Roulement d'un cercle sur un autre. — De l’épicycloïdc

Deux cercles O et O', situés dans le même plan (fig. 121), sont tangents l’un à l’autre en A. Le. cercle O' est mobile, et partant de la position initiale, il roule sur le cercle O qui est fixe. Dans ce mouvement, le point o, confondu à l’origine avec A, mais appartenant au cercle O', prendra des positions successives a, a„ a „ etc., telles que les arcs a, A, , a. A, seront égaux en longueur aux arcs AA,, AA,, etc. Le lieu de toutes ces positions a, a,, a,, etc., est une épicycloïde ; tous les points de la circonférence mobile décrivent à la fois des épicycloïdes égales.

L’épicycloïde est extérieure ou intérieure, selon que le cercle mobile O' a son centre au dehors ou au dedans dans la circonférence O qu’il touche en roulant.

Construction par points. Pour construire par points une des

courbes décrites par un point de la circonférence du centre O', celle dont l’origine est en A, par exemple, on prend sur un cercle de rayon 00' = 0A-}-0'a des positions individuelles du centre O', telles que O', , O', , etc. Si l’on porte sur une quelconque de ces circonférences, par exemple 0',, à partir du point de. contact A, , un arc A , a , égal en développement à l’arc AA, , le point a» appartiendra à la courbe cherchée.

Normale à l'épicycloïde. Le déplacement infiniment petit du cercle O' roulant sur la circonférence 0, a lieu, pour la position individuelle 0', , autour du point de contact A, comme autour d’un centre instantané de rotation. Dans ce déplacement, tous les points de la circonférence 0' , se meuvent sur de petits arcs de cercle ayant A, pour centre. Parmi ces arcs, celui que décrit le point générateur situé en a, est un élément de l’épicycloïde, le rayon a, A, de ce petit arc est donc normal en ai à cette courbe elle-même.

La normale à l’épicycloïde est donc la corde du cercle mobile qui joint le point décrivant au point de contact instantané des circonférences. La tangente à l’épicycloïde est la corde qui joint le point décrivant et le point du cercle diamétralement opposé au même point de contact (angle droit mesuré par une demi-circonférence).

123. Cas particuliers. Si le rayon OA augmente indéfiniment, à la limite la circonférence 0 devient une ligne droite, et l’épicyeloîde a a, a,, etc., une cycloïde. Les propositions précédentes s’appliquent sans difficulté à ce cas.

Développantes. Si le rayon (fig. 122)

0 A, ayant une valeur constante et finie, le rayon O'A augmente indéfiniment, à la limite la circonférence mobile 0' devient une ligne droite, et l’épicycloïde une développante du cercle fixe.

La droite génératrice prend successivement les directions a, A,, a. A,, etc., des tangentes en A, A,, etc., à la circonférence 0. Le point décrivant a se meut comme s’il était l’extrémité d’un lil enroulé sur cette circonférence, et que l’on déroulerait en tenant constamment tendues les portions successivement dévelop-

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pées a, A, , a, A, , etc.; par construction les longueurs rectilignes o,A,, a» A,, etc., sont donc égales aux arcs AA,, AA, , etc., et chaque élément de la développante se confond avec un petit arc de cercle décrit des points A,, A, comme centres. Les diverses positions de la droite génératrice sont donc normales à la courbe engendrée, et deux normales infiniment voisines se coupent sur la circonférence O elle-même.

Si l’on considère sur le fil enroulé d’autres points tels que 6,, comme générateurs d’autres développantes semblables telles que b b, b, ... ces courbes auront pour normales communes les portions de fil successivement tendues; l’écartement a, b„ a, b, ... de deux quelconques d’entre elles, suivant les différentes normales, sera constant et partout égal à l’écart initial a b de leurs points décrivants sur la circonférence O.

124. Nous pouvons appliquer aux courbes que nous venons d’étudier les résultats de l’art. 119, et calculer le glissement «pii se produirait dans des engrenages dont les dents auraient pour profil de semblables courbes.

Les courbes qui se poussent sont deux développantes de cercle (fig. 123), forme que l'on peut donner aux deuts, comme nous le prouverons bientôt. On le comprend facilement en remarquant que ces courbes ont toutes deux une normale commune M D et sont tangentes en M; menant B D perpendiculairement à cette normale commune MD, et remarquant que, pour une développante , cette perpendiculaire est constante, on a, en faisant B D = r = l :

BD = BM sin. DMB ou sin. DMB =

D'où l’on voit que le rapport trouvé art. 1 1 9 devient :

pn BM sin. BMA B N pU ~ r r

c’est-à-dire que le rapport de l’arc de glissement p n à l’arc décrit par le rayon vecteur A M du point de contact M, croit pour la pièce A , comme la perpendiculaire B N menée de l'autre centre de rotation sur le prolongement de ce rayon vecteur.

Les courbes étant l'une une épiexjcloïde tournant autour du centre A, et l'autre une droite tournant autour tfe B, qui, nous l’avons vu, est tangente en M à l’épicycloïde (fig. 124), l’angle D MB devient droit, et le rapport

^ = sin. BMA = sin. (BAM -f ABM)

croit comme le sinus de BMA, ou comme la distance du point de contact à la ligne des centres.