ENGRENAGES

118 . Le moyen le plus usité de communiquer le mouvement circulaire d’un axe à un autre avec la condition que les vitesses soient dans un rapport déterminé, surtout quand il s’agit d'efforts considérables ; et de faire qu’un axe ne puisse jamais se mouvoir indépendamment de l’autre, consiste à monter sur ces axes deux roues tangentes entre elles. Chaque roue porte des saillies qui s’engagent entre les intervalles des saillies de l'autre roue ; le mouvement d’une des pièces est ainsi rendu solidaire de celui de l’autre. Ce dispositif constitue l’engrenage (fig. 115).

On appelle cercles primitifs les deux cercles tangents, tracés avec des rayons obtenus en divisant la ligne qui joint les deux centres, c’est-à-dire les points de rencontre d’un plan perpendiculaire aux deux axes avec ceux-ci, dans le rapport inverse des vitesses angulaires des deux axes. La théorie des engrenages consiste à trouver des formes pour les dents, telles que le rapport des vitesses

Fig. H 5.

angulaires soit constant, ou, ce qui est la même chose, que le mouvement ait lieu de la même manière que si deux circonférences tracées avec les rayons obtenus en divisant la ligne des centres en raison inverse des vitesses, se conduisaient l’une l’autre sans glissement; c’est-à-dire que, comme nous l’avons vu pour les rouleaux, H et R' étant les rayons de ces cercles, ww' les vitesses angulaires, on ait Roj = RV. On appelle dents les saillies dont les cercles primitifs sont garnis, et qui se poussent l’une l’autre ; on appelle pas de l’engrenage l’iqtervalle compris entre deux parties semblables de deux dents consécutives, mesuré sur les cercles primitifs.

119. Poussée d'une courbe par une autre. Nous avons dit que le problème des engrenages consistait à faire mouvoir les deux cercles primitifs par le contact de courbes appelées dents, qui y sont adaptées, comme si ces cercles roulaient l’un sur l’autre. On peut se rendre compte qu’il se produit un glissement dans la poussée de deux courbes quelconques, et déterminer géométriquement le rapport de l’étendue du glissement à l’arc parcouru en chaque instant, par la méthode suivante que nous empruntons aux Principles of Mecanism de M. Willis.

Étendue du glissement. Soient A, B (flg. 1 1 6) les centres de rotation de deux pièces quelconques qui se conduisent par contact ; B M , A M la position de ces pièces à un instant quelconque du contact ; M D la normale commune en leur point de contact M ; Bwi, km les positions des pièces dans une situation du système infiniment voisine de la première, m étant le nouveau point de con- Fig. 116. tact; p,n les positions nouvelles des

points des pièces A et B qui étaient en contact en M. Joignez les points p et n; pour un mouvement infiniment petit, pn sera une droite perpendiculaire à la normale commune M D, le déplacement ne pouvant s’effectuer que suivant l’élément commun, elle sera la

différence mp — mn des arcs qui ont glissé l’un sur l’autre, et elle exprimera l’étendue du glissement. De même, pour un mouvement initial, Misera une perpendiculaire à AM (la rotation se faisant autour du point A), et M n à B M ; on a donc : ,

pn sin. pM» sin. DMA sin. (B AM + ABM)

p M sin. pnM sin. DMli sin. D MB

On aurait de même, pour l’autre pièce B :

pn sin. BMA

nM sin. DMA

Ainsi , pour chacune des pièces, l'arc de glissement instantané (p n) est à l’arc parcouru par le point de contact, comme le sinus de la somme des angles compris entre la ligne des centres et les rayons de contact, est au sinus de l' inclinaison de la normale en M, sur le rayon de contact de l’autre pièce.

Tirant des expressions ci-dessus les deux valeurs de l’arc de glissement pn, on voit que cet arc ne peut devenir nul pendant le mouvement qu’à la condition d’avoir toujours :

Sin. BMA= sin. (BAM -f- ABM) = 0 .

Ainsi, les courbes ne peuvent se conduire par roulement et sans glisser l’une sur l'autre, qu’ autant que les rayons vecteurs du point de contact coïncident avec la ligne des centres.

Par suite, deux circonférences se conduisant par simple contact, satisfont à cette condition, puisque le point de contact est toujours sur la ligne des centres, et elles peuvent seules se conduire sans glissement dans un rapport de vitesse constant, car les vitesses instantanées sont inversement proportionnelles aux rayons vecteurs lorsque le point de contact se trouve sur la ligne des centres, comme nous le verrons art. 127. Donc ces rajons sont nécessairement constants et des rayons de cercles, proposition dont nous sommes parti au commencement de ce chapitre.

1 20. /lapport entre les profils de deux dents qui se conduisent. De la condition à laquelle les engrenages doivent satisfaire, de faire mouvoir les deux axes dans un rapport de vitesse constant, c’està-dire comme si deux circonférences roulaient l'une sur l’autre, il

résulte que le profil des dents d’une des roues étant donné, celui de la seconde se trouve déterminé.

Soit O' l’une des roues (fig. 1 17 ), m a, le profil d’une de scs dents,

que nous supposons quelconque, M A le profil de la dent de l’autre roue qui n’est plus arbitraire, et que nous nous proposons de déterminer. Quand la roue O aura fait une certaine rotation, et que son point M sera venu en M,, le point m en m„ la deuxième roue aura aussi tourné. La courbe m a aura la position ft' a , la dent de la roue O, qui n’a pas cessé de s’appuyer sur la courbe m a pour faire tourner la roue O', aura la position M, A, et sera tangente à la courbe ft' «', puisqu’elle pousse celle-ci. C’est cette condition que la courbe M, A, soit dans toutes les positions tan ■ gente à la courbe mobile ft' a' qui détermine cette courbe.

Faisons tourner toute la figure autour du point O, de manière que le point m, revienne en m, la courbe M, A, reprendra la position M A. Le cercle O' prendra la position O", la courbe ft' a la position p'V', et sera tangente à la courbe M A. Cette dernière courbe sera donc tangente à la courbe ft' a dans toutes ses positions (et en est dite l’enveloppe), quand on fait éprouver à toute la

figure, ou plutôt au cercle O', puisque le cercle O a accompli deux rotations égales et contraires, la rotation quelconque que nous venons de supposer. Or, dans la position O" on a :m"m — tnm,, — — rqm,. Le cercle O' se trouve donc en O" dans la

môme position que s’il avait roulé librement sur le premier cercle O. Il s’ensuit que pour construire la courbe MA, il faut faire rouler le cercle O' sur le cercle O supposé fixe, la courbe MA sera l’enveloppe de l'espace parcouru, dans ce mouvement, par la courbe MA.

L’étude géométrique des courbes enveloppes offrant beaucoup d’intérét, nous devons nous y arrêter, ce qui nous permettra ensuite d’exposer d’une manière complète la théorie des engrenages. Nous allons entrer dans quelques détails à leur égard ; mais d’abord il faut nous occuper du roulement d’un cercle sur un autre, indépendamment des courbes qui peuvent être assemblées avec eux pour former les dents des engrenages (1).