DU MOUVEMENT

Fig. 2.

en un temps infiniment court; c’est la vitesse qui existerait en chaque instant si le mouvement uniforme qui a une durée infiniment courte se prolongeait pendant une seconde.

Parmi les mouvements variés, il en est un particulièrement remarquable, c’est le mouvement uniformément varié dans lequel la vitesse croit ou décroît de quantités constantes en des temps égaux, comme cela a lieu pour la chute des corps à la surface de la terre.

Divisons le temps t du mouvement en n petits, intervalles 0, pendant la durée desquels nous supposcronsle mouvement uniforme (fig. 2) ; représentons ces intervalles égaux par les di vifîons égales d’une ligne oa , ob, oc.... La vitesse, après le premier intervalle, étant a a,, l'espace parcouru dans le second intervalle en vertu de cette vitesse sera e = vl ou e~ aa, X 0 = aôX «a„ c’est-à-dire le petit rectangle aba, a,. A la fin du second instant la vitesse sera 2 v et l’espace parcouru dans l’instant suivant sera mesuré par l’aire du rectangle beb, b t , et ainsi de suite; l’espace total parcouru pendant le temps n 0 sera donc donné par la somme des aires des rectangles dont les sommets «, b,... sont sur une ligne droite. La différence entre la somme des aires de ces rectangles et celle du triangle oee, est de n petits triangles égaux à oaa„ et

puisque le temps t a été divisé en n intervalles égaux à 0, à » X -

X««,= -Xa(t,. Or, aa, étant aussi petit qu’on le voudra en

rendant le nombre n très grand, on voit qu’à la limite, lorsque la vitesse croit d’une manière continue, l’aire du triangle représente l’espace parcouru. Si donc l’on appelle g la vitesse après l’unité de temps, on aura par suite de la similitude des triangles, après un temps t :

où v — gt et e — {vt = \yl* .

On tire des formules ci-dessus e— ~ ou i' = 1/ 2 ge en faisant disparaître le temps. ’ . «

PRINCIPES FONDAMENTAUX

Mouvement de rotation autour d'un axe.

7. Quand un corps est assujetti à se mouvoir autour d’un axe fixe, tous les points matériels dont le corps est formé parcourent des arcs d’un même nombre de degrés, tournent tous d’un même angle. On rapporte ordinairement les mouvements de chaque point du corps au mouvement de celui qui est ou serait situe à une distance de l’axe égale à l’unité de longueur, à 1 mètre. La vitesse de ' cc point est dite la vitesse angulaire que nous désignerons par u. Donc , si v représente la vitesse d’un point situé à une distance r de l’axe, on a :

* v : r » : i ou» = r«.

Si le corps fait n tours par minute, le chemin décrit par seconde

n ... , 2»r r nn

est —circonférences égalés a 2 rr, donc ru=# — et« = — .

Si le mouvement est varié, la relation v = r*> subsiste toujours, les valeurs de v et u variant toutes deux en chaque instant. Si le mouvement est uniformément varié, appelant w la vitesse angulaire en chaque instant , et y la vitesse angulaire après l’unité de temps, g devient ry, on a donc v — gt —r<ft et e — [gl* — { rft *.

Représentation des lois du mouvement.

8. Si l’on porte sur une droite des intervalles égaux pour re- , présenter des temps égaux, et qu’en chncun des points de division on élève des perpendiculaires sur lesquelles on prend des longueurs proportionnelles à la vitesse correspondante du mobile en chaque instant, on pourra rencontrer trois cas différents :

Toutes les vitesses seront égales (figure 3), et la ligne passant par les ex- c t

trémités des droites proportionnelles aux

vitesses en chaque instant, sera une

droite parallèle à celle sur laquelle le

temps est marqué ; ■ Fi i?- 3 -

Cette ligne s’éloignera (fig. 4) de la première à partir de l’origine, la vitesse sera croissante, le mouvement accéléré ;

Enfin la disposition sera iBverse (fig. 5) ct la vitesse ira en dé-

DES FORCES

croissant, le mouvement sera retardé. Si la ligne a , e , est droite, le mouvement est uniformément varié, l'accroissement ou la diminution de vitesse est proportionnel au temps.

Fig. 4.

