PREMIER SYSTÈME DE TRAINS ÉPICYCLOIDAUX

477. Premier exemple. — Paradoxe de Fergu&son. Soit une roue A de vingt dents fixée à un axe reposant sur le bâti qui supporte l'appareil (fig. 38 1). Un levier CD tourne autour de cet axe et

porte deux chevilles m et » qui lui sont fixées. L’une d’elles sert d'axe à la roue B d’un nombre quelconque de dents qui engrène avec la roue A et aussi avec des roues E, F, G, qui tournent toutes trois autour de l’axe n.

Quand le levier C D tourne, il communique le mouvement à ces trois roues, qui avec les roues A et B forment trois trains épicycloïdaux.

Les roues extrêmes de chaque train tournant dans le même

sens, s est positif; la formule applicable à ce cas est -= t — e,

n et a étant les rotations simultanées et absolues de la roue et du levier.

Si i = 1 , - <= 0, et la dernière roue du train n’a pas de rotation a

absolue. Si e est plus grand que l’unité , la dernière roue tourne dans la même direction que le levier. Mais si i est plus grand que

l'unité, t est négatif, et les rotations absolues du levier et de la

roue sont de directions opposées.

Soient E, F, G, respectivement de 21, 20 et 19 dents ; dans le A 20

train supérieur, t= — = — est plus petit que l'unité, la roue

tourne dans le même sens que le levier.

Dans le train du milieu c = — — — , quantité égale à l'unité

- = 0, et F n’a pas de révolution absolue. Enfin, dans le train ina

teneur i = — = — plus grand que I unité, et G tourne en ar-

rière.

Ainsi par une même rotation du levier, E tourne dans le même sens que lui, G en sens contraire, et F reste en repos ; chaque point de sa circonférence demeure toujours dans la même direction. De là l’apparent paradoxe d'où provient le nom de cet appareil destiné à faire comprendre les propriétés des combinaisons de ce genre.

478. Deuxieme exemple. — Mouche ou roue planétaire. La disposition que nous allons décrire avait d’abord été employée par W att pour convertir le mouvement alternatif du piston de la machine à vapeur en mouvement circulaire. Sur l’axe du volant est montée une roue dentée A (fig. 382), qui engrène avec une roue dentée B fixée à l’extrémité de la bielle D B , le F ‘g- 382 ■

centre B étant réuni au centre A par le levier B A qui maintient le contact des deux roues. Quand le piston par son action exercée sur le balancier entraîne le levier B A, celui-ci tournerait autour du centré A comme une manivelle ordinaire, si la roue B attachée à la bielle DB, ne venait modifier cette action.

En effet, les roues A, B, avec le levier AB, constituent un train A

épieycloïdal, dans lequel — =s est négatif, puisque les roues

COMBINAISON DE VITESSES

tournent dans des directions opposées, et la dernière roue n’a pa» de rotation absolue puisqu’elle est fixée à la bielle. La formule

générale qui est : m = a 4- deviendra donc en faisant

0 et f = -,

Dans la machine de Watt les roues sont égales, par suite m=2a, et le volant fait deux tours pour un de la manivelle.

4*9. Cet appareil est curieux et susceptible de quelques applications pour obtenir simplement des multiplications de vitesses.

Son effet s’analyse facilement en calculant les vitesses angulaires.

Soit V, la vitesse angulaire avec laquelle le centre B se meut autour de A, R le rayon de chacune des roues dentées, 2RV, sera le chemin parcouru en une seconde par le centre de la roue B. Puisque cette roue est fixée invariablement à la bielle, tous les chemins parcourus simultanément par tous les points de cette roue sont égaux à celui que parcourt son centre, sont transportés comme lui. Ainsi 2RV, sera aussi le chemin parcouru par la roue B à son point de contact avec la roue A. Soit V', la vitesse angulaire de cette dernière, le chemin parcouru par le point de contact en tant qu’il appartient à la roue A sera représenté par V', R. Donc V', R = 2 V, R ou V', = 2 V, ; c’est-à-dire que la vitesse angulaire ou le nombre des tours du volant est double de la vitesse angulaire de l’extrémité de la bielle ou du nombre des oscillations complètes de celle-ci.

Et en général, si A B == (n -{- l) R, V', = (n 1) V.

480. M. Saladin de Mulhouse a publié un curieux travail sur la mouche, sur les diverses vitesses qu’on peut obtenir suivant le rapport des rayons des roues.

Les vitesses des deux roues, l’une fixée à la bielle, l’autre montée sur l’arbre du volant, étant dans le rapport de 1 à. l -f- — .

On voit que pour :

R — R', chaque oscillation donne 2 tours du volant ,

et ainsi de suite.

On aura donc ainsi un nombre de tours du volant plus grand que le nombre d’oscillations de la bielle et dans le rapport que l’on voudra, pourvu que le mouvement de la bielle ait une amplitude convenable.

