DES COURBES ENVELOPPES

1 25. Reprenons en général le cercle O' roulant sur la circonférence O (flg. 125), soient AA, A, A„ etc., un certain nombre de points du contact instantané ; a, A,, a, A„ a, A„ etc., des arcs du cercle mobile, égaux en longueur aux arcs correspondants A A, AA, A A„ etc., sur le cercle fixe aa, a, a s .

Concevons en même temps une courbe a b faisant corps avec le cercle mobile (y, et prenant successivement quand il roule les positions a, b„ a, b„ a, b„ etc. Chacune de ces courbes individuelles coupera la précédente et les points d’intersection consécutifs «', **, »*, etc., seront autant de sommets d’un polygone curviligne qui se changera en une courbe continue si les contacts AA, A, A„ etc., sont très rapprochés ; les côtés A», ii\ etc., considérés comme infiniment petits, seront les éléments de cette courbe continue; elle porte le nom d 'enveloppe , et la courbe a b celui d 'enveloppée. Dans chaque position individuelle , l’enveloppée a un élément qui lui est commun avec l’enveloppe a, b,, avec

Fig. 124.

ii", o, ô„ avec etc.; à la limite, chaque enveloppée individuelle est tdhgente à l’enveloppe ( 1 ).

Cherchons directement les points de tangence communs à l’en-* veloppe et aux enveloppées successives. . **

Considérons sur une des positions individuelles de l’enveloppée, ^ sur a, 6, par exemple, le point e„ pour lequel la normale A,e, va .

passer par le contact correspondant A, des circonférences fixe et mobile.

Tous les points de a, 6,, pour se transporter sur l’enveloppée

(1) Los deux courbes a b et Ali' i" i'", etc., sont l’une par rapport à l’autre réciproquement enveloppe et enveloppée. Si 1a circonférenoe O, devenue mobile et emportant avec elle la cuurbo A i i ' i", roulait sur la circonférence O' devenue fixe, les intersections consécutives des différentes positions de A i i' i", etc. , dé* termineraient comme limite la conrbo a b.

infiniment voisine a, b„ décrivent autour de A 3 , comme centre instantané de rotation, des ares de cercle infiniment petits.

Parmi tous ces arcs, celui que décrit le point e 3 se confond avec un élément de la courbe môme « 3 ô, (puisque A,e, est sa normale); le point e j ne sort donc pas de cette enveloppée en passant à l’enveloppée suivante. Les deux enveloppées consécutives se coupent donc quelque part en à une distance infiniment petite de c 3 . Ce dernier point est donc situé sur l’élément i"i”, commun à l’enveloppée «j et à l’enveloppe. A la limite, la normale A s e, est la normale commune aux deux courbes, e» est leur point de tangence.

Ainsi la normale commune à l’enveloppe et à chaque enveloppée passe par le contact correspondant des circonférences fixe et mobile ; de là un moyen de construire par points une courbe enveloppe. Si l’on trace une des positions individuelles du cercle qui roule, telle que O',, et relativement à cette position celle de l’enveloppée a* 6, ; si, par le contact des circonférences A, on mène une normale A* e 3 à l’enveloppée décrite, e, sera le point commun à cette enveloppée individuelle et à l’enveloppe cherchée.

Si l’enveloppée a b est géométriquement définie, on saura, pour une position donnée fl 3 6„ lui mener une normale par un point extérieur A,. Si l’enveloppée est seulement tracée sur le cercle O, sans être connue par ses propriétés géométriques, on obtiendra graphiquement le point e 3 par où la normale A ,c, doit passer, en décrivant, après quelques essais, du point A, comme centre, un arc de cercle qui touche seulement la courbe a, 6,; le point de tangence sera le point e 3 qu’il fallait déterminer.

Dans bien des cas, les arcs de cercle décrits des centres A A, A„ pour déterminer les points de l’enveloppe e,c,e„ se confondront dans une petite étendue avec l’enveloppe elle-même, et ils se raccorderont à très peu près entre eux si les centres A, A„ etc., sont assez rapprochés.