On voit que des courbes peuvent parfaitement servir à représenter complètement les lois complexes du mouvement d’un corps ; car (de même que art. 6) les aires de ces courbes représentent les espaces parcourus comme les abeisses les temps, et les ordonnées les vitesses. — Nous verrons plus loin comment de semblables courbes servent dans certains problèmes de Cinématique pour produire les mouvements eux-mêmes.

Des Forces.

8. Lorsqu’un corps est en repos, il y demeure jusqu’à ce qu’une action extérieure vienne le mettre en mouvement : il ne peut se mouvoir de lui-même; de même lorsqu’il est en mouvement il ne peut de lui-même modifier ou anéantir ce mouvement.

On appelle force la cause qui tend à produire ou à modifier le mouvement. ^

Sans connaître la nature de la force, nous concevons très clairement qu’elle agit au point où elle est appliquée , suivant une certaine direction, et avec une certaine intensité.

10 . La distinction entre la matière et la force, le principe de l’inertie de la matière est fondamental. C’est un résultat d’expérience dont la certitude est confirmée par toutes les conséquences auxquelles conduit la science qui le prend pour point de départ. Nombre de phénomènes servent à le démontrer ; ainsi on sait qu’un corps se mouvant par l’effet d’une impulsion première sur un plan horizontal se meut d’autant plus longtemps que le plan est plus

PRINCIPES FONDAMENTAUX

poli, que les résistances sont moindres. D’où l’on conclut avec toute certitude que, en l’absence des résistances et actions extérieures, le mouvement se continuerait indéfiniment, sans aucun changement, par suite en ligne droite et avec une vitesse constante, serait uniforme.

Mesure des forces.

1 1 . Nous avons dit qu’une force était une cause de mouvement. Quand le mouvement du corps est empêché par un obstacle insurmontable, la force se manifeste par une pression ou une traction sur l’obstacle. Les efforts dont sont capables des agents quelconques dans une direction et en un point déterminé sont par suite toujours comparables et peuvent se mesurer par des poids, ou mieux à l'aide d’instruments à ressort tels que le dynamomètre de Regnier, certains pesons du commerce, etc., qui ont été tarés ou vérifiés à l’avance, en y suspendant des poids étalons. On conçoit, en effet, que le même degré de flexion de ces ressorts, en supposant leur élasticité parfaite et indépendante du temps ou de la fatigue (ce qui n’est pas et exige de fréquentes vérifications) indique constamment le même effort absolu, la même pression, pourvu que cet effort, cette pression s’exerce au même point et dans la même direction. Ainsi , les forces sont toujours exprimables en unités de poids, en kilogrammes par exemple, dont le nombre représente la grandeur de la force, et qui, comme tout nombre, pourra être représenté par des longueurs de ligne droite. — Cette manière d’évaluer les forces fait bien comprendre la loi, établie comme loi fondamentale par Newton, et confirmée par tous les résultats de la science, que l'action est égale cl contraire à la réaction, c’est-à-dire que toujours, comme on je voit dans un ressort, le corps qui presse avec une certaine force est pressé par une force égale de direction . contraire.

C’est ainsi, par exemple, que les choses se passent dans le choc, à la rencontre de deux corps parfaitement élastiques en mouvement. Il se développe aux points de contact, de la part de l’un des efforts de compression d’abord puis d’extension, de la part de l’autre des efforts semblables opposes et égaux aux premiers. Les

DES FORCES

ressorts moléculaires fléchis ou tendus , réagissent avec une force précisément égale et contraire à celle qui les comprime, les fléchit.

Détermination des forces d'après les mouvements qu’elles impriment à un point libre.

12. Au lieu de déterminer les forces d'après l’intensité de la pression qu’elles exercent sur un corps en repos, ou indépendamment de la notion de mouvement, on peut déduire leur mesure de celle des mouvements qu’elles impriment à un corps libre.

