Couronne circulaire (fig
Si l’extrémité d’un axe, au lieu de frotter sur tout un cercle, ne frottait que sur un anneau ou surface comprise entre deux cercles concentriques, comme il arrive dans le cas des I. 4
Fig. 48.
PRINCIPES FONDAMENTAUX
tourillons, lorsque l’axe est pressé sur les coussinets suivant sa longueur, on déduira facilement la valeur du frottement de ce qui précède. En effet, la surface totale de frottement est rR* — k R'*, R R' étant les rayons des deux cercles; le frottement se calculera comme précédemment pour les deux cercles, en remarquant que la pression s’exerce sur la différence de leurs surfaces, ce qui conduira, pour la valeur du travail du frottement, à l’expression
(f RjrR* — IR'sR'*), et, après toutes réductions,
7T (iV* K *)
Enfin, si on nomme l la largeur de l’anneau égale à R' — R, r le rayon moyen de cet anneau , ou la distance de son milieu au centre, on trouve en effectuant le calcul que l’expression ci-dessus
revient à/TNw (^r-| — — J et pour un tour à : 2 jt ^r-|- ——J / N.
Pour terminer ce qui concerne les pivots, nous remarquerons que le travail du frottement croissant comme le rayon du cercle entier du pivot , il y a de l’avantage à diminuer autant que possible ce rayon, jusqu’à la limite déterminée par la dureté et la résistance de la substance dont est formé le pivot. C’est par ce motif que l’on donne aux pivots une forme conique (ilg. 49). Souvent encore on leur donne une forme convexe, forme qu’a aussi , dans ce cas , la crapaudine Fig- *9-
(fig. 50). Le frottement n’a toujours lieu que par un petit cercle de contact qui prend bientôt, le plus souvent, une étendue sensible par suite de la pression et de l’usure.
Fig. 50.
53. Tourillons. Nous avons dit que les tourillons étaient les parties des arbres de rotation, d’un diamètre moindre que ces arbres, qui tournaient dans des guides de forme cylindrique dits coussinets. On donne à ces coussinets un diamètre un peu plus grand que celui des tourillons, afin de ne pas faire naître de pression et, par suite, de frottement par l’ajustement.
DES RÉSISTANCES PASSIVES
Cherchons à évaluer le frottement du tourillon s’appuyant sur le coussinet. La figure représente la section par un plan perpendiculaire au tourillon.
En considérant le mouvement, à partir du repos, quand le contact a lieu sur l’aréte inférieure m', la résultante des forces qui font tourner le corps tendra à faire rouler le tourillon sur le cercle Aw'B. Son point de contact avec le coussinet s’élèvera; mais, comme nous supposons le mouvement uniforme, il demeurera en un point m. Il est clair qu’il ne peut y demeurer qu’autant que la résultante de toutes les forces qui agissent sur le corps passe par m et est normale à la tangente en ce point; ce qui revient à dire : qu’en décomposant la résultante de toutes les forces actives qui agissent sur le tourillon suivant la normale et la tangente, cette dernière composante doit être égale au frottement qui est dirigé suivant cette ligne et de sens contraire. — En un mot, les choses se passeront comme si le tourillon était placé sur le plan incliné déterminé par cette tangente et la génératrice de contact.
Soit P la résultante (fig. 51), menons la tangente commune aux deux cercles au point de contact, soit y l’angle de la résultante avec la normale en m, la pression étant P cos. y, le frottement sera / P cos. y, et l’on aura P sin. y = / P cos. y, d’où tang. y = tang. b, comme nous l’avons vu sur le plan incliné pour le cas du mouvement uniforme. Ainsi donc pour les tourillons dont le point de contact peut varier , le point m est déterminé par la relation ci-dessus et la tangente en ce point fera avec la résultante des forces un angle complémentaire de l’angle du frottement «. Si la force P est la pesanteur, est verticale, le point m s’obtiendra géométriquement en menant la tangente faisant l’angle ! 00° — « avec la verticale.
La valeur du frottement pour un tourillon, est donc :
/ , sin. a
J P cos. a = P , puisque /= tang. « =
1/ 1 r ^ D cos. «
et cos. 8 « -l-sin.’a = l.
PRINCIPES FONDAMENTAUX
Le chemin parcouru par le frottement est facile à obtenir, pour une longueur l parcourue par un point situé à la circonférence. Soit R le rayon et w l’angle décrit; soit r le diamètre du tourillon, le travail du frottement sera r«P ^
et comme
l rl R’ P R
La quantité
. est très voisine de /,/ étant très petit en
général. On doit la remplacer par / lorsque l’axe ne peut nullement se déplacer. Quand le mouvement au contraire n’a lieu que de m en m' (des deux côtés de m), le frottement n’étant que le roulement est négligeable. C’est ce qui arrive dans quelques systèmes composés d’articulations.