I2fi. C’est d’après ces principes que M. Poncelet a proposé une méthode pour obtenir le tracé des dents d’une roue, celui des dents de la seconde roue étant déterminé. Voici en quoi elle consiste :

Le profil MA (fig. 12G), des dents de la roue O étant donné, pour construire celui des dents de la roue o, il faut faire rouler le cer-

Diqitized by

cle o sur le cercle O, et de chaque point de contact M', M", abaisser une perpendiculaire M' P, M" P' sur la courbe MA.

Les pieds P, P', sont des points de la courbe M a , profil des dents de la

Ui 1 — '

‘ Mais, pour faire cette construction,

Fig. 426. il n’est pas nécessaire de déplacer le

cercle o , il suffit de prendre sur sa circonférence des ares M»?', Mot", égaux aux arcs MM', MM", et de mener les normales ot'/?, m" p'. Pour cela, avec des rayons égaux à M' P, M"P', on décrit des points ot',ot", de petits arcs de cercles suffisamment rapprochés, et l’on trace la courbe Ma, tangente à tous ees cercles, qui est la courbe cherchée.

Pour que ce tracé fut tout à fait satisfaisant, il faudrait que les arcs de cercle en se raccordant pussent fournir un tracé continu, non seulement par points mais par éléments linéaires. Pour cela, ils devraient avoir pour centres, non seulement des points de la normale, mais les centres de courbure (i) de l’enveloppe sur ces nor-

(t) On appelle centre de courbure d’une courbe le centre du cercle, dit cerclo osculsteur, qui a deux élément» communs avec la courbe, et dont la courbure est pur suite lu même qne celle de la courbe au point commun.

Pour bien comprendre ce qu'on entend par le cercle osculateur, considérons un corde o (fi-

é gure 127) auquel on mène une tangente au point a, puis des tangentes en des points quelconques plus ou moins voisins. Pour nn point quelconque 6, l'angle des deux tangentes w sera égal à l'angle au centre des deux rayons oa, ob, et s étant la longueur do l’arc a b, on aura tou- Fig. 127. jours : R» = * ou R = i.

It est donc le rapport de la longueur d'un arc de cerclo a l'ongle des deux tangentes, rapport indépendant de lu position des tangentes; donc, le rayon est la mesure delà courbure de deux éléments consécutifs du cercle, qui se confondent avec deux tangentes infiniment voisines ; donc cette courbure est constante.

La courborc de deux éléments consécutifs d'une courbe sera mesurée par le rayon du cercle ayant deux éléments communs, deux tangentes infiniment voisines communes avec cette courbe. Le centre de ce cercle sera le centre do courbure do la courbe pour ces éléments.

males. Or, il existe entre les rayons de courbure de l’enveloppe et de l’enveloppée, au point où elles se touchent, une relation très simple, qui permet de les déduire facilement l’un de l’autre.

127. Avant de déterminer cette relation, nous ferons remarquer * qu’on peut déduire de ce qui précède un théorème très général que nous avons supposé dans la démonstration de l’art. 119. Si deux courbes quelconques se poussent en tournant autour de deux centres, les deux éléments en contact seront tangents et auront une normale commune ; ils pourront donc être considérés pour un instant comme appartenant à une enveloppe et à une enveloppée ; le point de rencontre de la normale commune avec la ligne des centres, partagera celle-ci en deux parties qui seront en rapport inverse des vitesses angulaires instantanées.

En effet, ce point de rencontre ne sera que le point de contact de deux circonférences primitives, qu’on peut supposer exister pour l’instant pendant lequel les éléments en contact appartiennent à une enveloppe et à une enveloppée adaptées à ces circonférences primitives Fig. 428.

comme art. 125. Donc, dans les données de la ligure 128, quelles que soient les courbes A et B, les vitesses étant mesurées par les rayons des circonférences primitives qui se touchent en T, on aura :

V, : V, ::BT : AT.

1 28. Centre de courbure de l'enveloppe. Considérons une position quelconque a du cercle O' (fig. 129), pour laquelle il est tangent en « à la circonférence O sur laquelle il roule. Soit alors a m b la position de l’enveloppée, A w B celle de l’enveloppe, m le point de contact de ces deux courbes, C«?nC' leur normale commune, que nous savons passer par le point de contact a ; prenons sur les deux circonférences deux arcs infiniment petits, égaux en longueur, «*„ ««j les points a' et a,, après un très petit déplacement du cercle a roulant surle cercle O, devront coïncider. Alors lestayons O a, na' se trouveront sur le prolongement l’un de l’autre, comme actuellement les rayons 0«,a«, et dans le passage de la position actuelle

à cette position voisine, le rayon n« tournera évidemment d’un angle égal à la somme des deux angles «Oa,, aa«', angle que font entre eux Oa, et a a*.