Principe expérimental. — Une force agit sur un corps en mouvement comme elle agirait sur un corps en repos ; c’est-à-dire, que d’après ce principe fondamental, dit de l’indépendance des forces, les forces (et les mouvements qu’elles produisent) coexistent simultanément. Ce principe est un de ceux qui servent de base à la mécanique et sont vérifiés par l’expérience de chaque jour. Ainsi nous savons qu’étant placés dans un système en mouvement, un bateau par exemple , nos efforts sur les objets qui nous environnent produisent absolument le même effet que si nous étions à terre, ou si le bateau était en repos. C’est ainsi encore que le mouvement propre de la terre ne nous est nullement sensible par des phénomènes mécaniques, tandis que si le principe de la coexistence des mouvements n’était pas vrai , ceux dus à l’action d’une même force seraient différents suivant qu’ils seraient dans la direction du mouvement de la terre ou de direction contraire, ce qui est opposé tr à notre expérience de chaque jour.

Ce principe permet de remonter du mouvement aux forces.

Pour le cas d’un mouvement uniforme, il est évident qu’il fauf que toutes les forces qui agissent à chaque instant sur le système soient nulles ou se détruisent, ce qui constitue l’état d’équilibre, autrement les mouvements dus à ces forces viendraient^ exister avec les mouvements initiaux, et par suite modifier les vitefsès.

Le mouvement uniformément varié d’un point est produit par l’action d'une force constante en intensité et en direction, et le mouvement a la même direction et le même sens que cette force.

En effet, après un temps 0 , une force constante ayant fait pren- • dre au corps une vitesse v, après un autre intervalle 0 , elle lui aura

PRINCIPES FONDAMENTAUX

imprimé une outre vitesse v; celle-ci sera donc 2 y après le temps 26, d’après le principe sus-énoncé, c’est, on le voit, la loi du mouvement uniformément varié v = gt; donc, ce mouvement est produit par une même force agissant d’une manière constante. Telle est la pesanteur pour laquelle la valeur de g= 9,808.

Puisque l’effet d’une force sur un corps est le même, soit que d’autres forces aient précédemment agi sur ce corps , soit qu’elle ugissé sur le corps en repos, on peut établir le principe suivant :

Deux forces constantes F et F' sont entre elles comme les variations de vitesse w, tu', gu' elles imprimeraient à un même point materiel, en agissant pendant un même temps et d’une manière constante dans le sens de la vitesse initiale ou en sens contraire.

En effet , si une force égale à l’unité produit un accroissement de vitesse égal à a, F forces semblables produiront l’accroissement F x a = w; de même pour la force F', on aura : F' X a=w', donc : F : F :: w : w'.

Pour avoir la mesure de la force constante F, nous pouvons la comparer à une autre force dont l’effet sur le même corps soit connu, à la pesanteur. Nous savons que l’accroissement de la vitesse communiqué par la pesanteur dans le temps 6 est gO , nous aurons donc, en appelant P le poids du corps, ou l’effort exercé par la pesanteur :

w : g 6, ou F =

La quantité - 1 = M s’appelle la masse, elle est évidemment pro-

portionnelle à la quantité de molécules matérielles, pesantes, contenues dans un corps.

Puisque la force est constante ou le rapport - constant, on a en-

core, après un temps T, FT = MV, et après l’unité de temps

F = MV, quantité à laquelle on a donné le nom de quantité de mouvement.

Les forces constantes peuvent donc être mesurées par le pro- • duit de la masse du corps auquel elles sont appliquées par la vitesse qu'elles lui font acquérir pendant l’unité de temps, en

! JfJ-Üi-

COMPOSITION DES FORCES

entendant que l’on a pris pour unité de force celle qui fait parcourir à l’unité de niasse dans l’unité de temps , l'unité de longueur.

Nous avons déjà vu que nous prenions le kilogramme pour unité de force, le mètre pour unité de longueur, la seconde pour unité de

temps; l’unité de masse sera - — M, P étant égal à 1 kil., g égal

à 9,608, donc la masse prise pour unité est 9,808 celle d’un kilogramme ou d’un décimètre cube d’eau distillée.

