IV. MOUVEMENTS ALTERNATIFS EN MOUVEMENTS ALTERNATIFS

Dans ce qui précède, nous nous sommes occupés des organes de transformation de mouvement qui correspondent aux mouvements circulaires et rectilignes. Nous avons ainsi étudié les roues dentées, les plans inclinés, les cordes, qui servent généralement pour les mouvements continus, mais aussi dans beaucoup de cas pour des transformations de mouvements alternatifs; il nous reste à étudier, au point de vue du mouvement des guides , les leviers et les bielles, éléments principaux de transformation des mouvements alternatifs.

493. Soit une longue bielle ABC (fig. 393), B un de ses points,

Fig. 392.

son milieu par exemple , je suppose qu’un petit mouvement A a, perpendiculaire à sa longueur soit communiqué à son extrémité A, l’autre extrémité C restant en repos, le point B décrira sensiblement l’espace B n =

Si au contraire A restant en repos, on eut imprimé à C un petit I. 3$

mouvement Ce transversal à la barre, le point B aurait décrit sen-

* Ce

siblement le chemin Bm= — .

Donc si les deux mouvements en question sont communiqués, soit simultanément , soit successivement aux deux extrémités, le

centre B parcourra le petit chemin B£> —

A o -|“ Ce

ou si ces

deux mouvements imprimés étaient de sens contraire, de manière

à amener la bielle dans la position aC, le milieu de la bielle décri-

. , . Aa — Ce

rait le petit chemin tnn = .

Il est clair qu’on suppose ici la barre assez longue pour que Ce, A a, B 6 puissent être considérés tous trois comme perpendiculaires à la bielle.

Donc si l’on communique deux mouvements virtuels ou élémentaires indépendants, aux extrémités d’une bielle perpendiculairement à sa direction, son milieu décrit la moitié de leur somme ou de leur différence, suivant que ces mouvements sont de même sens ou de sens contraire.

Si ce sont les points A et B auxquels on fait décrire suecessiment de petits chemins, le point C décrit alors un chemin égal à celui que parcourt A, mais en sens contraire, et deux fois le chemin que parcourt B dans le même sens que ce dernier point.

494. Soit enfin une barre dont le centre est en E (fig. 393) et

Fig. 393.

aux deux extrémités de laquelle sont fixées des chevilles F et G, qui portent les centres autour desquels tournent deux autres barres AB, CD. Si l’on imprime aux quatre points A B C D quatre mouvements indépendants les uns des autres, les mouvements de A et B se composeront en F, comme il est dit ci-dessus, ceux de C et D se composeront de même sur G , et enfin ceux de F et de G se composeront de même en E.

495. Un système fondé sur ces propriétés, dit zigzag, permet de transformer, par une combinaison de leviers, un double mouvement circulaire alternatif en un mouvement rectiligne.

Ce système dérive de celui de la fig, 33 1 , représentant la transformation de circulaire alternatif en rectiligne alternatif à l’aide de la bielle et de la manivelle, si l’on change les bielles, en les prolongeant, en deux autres leviers oscillant autour d’un centre mis en mouvement par le premier système. On obtient ainsi la disposition de la fig. 394, dans laquelle le point de rencontre des deux premiers leviers est le seul point fixe.

Ce système se trouve ainsi formé d’une réunion de parallélogrammes par l’articulation de barres parallèles deux à deux.

Elles pourraient à la rigueur ne pas être parallèles, pourvu qu’elles fussent deux à deux d’égale longueur, ou encore être parallèles et de longueur différente, mais il suffirait alors de rétablir les parallélogrammes élémentaires égaux au premier, pour évaluer la vitesse. Les divers centres des articulations se meuvent sur une même ligne droite, pourvu que les deux leviers moteurs parcourent un même angle.

Il est facile d’évaluer les vitesses dans cet appareil. Pour ud seul losange, le système n’est que celui de Ip bielle comme nous l’avons vu, c’est-à-dire que pour passer de l’angle à l’angle <J du levier avec la diagonale, l étant la longueur entre deux articulations, r la longueur des leviers moteurs, le mouvement angulaire sera r (<u — <u'), et le mouvement rectiligne / (cos. <u' — cos. «).

Appelons a cette quantité , elle se répétera pour chaque parallélogramme, et s’il y en a k égaux entre eux, le chemin parcouru par le point extrême sera na.

Les deux limites du mouvement sont ni lorsque les bielles sont parallèles à la diagonale passant par l’articulation fixe et se touchent, et np, p étant l’épaisseur des barres lorsqu’ils sont en ligne droite et que toutes les barres sont en contact. Le chemin total ,

Fig. 394.

qui pourra être parcouru par l’articulation extrême, pour un mouvement angulaire de 0° à 90°, est donc n(l — p).