Si C et C' sont pour le point m les centres de courbure de A «B et de amb , et que l’on mène par ces points les droites C a ,m, C'wi'a', m, et >«' seront les points des deux courbes par lesquelles elles se toucheront, quand le contact des deux cercles aura lieu au point «' a,. En effet, dans la nouvelle position des cercles, la normale commune aux deux courbes devra passer par leurs centres de

courbure, qui sont encore C et C', et par le nouveau point de contact a„ avec lequel x se confond alors. Le rayon prolongé C' x sera donc venu se placer dans le prolongement de C#,; il aura donc * tourné d’un angle égal à la somme des deux angles aCa„ xC'x.

Mais dans le passage d’une position à l’autre, les deux droites tix, C x, qui se meuvent simultanément en comprenant entre elles un angle constant, tourneront d’une même quantité angulaire. On aura donc l’égalité des deux rotations que nous venons de déterminer, c’est-à-dire

x O a, -f- a il x! = a C a, -(- a C x ' ,

Or, si je désigne par p et p les rayons de courbure C m, C' /», par

L1YIIE DEUXIÈME.

o l'angle C'ait (le la normale commune aux deux courbes avec la ligne des centres O il, par p la portion de normale u ni, par d s les arcs infiniment petits égaux entre eux, ««,, an’, qui peuvent être considérés comme de petites lignes droites faisant l'une et l’autre, avec une perpendiculaire à la normale commune CuinC, menée par le point u l’angle p, on trouve :

aCa,=

d s cos. f P— P

dit cos. f P+P

Substituant ces valeurs dans l’égalité précédente, et supprimant le facteur commun ds, on obtient enfin :

(a) cos. y | — ! [- — ^ — l e= j- -4-

Telle est la relation simple que fera connaître lin des rayons de courbure lorsque l’autre sera donné. Si le centre C' tombe du même côté que a par rapport au point »*, p devra être négatif; il en

TV

sera de même pour R' si le centre du cercle mobile est situé à l’intérieur du cercle fixe, si le roulement est intérieur. Ainsi, dans les données de la fig. 130, la relation (a) devient : f l ï "\ 1 l

129. Tic placement simultané du contact sur l'enveloppe cl l'enveloppée. Avant d’appliquer la relation («) à des constructions

zedbv Goc

géométriques, il sera utile d’examiner de quelle manière le lieu du contact entre l’enveloppée et l’enveloppe se déplace sur ces deux courbes, dans les déplacements successifs de la première, qui servent à déterminer la seconde lors du roulement du cercle n sur la circonférence O.

Lorsque les cercles, d’abord tangents en « (flg. 129), se toucheront après un déplacement infiniment petit, par les points les courbes d’abord tangentes en m, viendront, ainsi qu’on l’a vu, sc toucher parles points m',m , . Le contactdes circonférences aura parcouru, sur chacune d’elles, des arcs égaux a«, = aa' = ds : le contact de l’enveloppée et de l’enveloppe aura parcouru sur l’enveloppée l’arc mm' = p (a C'a') = p ? ■ sur l'enveloppe

l’arc ni m, (aCa,) =. p

du cos. <p

. La différence des arcs élé-

mentaires parcourus ici dans le même sens, sera donc :

mm, — m m = ds cos. y | — - — I

= pd s cos. y (— b -TT— V

Comme on le voit, en réduisant au même dénominateur les termes des deux expressions; donc enfin d’après la relation (a)

mm , — m m' — ^ -f- pds.