La proportionnalité de deux forces aux masses de deux corps auxquels elles imprimeraient une même vitesse dans le même temps, qui résulte de l’expression des forces que nous venons de trouver, est une conséquence de l’inertie. En effet, si une force F imprime à une masse de matière m une certaine vitesse, puisqu’il faut une force 2 F pour imprimer à une masse 2 m cette même vitesse, c’est que chaque force F a servi à vaincre l’inertie de chaque masse m. [Machine d’Atwood sert dans les cours de physique à démontrer l’expérimentation, l’exactitude de cette loi pour la pesanteur. Nous avons supposé dans tout ce qui précède qu’il s’agissait de forces constantes. Si elles étaient variables, la première relation P w

F= - - , dans laquelle 0 a une valeur quelconque, serait toujours

applicable, à la condition de prendre 0 assez petit pour que la force pût être considérée comme constante pendant cet intervalle de . temps. Pour toute valeur de 8, la formule ci-dessus donnera la valeur d’un effort moyen constant capable de communiquer dans le même temps la même vitesse à la même masse que la force cherchée ; effort moyen qui se rapprochera d’autant plus de la force réelle que l’on observera la variation w pour un intervalle de temps moindre.

Composition des Forces.

13. Un point soumis à l’action de plusieurs forces ne pouvant suivre qu’une seule direction, se meut en chaque instant comme s’il obéissait à une force unique qui agirait suivant cette direction. Les forces qui agissent sur lui peuvent donc être remplacées par une seule , à laquelle on donne le nom de risultanle , ou réel-

PRINCIPES FONDAMENTAUX

proquemcnt on peut remplacer une force unique par deux ou plusieurs forces qui seraient ses composantes.

Soient P et Q deux forces agissant au point A (lig. 6), et représentées par deux droites de longueur proportionnelle à l’intensité de ces forces. Chacune de ces forces agissant isolément ferait parcourir en chaque instant, nu point matériel, un espace proportionnel à sa grandeur : les deux droites AP, AQ représentent donc également les forces et les espaces parcourus.

D'apres le principe de la coexistence des forces et des mouvements, le corps soumis à l’action simultanée des deux forces arrivera, après chaque instant, en un point qui sera le même que s’il avait obéi successivement aux deux forces, c’est-à-dire au point B, obtenu en menant P B parallèle et égal à A Q, après le temps pendant lequel le point eût parcouru les longueurs AP, AQ, sous, l’action isolée de chacune des forces P et Q, c’est-à-dire à l’extrémité de la diagonale du parallélogramme construit sur les lignes AP et AQ. ■* Ceci étant vrai pour un espace parcouru quelconque, pour le tiers, le quart, etc., des longueurs AP, AQ, on voit qu’en réalité le mobile parcourra la diagonale AB, et comme les lignes de la ligure représentent indifféremment les espaces parcourus et les forces, nous en arrivons à ce théorème :

Si deux forces P et Q sont représentées en grandeur et en direction par les deux côtés d'un parallélogramme, leur résultante est réprésentée en grandeur et en direction par la diagonale de ce parallélogramme.

Le principe de l’indépendance des mouvements fait bien comprendre que la direction de la résultante de deux forces est celle de la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux forces.

11 est facile d’établir, à posteriori , que cette diagonale représentera bien en grandeur cette résultante.

En effet (flg. 7), si nous appliquons au point A, suivant le prolongement de la diagonale A I , une force R égale et directement opposée à la résultante des forces P et Q, il est évident que le point A

COMPOSITION DES FORCES

ne se mouvra pas, restera en équilibre sous l’influence des trois forces P, Q, R.

La force Q, par exemple, sera donc égale et directement opposée à la résultante des deux autres P et R ( condition évidemment nécessaire pour que des forces agissant sur un même point ne produisent pas de mouvement). Si donc, par le point P, nous menons une parallèle à A C, qui coupe en B le prolongement de A Q par le point B, AB = A Q sera en grandeur et en direction la résultante des forces P et R. Menant encore BC parallèle à AP, la longueur AC représentera la force R ; car toute autre grandeur, conjointement avec AP, donnerait un pnraJléloflont la diagonale serait différente de AB=AQ. Mais AC=BP = AI, diagonale du parallélogramme Q AP, qui représente donc bien en gran- .

deur la résultante des forces P et Q.

Nous en déduisons, que si une force J R fait avec une ligne AP (fig. 8) un angle a, elle presse ou tire cette ligne, perpendiculairement, par une composante égale à R sin. a (l ), et exerce une traction ou une pression dans le sens de cette ligne, représentée par R cos. <*.

(I) On sait que pour introduire les angles dans le calcul, on y introduit des lignes liées intimement avec eux.

O M étant le rayon égal & 1 d'un cercle ( figure 9).