Si l’on voulait obtenir un nombre de rotations inférieur à celui des oscillations de la bielle, on ne pourrait y parvenir par le système précédent. Mais si, comme le propose M. Saladin, on interpose entre les deux roues une roue intermédiaire quelconque, l’effet de cette roue est de changer le sens de la rotation due à

l’engrènement, et le rapport des vitesses devient 1 — . En ef-

fet, si la roue fixée à la bielle tourne dans un sens, l’engrenage au moyen de la roue intermédiaire communique une rotation inverse, et le résultat définitif sera la différence de ces deux mouvements.

Ainsi R = R' donne zéro, le balancier marchant, l’arbre du volant n’aura pas de rotation ; R = 2 R' donne — 1 ou un tour R' 1

en arrière : R = — donne - tour dans le sens du mouvement ’ 2 2

de la bielle.

On voit ainsi comment, pour un même mouvement de la bielle, l’arbre du volant peut rester fixe, ou tourner soit à droite, soit a gauche, avec une vitesse qu’on est libre de varier avec les engrenages.

Les mêmes effets peuvent s’obtenir au moyen de poulies et de courroies ou de cordes. Si la courroie est croisée, l’effet est le même qu’avec deux roues de mêmes rayons que les poulies, tandis que la courroie non croisée répond au même système augmenté d’une roue intermédiaire.

481. Nous empruntons à M. Saladin deux figures qui indiquent bien les circonstances du mouvement.

COMBINAISON DE VITESSES

Ainsi , dans le système représenté fig. 383 , dans lequel la roue fixe est double de la roue stellaire, la rotation du volant est de l tour et demi pour une oscillation du balancier.

En effet, considérons la roue stellaire après qu’elle a parcouru un quart de circonférence; le rayon vertical ac est toujours vertical en oV, puisque la roue ne tourne pas. Cherchons ce qu’est devenu le point c sur la roue b.

Si le disque a, au lieu d’être fixé à la bielle, eût été fixé à la manivelle, le cercle b eût tourné d’un quart de circonférence et le point de contact fût resté constant. Mais comme cette roue a est fixée à la bielle, le point de contact primitif s’est éloigné par l’effet des dents des roues , en parcourant des longueurs égales sur les deux circonférences à partir du point de contact. Si donc on développe de' e t qu’on enveloppe cet arc sur la circonférence 6, e " sera la nouvelle position du

point c, et la rotation de b pour celle de - de a sera - 4- - - = r ’ r 4 4*24 8'

Fig. 383.

puisque de"

Le rapport des vitesses sera donc

de l à - = l +

La fig. 384 représente un système à trois roues, a roue de commande et & translation , c roue intermédiaire aussi à translation , b roue commandée d’un rayon double de celui de la roue motrice. Lorsque le disque a est venu en a', son rayon d restant vertical sera venu en d'. Si du point de contact e comme centre de mouvement, nous développons l’arc ed' pour le porter sur le disque c', nous trouvons que le rayon /du cercle c est venu en/', et que le rayon opposé g est venu en p'; si enfin du point de contact h nous reportons

sur b l’arc développé g' h', la développante qui part du point g'

rencontrera b en h", et le rayon vertical de b aura parcouru

= - seulement de tour pour - de tour de a, soit - tour

de b pour un tour de a.

On voit que si Ira rayons de a et b étaient égaux, b resterait immobile, les deux mouvements en sens contraire étant égaux, et qu’enfin si la roue stellaire était celle du plus grand rayon, le mouvement serait rétrograde.

482. La fig. 385 représente le cas d'un tour en arrière en employant des courroies non croisées, et une roue a d’un rayon double de celui de la roue b. Après un quart de tour, les positions relatives de points situés au départ sur des rayons perpendiculaires au môme brin s’obtiendront en enroulant sur in circonférence de a, à partir de la position du rayon primitif, une longueur de la courroie égale à un quart de circonférence et l’enroulant autour de la seconde par la rotation de celle-ci ; c’est-à-dire en traçant deux arcs

de développantes. La rotation définitive sera - — - X2 = — -,

puisque — de a — — de b. Pour une rotation complète de a, la ro- 4 4

tation de b sera donc de — i, ou un tour en arrière.

483. Nous avions d’abord supposé que la bielle restait toujours parallèle à elle-même, était infinie; les tracés précédents montrent comment, quand la bielle est courte, les inégalités de la vi-

tesse de rotation croissent avec les inclinaisons de la bielle, et que cette vitesse est plus grande dans les parties placées au-dessus du diamètre horizontal que pour celles placées au-dessous. Cela résulte de la position du rayon vertical de la roue stellaire au point de con-

tact, qui reste toujours dans la direction de la bielle, ce qui rend l’arc à retrancher ou à ajouter plus grand ou plus petit que dans le cas de la bielle infinie. C’est ce que la figure 386 fait bien voir.