Premier cas. Soit - une fraction dont le dénominateur P

est décomposable en facteurs, mais non le numérateur.

Soit le dénominateur p = fgh,\a fraction qui représente le rapa

port des vitesses est ; — 7 . Le dénominateur pouvant souvent se J9 h

décomposer en trois facteurs de diverses manières, chacun fournit une solution distincte du problème.

On décomposera 7 — - en deux fractions convenables en posant : f<jh

a f* gy fgh Jgh' r fgh' c’est-à-dire a = fx-\-gy.

Il est facile de résoudre cette équation en nombres entiers pour

x et y, et d’obtenir une infinité de valeurs de a; et y qui satisfont au problème et donnent :

fg h ~ g h ' J h'

f et g devant être premiers l'un et l’autre, puisque a est premier par hypothèse.

Soit, par exemple, la fraction . Puisque 216 = 4X9X6,

nous poserons 2H = 9x-\-4yo\iJ = 9,g= 4. Les méthodes ordinaires de l’analyse indéterminée donnent pour toutes les valeurs qui satisfont à ees équations les deux expressions a; = 31 — 4 1 y = 9 1 — 2 , t étant tout nombre entier positif ou négatif.

On a ainsi : x — 27, 23, 19 y = 7, 16, 25 pour les valeurs de f, 12 3

Comme g h = ‘24, fh = 54, la fraction est donc égaleà :

ou encore à

et ainsi de suite.

La première série se rapportant au cas où les roues tournent dans la même direction; la seconde, quand les sens de rotation sont différents.

Puisque 8 et 3 n’ont pas de facteur premier, le dénominateur 216 peut être décomposé en 8X3X9 et en posant 27 1 = 8a; 3 y, on a :

x— 3 l — I y = 93 — St, d’où x = 2, 5, 8. — 1 — 4 — 7 y = 85, 77, 69 . . 93, 101, 109, ce qui fournit les nouvelles décompositions :

et ainsi de suite pour d’autres solutions.

En général, le dénominateur de la fraction proposée pouvant être décomposé en facteurs premiers et mis sous la forme »i* n ^ pi..., chaque paire de ces diviseurs peut être prise pour les quantités / et g, pourvu qu’ils soient premiers l’un par rapport à l'autre. Si alors on résout l’équation a =fx -}- g y en nombres entiers, on a

oc y

les valeurs des fractions composantes — 4- , dans lesquelles

g h fh 1

h est le produit du reste des facteurs du dénominateur après qu’on a retiré / et g.

486. Second cas. On suppose dans ce cas que le numérateur et le dénominateur sont tous deux premiers.

Formons deux fractions — et T , a, a, étant le numérateur et le A A

dénominateur de la fraction proposée et A une quantité arbitraire commodément décomposable en facteurs , et obtenons pour chacune de ces fractions les sommes ou les différences de deux fractions qui lui sont égales, comme nous avons fait ci-dessus.

Soit un axe A a (flg. 387) réuni à un autre B b par des roues dentées et un train épicycloïdal comme dans la figure, et en outre avec un autre axe Ce par un système semblable. Les rotations simultanées des axes A a, B 6, Ce seront A et a, a , ; u, v seront les raisons des trains réunissant A a avec Bô, et p, v, celles des trains réunissant A a avec Ce. On aura donc :

- = ** "t" v et — = P' H~ v . et P + v

pour rapport des rotations simultanées de B & et Ce.

Supposons, par exemple, qu’il s'agisse de faire faire à un axe 17321 tours quand un autre en fait 1 1 7 4 3 ; les deux nombres étant 17322

premiers, la fraction ^ ^ est irréductible et indécomposable en

facteurs premiers.

Prenons un diviseur 5040 = 7X8X9X10, et formons deux

trains dont les vitesses soient représentées par et .

LIVBE DEUXIÈME.

Pour la première, on obtient par la méthode précédente : 17321 1480 783 148 . 87

d’où les trains — et — comme dans la précédente méthode. 63 40 r

Pour le second train :

d’où les trains — et — . Le problème consistant à obtenir les deux 63 40 *

mouvements demandés sera ainsi complètement résolu.