Le sinus est la perpendiculaire M P, abaissée d’une extrémité de l'arc AM sur le diamètre qui passe par l'autre extrémité.

Le cosinus est la longueur O P entre le pied de cotte perpendiculaire et le centre du cercle.

Le smus-crrse est la distance AP, égale au rayon ou à 1 moins le cosinus.

La tangent e est la distance AT interceptée aur la tangente menée ft une des extrémités de r

PRINCIPES FONDAMENTAUX

De ce que deux lorces agissant en un point peuvent se réduire à une seule, il en sera évidemment de même pour un nombre quelconque de forces concourant en un même point.

Forces parallèles.

14. Soient P et Q deux forces parallèles (fig. 10), représentées en grandeur et en direction par deux lignes parallèles agissant aux

extrémités d’une ligne AB. Si l’on applique aux points A et B, dans la direction de AB, deux forces égales et de sens contraire p , p, ces deux forces se détruisant, rien ne sera changé dans le système.

Déterminant les deux résultantes de Q, p ; P, p, et les prolongeant jusqu’à leur rencontre en O, il est évident que si on applique en ce point toutes les forces du système (et l’on peut toujours supposer que les forces agissent en un point quelconque de la ligne qui représente leur direction) et qu’on redéeompose en ce point les deux résultantes , qu’on rétablisse les forces Q , P agissant suivant la même ligne et qui par suite s’ajoutent , et les forces p, p qui se détruisent; la résultante se dirigera suivant OR, c’està-dire sera parallèle aux deux forces, égale à leur somme , et coupera la ligne AB en un point C, où l’on doit la considérer

l’arc, entra cette extrémité et le prolongement du rayon OM passant par l'autre extrémité.

La fig. montre que l’on a entre ces lignes les relations : sin.* a -(- cos.’ a = I.

, sin. a

sin. a ; cos. a " tang. a ; 1. ou tang. o = .

cos. a

COMPOSITION DES FORCES. 13

comme appliquée , et tel que l’on aura d’après les triangles semblables :

P:p ::OC :BC;Q : p :: OC : AC, d’où PxBC = Q x AC, ou AC : BC :: P Q,

c’est-à-dire que la ligne A B sera divisée en raison inverse des forces P et Q.

Si les deux forces P et Q sont de direction opposée (<ig. il), la

résultante s’obtient encore de la même manière, elle est égale alors à la différence des deux forces. Son point d’application n’est plus entre les points A et B, mais l’on a toujours PxBC=QxAC.

Si les deux forces étaient égales, les deux résultantes partielles de P ,p ; Q, p obtenues par la construction précédente restant parallèles, il n’y a plus de résultante unique. Il devient alors impossible de faire équilibre avec une seule force à l’action des deux premières. Réciproquement, lorsqu’un corps est tenu en repos par une seule force, il faut que toutes les autres forces appliquées au corps ne produisent pas le système dont nous venons de parler, aient une résultante unique égale et de direction opposée à fik la force considérée.

Le couple, ou système de deux forces égales parallèles et de sens opposé, peut être considéré, par rapport ù un corps libre, comme engendrant les mouvements de rotation de la même manière que la résultante rectiligne engendre le mouvement de translation. C'est sur la considération de ces deux éléments qu’est fondée la Statique de M. Poinsot, ouvrage très remarquable, dans lequel le savant auteur est parvenu à démontrer d’une manière

PRINCIPES FONDAMENTAUX

élémentaire et synthétique toutes les propositions relatives à l’équilibre.

15. On peut établir à priori la composition des forces parallèles, en partant du principe bien évident que deux forces égales et parallèles, agissant dans le même sens, ont pour résultante une force double de chacune des premières, agissant au milieu de l’intervalle qui les sépare.

En effet, deux forces quelconques peuvent être partagées en un certain nombre de forces égales, réparties suivant des divisions de la ligne qui les réunit en nombre double de celui qui représente la somme des deux forces.

Soient, par exemple (flg. 12), deux forces parallèles P et

O i 2 3 4 S 6 J B J iO

Fig. 12.

Q, et soient P = 2 kil. Q = 3 kil. Divisons en 2 + 3 = 5 parties la distance qui sépare les points d’application des deux forces.