496. Parallélogramme de Watt. C’est surtout pour fournir des guides du mouvement rectiligne, comme moyen de produire par le mouvement circulaire alternatif un mouvement rectiligne alternatif, que le système des articulations est employé par diverses méthodes qui dérivent de celles que Watt a le premier appliquées à la machine à vapeur.

Considérons d’abord une bielle dont les deux extrémités sont assemblées à deux leviers ou rayons décrivant des arcs de cercle, système employé dans la plupart des machines à vapeur ou à piston en général, piston dont on cherche toujours à diriger sensiblement en ligne droite la tige assemblée à un point de cette bielle.

A a, B b sont les deux bras ou rayons qui tournent autour des centres A et B, a b est la bielle articulée à leurs extrémités mobiles ; la fig. 395 indique diverses positions du système.

Un point c pris vers le milieu de la bielle décrit la courbe en forme de 8, men; et le chemin qu’il décrit est une courbe connue soOs le nom de courbe à longue inflexion, qui se confond très sensiblement dans une partie du mouvement avec une droite.

M. deProny a donné l’équation complète de cette courbe, mais elle est beaucoup trop complexe pour être d'aucune utilité dans la pratique, et il est bien plus simple et suffisamment exact, au lieu d’en faire usage, de recourir aux approximations suivantes.

COMBINAISON DE VITESSES

497. Soient A, C, les centres de rotation des bras ou rayons AB, CD (flg. 396) ; BD la bielle articulée à leurs extrémités ; admettons d’abord que cette bielle soit perpendiculaire aux deux rayons dans la position médiane A B C D du système.

Faisons mouvoir AB jusqu’à la position A 6, Ce et bc seront les positions correspondantes de l’autre rayon et de la bielle. Menons bf parallèle à B D.

Dans la première position , la bielle est perpendiculaire aux rayons; dans la seconde, elle prend une position oblique bc, telle que son extrémité supérieure est jetée à gauche et son extrémité inférieure est jetée à droite de la verticale B Md de quantités respectives be, de qui ne sont autre chose que les sinus- verses des

Fig. 3%.

arcs décrits pour les rayons. Il y a quelque part sur la bielle un point situé sur la verticale B M d, et le lieu de ces points se déterminera par la proportion :

b M : Mc be : de,

faisant AB = R, CD = r, BD = l, BAi = 0, DCc = y et bM = x, on a :

x R sin. vers. 0

l — x rsin. vers. ?

R sin. 1 -

r sin.’ -

R’ sin.* -

r* sin.’ V -

L’angle BA& = 0 ne dépassant jamais 20° dans la pratique, l’inclinaison c bf de la bielle est toujours assez petite et B b = R 0

est à très peu près égal à Dc = ry. Comme ces angles sont très petits, les sinus différent peu des angles , donc sans erreur sensible on pourra encore poser :

d’où

R sin. - — r sin. - ,

x r Ir

Soit R = 7, r = 4, 1 = 2, on a : a; = — — 0,727.

498. La déviation du point M, à partir de la ligne BD, peut facilement s’évaluer comme il suit, et cette recherche est utile pour déterminer la plus grande valeur qu’il convienne d’attribuer à 8. Pour plus de simplicité, nous ferons R=rou AB=CD, comme cela a lieu dans la pratique, et nous prendrons R pour unité. Menons b f, rc parallèles à BD et soit y l’inclinaison fbc de la bielle sur la verticale.

fbc étant un très petit angle, on a sensiblement : fc—l sin . y = /y ,

fc sin. vers. 8 4- sin. vers. y 2 sin. vers. 0 ou y = = -, = : ,

à très peu près.

Or mf = rc ou sin. 8 -f- l cos. y = / -f- sin. y, donc :

sin. y=sin. 8 — l sin. vers. y=sin. 8 — = sin. 8 — -(sin. vers. 8)*,

expression qui fera connaître la valeur de y correspondante à une valeur quelconque de 8.

Lorsque les rayons se relèvent au-dessus de l'horizontale (fig. 397), on a :

COMBINAISON DE VITESSES

bm + mf = rc -|- en ou sin. 0 -j- / = / cos. y -f- sin. y , d’où sin. y = sin. S -f - 1 (1 — cos. y) = sin. 9 -f l sin. vers, y

= sin. 9 - (sin. vers. 9)* ,

et si la bielle est égale à la moitié de la longueur du rayon, on a pour les deux cas :

sin. y = sin. 9 ± 4 (sin. vers. 0)’.

Le signe supérieur correspondant au cas où les rayons sont audessus de l’horizontale.

Quant à la déviation du centre M de la bielle de la verticale, elle est (art. 498) :

sin. vers. 9 sin. vers, y cos. y — cos. 9 ' 2 ~ 1 2 - On peut ainsi former le tableau suivant :

VALEURS de S.