Le chemin parcouru sur un plan, mis sous la même forme, pour le cas du mouvement uniforme est, pour une longueur l, fl P cos. a
= P l ■■ - L :~ , c’est-à-dire qu’il est réduit, à l’aide des coussi-
nets, dans le rapport de r à R, rapport toujours très petit, les tourillons étant construits en substances très dures et très résistantes.
64. Dans quelques machines délicates, ou peut faire reposer un tourillon sur la circonférence de deux roues (flg. 52), et réduire encore ainsi le frottement des tourillons du premier système dans le rapport du chemin parcouru par un point des circonférences des roues du second système à celui d'un point de leurs tourillons. Mais une semblable disposition ne peut être employée que pour de très faibles forces, autrement les tourillons creusent bientôt un logement dans les circonférences qui cessent alors de tourner.
55. Dans les pivots, je rayon moyen r devient encore bien moindre que dans les coussinets, et le travail du frottement est encore moindre que pour ceux-ci. Nous avons vu qu’il est, pour un tour, /P \ «R, R étant le rayon de la face horizontale du pivot ;
Fig. 5i.
DES RÉSISTANCES PASSIVES
il est à celui du coussinet, qui pour un tour est /P 2 ttR, dans le rapport de ~ à 2 ou 4 à 6 ou 2 à 3. Résultat qui se comprend facilement, puisque le chemin parcouru par le frottement est bien moindre dans le premier système. La différence est même en réalité plus grande que nous ne le supposons ici, la valeur de R dans un pivot pouvant devenir très faible dans beaucoup de cas, bien moindre que ne peut être celle du rayon d’un coussinet.
On doit conclure de ce qui précède, que toutes les fois qu’il ne s’agit que de transmettre le mouvement, que le problème n’est pas compliqué de conditions spéciales, ce sera à l’état de mouvement circulaire qu’il dev ra être transmis, afin de profiter de l’avantage du système tour, de faire naître peu de résistances nuisibles.
56. Frottement sur les galets. La petite quantité de travail qu’absorbe le frottement des guides du mouvement circulaire, comparés aux guides plans du mouvement rectiligne , fait facilement comprendre l’avantage pour la production de celui-ci de la substitution des galets ou petits rouleaux supportés par des tourillons (fig. 53 ) qui reposent dans des coussinets (fixés soit à la pièce mobile soit au plan fixe), aux guides plans ou prisons, entourant la pièce à conduire. En négligeant le frottement de roulement à la surface du galet, dont la valeur n’est pas comparable à celle du frottement de glissement, pour une longueur l parcourue par la barre, la surface du galet décrira une longueur l — R« et le tourillon r«, r étant son rayon. Le travail du frottement sur le tourillon sera P rlj
, , au lieu de J PI, c’est-à-dire diminué dans le rapport de
Rl/l}-y*’ ’ ^
Fig. 53.
r à R, 1/ 1 -J- ^ étant très voisin de 1 .
Lorsque l’effort est considérable, r ne pouvant plus être très petit, l’avantage des galets diminue, surtout s’ils doivent servir entre surfaces dures, car l’usure altère bientôt la surface du galet ; et, comme nous l’avons déjà dit, il se forme des parties plates sur lesquelles se produit un frottement de glissement, car alors le galet ne tourne plus.
PRINCIPES FONDAMENTAUX
Frottement dans le système levier.
57. Le levier, que l’on considère, en mécanique analytique, comme une simple ligne mathématique, doit être considéré, daus la pratique, comme une barre inflexible et pesante qui s'appuie sur uu autre corps. Cet autre corps peut être un couteau tranchant, un cylindre extérieur ou intérieur au levier, etc.
Dans le levier oscillant sur l’arête d’un couteau tranchant, comme dans les balances, le travail du frottement est presque nul, puisque le chemin parcouru par le point d’application de cette résistance est sensiblement nul.
Quand les efforts sont considérables, une arête tranchante serait bientôt écrasée. Si le levier se meut sur un cylindre sans glissement, le point d'appui se déplace, et il n’existe qu’un frottement de roulement tout à fait négligeable (fig. 54 et 55). Mais il n’en est plus ainsi, si un glissement a lieu au point de contact, il naît alors un frottement qui est le même que celui qui se produirait sur le plan incliné formé par le plan tangent mené à la surface par le point de contact. Ainsi que nous l’avons vu, le glissement a lieu lorsque la résultante des forces au point de contact, c'est-à-dire la résultante des forces agissant sur le système transportées en ce point (flg. 56), fait, avec la normale du plan tangent mené par ce point, un angle plus grand que l’angle du frottement.
Dans les machines où, en général, on ne peut laisser le point de contact Fig. 56.
se déplacer, et dans lesquelles souvent des impulsions obliques ne permettent pas de se servir d’un couteau reposant par son arête sur un plan très dur, on emploie pour guides du levier, les guides du mouvement circulaire, les coussinets; le frottement se calculera donc comme pour le tour. <u étant l’angle décrit, P la résultante, égale à la différence des forces motrices et résistantes quand cellesci sont parallèles, le travail du frottement par chaque oscillation
Fig. 5i.
Fig. 55.