On peut remplacer Q par six efforts partiels égaux à un I /2 kil. répartis de chaque cêté du point d’application et à des distances égales, et P par quatre efforts égaux semblablement disposés. La résultante de ces dix forces, égales à 1/2 kil. et également espacées, sera évidemment au point milieu marqué 6, et égale à 5 kil., autrement dit le résultat déjà trouvé.

16. 11 résulte de ce qui précède, qu’un système quelconque de forces appliqué à un même corps solide, peut toujours sc réduire à deux forces.

Nous le démontrerons d’abord pour le cas de trois forces.

Soient P, Q, R (flg. 13) trois forces quelconques appliquées aux trois points A, B, C d’un même corps solide. Joignons CA et CB.

COMPOSITION DES FORCES

Si les plans PAC, ABC, qui ont le point C commun, ne se confondent pas, ils se couperont suivant une droite CI. Prenons sur

cette droite un point quelconque, I, faisant partie du corps solide ou supposé lié invariablement avec lui.

Joignons AI et B I. Les droites AP, A I, AC, étant dans un même plan, on pourra toujours décomposer la force P en deux autres; l’une, p, dirigée suivant AI, l’autre, p', dirigée suivant C A. On pourra de même décomposer la force Q en deux autres : l’une, 7 , suivant B1 ; l’autre, 7 ', suivant CB. Les forces p et q concourant au point I, pourront se composer en une seule que nous désignerons par S. Les forces p ', 7 ' et R concourant au point A, pourront se composer en une seule que nous désignerons par S'. Le système des trois forces P, Q, R se trouvera donc remplacé par les deux forces S et S'.

Soient maintenant F F' F" F" . . . des forces en nombre quelconque appliquées à un même corps solide. En vertu de ce qui précède, les trois forces F F' F" peuvent être remplacées par deux que nous nommerons S, et S,. Les forces S, S, et F" pourront à leur tour être remplacées par deux forces S, et S 4 . En continuant ainsi, on voit que le système entier des forces agissant sur le corps solide peut être remplacé par le système de deux forces R et R'.

Généralement ces deux forces R et R' ne seront pas dans un même plan. Si elles étaient dans un même plan, elles seraient concourantes ou parallèles, et dès lors pourraient se réduire ou à une seule, ou à un couple, ou même se détruire entièrement dans le cas de l’équilibre.

Dans le cas général où les deux forces (fig. 1 4) ne sont pas

PRINCIPES FONDAMENTAUX

dans le même plan, on peut les considérer comme se réduisant à une force et un couple, c’est-à-dire qu'il se produira un double mouvement de rotation et de translation. En effet, A et B étant les points d’application de ces forces P, R', appliquons au point B deux forces rr parallèles, égales à P et directement opposées entre elles, qui par conséquent se détruisent, les forces R',r sc composeront en une seule R", etj les forces parallèles et égales P et — r formeront un couple.

Du Travail des Forées.

1 7. Les forces de la nature agissent toujours par une succession continue d’efforts déterminés le long du chemin parcouru par leur point d’application. Il y a donc une relation intime entre le chemin parcouru et l’effet produit par les causes de mouvement. Ces deux éléments, l’effort en chaque instant et le chemin parcouru, doivent être étudiés en même temps ; si on peut à la rigueur les étudier séparément quand il s’agit de corps libres, pour lesquels le chemin parcouru résulte directement de la grandeur des forces, il n’en est point de même quand on considère des systèmes de corps pour lesquels des liaisons spéciales déterminent les chemins que l’action de la force peut faire parcourir à son point d’application. Dans ce cas, le mouvement de ce point ne dépend plus seulement de la force, mais encore des liaisons du système.

Il devient alors nécessaire de considérer en même temps la force et le chemin parcouru, le produit de la force par le chemin décrit par non point d'application , évalué suivant la direction de cette force. C’est ce qu’on appelle le travail de cette force, ; f notion fondamentale de la mécanique appliquée. Entrons dans quelques détails à cet égard. *

Supposons qu’une force verticale, dirigée de bas en haut, soit employée à élever uniformément un fardeau; cette force sera constante et égale au poids du fardeau. Quant à l’effet produit, il sera évidemment proportionnel au poids du fardeau élevé, ou, ce