues dentées transportées par le levier AB. Les révolutions d’un point de ces roues doivent être estimées : 1° par rapport à la position initiale du levier, ce qui s’obtient en mesurant la distance angulaire d’un rayon passant par le point décrivant avec la ligne fixe A/, ou si cette roue est excentrique comme B , avec une ligne B k parallèle à A/; 2° par rapport au levier qui transporte les axes. Le premier arc mesure les révolutions absolues, le second les révolutions relatives ou par rapport avec le levier en mouvement. Le levier transportant le train de la position Af à AB et pendant ce même temps le point m de la roue A arrivant en n par une action extérieure , le point r de la roue B passe en s en vertu de la connexion de cette roue avec la roue A (nous supposons que ces mouvements ont lieu dans le même sens). mAn, rBs sont les mouvements absolus des points correspondants sur les roues A et B, et p An, fBs sont leurs mouvements par rapport au levier.

Mais rnAn=mAp-\-pAn et rBs=rB<-|-<Bs=»iAp-4-fBs et m A p est le mouvement du levier.

Si les roues se meuvent dans des directions opposées mAn=pAn — mAp et rBs = ?Bs — mAp Relation qui subsiste, quelle que soit la grandeur des angles décrits, et est vraie toutes les fois que les rapports des vitesses angulaires sont constants comme il arrive avec les roues dentées. Ce qui revient à dire que les révolutions absolues des roues d’un système épicycloîdal sont égales à la somme de leurs révolutions par rapport avec le levier et de celles de ce levier lui-même, quand les directions sont de même sens, et égales à la différence de ces deux quantités quand elles sont de sens contraire.

408 . Soient a, m, » les révolutions absolues simultanées du levier, de la première et de la dernière roue, et soit « la raison du

train épicycloïdal, c’est-à-dire le quotient du nombre des révolutions relatives de la dernière roue divisé par le nombre de celles de la

première, c est une quantité de la forme , identique à celle trou-

vée pour un système de roues dentées, car elle se rapporte aux mouvements estimés par rapport au levier.

Puisque les révolutions relatives de la première roue par rapport au levier — m — a et celles de la seconde roue —n — a, les mouvements du train considérés par rapport au levier étant les mômes que ceux d’un système ordinaire de roues dentées, on a :

n — a=t(m — a) ou i = dou :

Appliquons ces formules à divers cas simples :

1 ° Si la première roue du train est fixe, comme il arrive le plus souvent , le nombre m de ses révolutions absolues est 0, et on a :

a= et n— ( l — « )n ;

2° SI c’est la dernière roue qui est fixe n = 0 et on a :

me f l \

«= et m— il — - la.

Enfin 3° quand aucune des roues n’est fixe

me — n m t , n r .

c’est-à-dire que les révolutions du levier sont égales à la somme des révolutions qu’il fait quand on suppose successivement fixes les roues extrêmes.

Dans ces formules les rotations sont considérées comme étant toutes du même sens; s’il en est autrement, pour celles de sens opposé le signe de «i, », ou a doit être différent. Nous revenons plus loin sur ces signes.

469. Lorsque ni la première, ni la dernière roue n’étant fixes, le mouvement est communiqué par un même axe moteur, soit aux deux roues extrêmes, ce qui produit un mouvement complexe du

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levier, soit à l’une des roues extrêmes et au levier, d’où résulte le mouvement complexe de l’autre roue extrême ; on peut évaluer les vitesses en fonction de celle de l’axe moteur.

La fig. 380 est un exemple d’un système de ce genre; m n est un

axe auquel est fixé le levier A Z qui transporte les deux roues il et e, faisant un tout et tournant autour du même levier. Les roues b et c sont unies de même, et tournent autour de l’axe mn, mais ne font pas corps avec cet axe. Pareillement les roues / et g sont fixées ensemble et tournent autour de »in. Les roues c , d, e et / constituent un train épicycloïdal dans lequel c est la première roue et / la dernière.

Si l’axe À imprime le mouvement et porte deux roues a et h, la première engrenant avec la roue b et communiquant le mouvement à la première roue c du train épicycloïdal, la roue h engrenant avec la roue g qui donne le mouvement à la roue / qui est la dernière du train; quand cet axe A tourne il communique le mouvement aux deux extrémités du train épicycloïdal , et le levier k l reçoit un mouvement combiné que nous allons calculer.

Comme exemple de second cas , supposons dans l’exemple précédent les roues g et / désunies, g étant fixé à l’axe mn et/ tournant librement autour de lui. L’axe A communiquant le mouvement comme précédemment à la première roue c du train épicycloïdal par le moyen des roues a et b, comme d’ailleurs la roue A met en mouvement la roue p, l’axe mn et le levier kl se meuvent en même temps, d’où résulte un mouvement composé de la roue libre/. Dans cette seconde combinaison, la dernière roue /

n'est pas nécessairement concentrique avec le levier comme il est nécessaire dans le premier cas.

470. Cherchons la formule adaptée au premier cas. Soit l’axe menant réuni avec la première roue par un système de roues dentées dont la raison’soit u, et avec la dernière par un système dont la raison soit », et soient p les rotations de cet axe moteur, celles simultanées des deux roues seront //i=pp, n=»p, et la valeur (4) de a donne :

a pt — » p »

La première partie de cette formule donne la vitesse due à l'action du train p , la seconde à celle du train ».

En effet si l’on suppose le train p enlevé , alors la première roue du train épicycloîdal reste fixe et m=pp — 0, d’où

et de môme si le train » était enlevé :

c’est-à-dire que le levier se meut avec la somme ou la différence des vitesses produites par chaque action lorsqu’elles deviennent simultanées.

471. Pour le second cas, l’axe menant étant réuni avec la première roue du train épicycloîdal par un train dont la raison est p, et avec le levier par un train dont la raison est «,

m— p p et a = « p , la formule (2) donne :

n = «p(l — «) + ppt et ~=a(l — 0 + ji».

Les révolutions de la dernière roue du train épicycloîdal sont la somme de celles dues au train a qui produit le mouvement du levier, et de celles dues au train p qui produit le mouvement de la première roue du train épicycloîdal.

472. Toùte la difficulté dans l’application de ces formules consiste

dans le choix du signe que l'on doit donner à la raison des trains.

Un sens de rotation étant pris comme positif, le sens opposé devra être considéré comme négatif, et par suite si les rpues extrêmes tournent dans le même sens, toutes deux à droite ou toutes deux à gauche, le rapport est positif; il est négatif s’ils sont de sens opposés. Les rotations du train p, », sont absolues , et celles « relatives au levier. Pour déterminer le signe de i il faut supposer un instant le levier fixe, et par l’analyse du système, déterminer si les rotations des roues extrêmes sont de même sens ou de sens opposé.

On déterminera de même les signes de p et v en les considérant séparément : si les mouvements des roues sont de même sens, u et » ont le même signe, les signes seront différents si les mouvements sont de sens opposés. Dans les formules ci-dessus, les quantités sont supposées positives ; les signes resteront positifs dans tout cas particulier où les mouvements sont semblables à ceux des exemples qui ont donné ces formules et négatifs pour des sens contraires.

473. Soit, pour application des formules précédentes, les trains épicycloïdaux représentés dans les lig. 376, 377 et 378, et supposons que les lettres qui désignent les roues représentent les nombres de dents.

Le train formé des roues A, B, C, dans la fig. 377, est tel de sa nature que les roues A et C tournent en sens opposé, par suite e est négatif; de même dans le système de la 11g. 378; mais dans celui de la lig. 376, les roues extrêmes tournent dans le même sens, et par suite « est positif. D’ailleurs, on a pour le système de la fig. 376 :