Le roulement étant toujours extérieur, le lieu du contact peut se déplacer en sens contraire sur l’enveloppée et sur l’enveloppe ; c’est ce qui a lieu lorsqu’un des centres de courbure , C' par exemple, se trouve sur la normale entre le point m et a; alors m , et m' sont par rapport à la normale et au point m de côtés opposés, et

l’expression -f- ^ pds représente, quant à sa valeur abso-

lue, la somme des petits chemins mm, et mm'; mais on peut toujours la regarder comme leur différence, en donnant, ainsi que l’analyse l’indique, à des déplacements qui ont lieu en sens opposés, des signes contraires.

130. Détermination graphique des centres de courbure. Je 1 . 9

reviens au tracé d'une enveloppe et à la recherche de ses centres de courbure ; la relation (a) en fournit immédiatement une détermination graphique. En effet, si j’élève (flg. 1 31), au point de con-

Fig. 131 ,

tact des circonférences s , une perpendiculaire « D sur la normale CawiC', cette perpendiculaire rencontrera les droites O G C'a menées par les centres O et C, a et C' en un seul point.

En effet, le triangle aC' D est semblable au triangle aC' K , obtenu en menant a K perpendiculaire à CC', on a donc :

«D :<*C' :: aK:C'K,

or : aC' = p‘ + /?, a K = R' sin. 9, C'K = (p' -j-p) — R' cos. y, donc :

(p+p) R' sin. y <*.'+/>)- H' cos. y*

De même, le triangle «CD est semblable au triangle CO K' qu’on obtiendrait en abaissant du point O une perpendiculaire sur le prolongement de CC'; on aurait pour le point D déterminé par la rencontre des deux lignes O C et «D,

aD : «C :: O K' : CK',

or : aC = p — p, OK' = R. sin. y, CK' = Rcos. y — (p — p), donc :

aD= (p — P) R sin- y

R COS. y — (p —p)'

- JL

Mais la relation (a) (art. 1 28) donne, en transposant le deuxième et le troisième terme et réduisant au même dénominateur R COS. y — (p — p) (p'-\-p) — R' COS. y

(P— 1») B ip'+p)* " ’

qui renversées, sont les mêmes que les précédentes divisées par sin. y.

Les deux valeurs de aD sont donc égales, les trois droites «D, O CD, C'aD, se coupent donc en un même point.

131. Tracé de l'enveloppe à l'aide de ses rayons de courbure. Si donc le centre de courbure C' est connu , et que l’on cherche le centre C, ou élèvera la perpendiculaire <* D, on mènera la droite C'ilD, et le point D étant ainsi déterminé, on mènera la droite OCD qui rencontrera la normale C a m C au point C cherché ; l’arc de cercle décrit avec un rayon égal à C m sera, dans une petite étendue, celui qui s’écartera le moins de l’enveloppe A vi B.

Si l’enveloppée A m B est définie par ses propriétés , le centre de courbure C' au point m sera connu, aussi bien que la direction de la normale C « m C ; lorsque cette courbe est seulement tracée on a vu comment la direction de la normale pouvait s’obtenir graphiquement. Si, dans ce cas, on cherche de quel centre, sur cette normale, peut être décrit l’arc de cercle le plus approchant de la courbe a m b dans le voisinage du point m , le point ainsi déterminé pourra être pris pour le point C'. La construction qui précède fera ensuite connaître le centre C et une partie de l’enveloppe A»iB avec le même degré de précision que, dans une amplitude comparable, l’arc décrit de C' comme centre représente l’enveloppée.

132. Enveloppées concentriques. La position d’un centre de courbure C dépendant uniquement de la direction de la normale C C', et de la position du centre conjugué C' (fig. 132), diminuons, suivant toutes les normales à l’enveloppée a m b, tous ses rayons de courbure de quantités égales mm', nn' , oo' ; augmentons de la même quantité tous les rayons de courbure de l’enveloppe A »i B , et nous obtiendrons deux nouvelles courbes a! m! b', A' m' B' qui seront évidemment encore l’une à l’autre enveloppe et enveloppée.

Dans le cas particulier où l’enveloppée a m b est un cercle, toutes

les circonférences qui lui seront concentriques donneront naissance à des enveloppes normalement équi -distantes , ayant toutes le même centre de courbure. Toutes ces enveloppées circulaires ont pour limite un point , leur centre commun ; la courbe décrite par le centre commun lors du roulement est la limite des enveloppées correspondantes.

Fig. 132.

133. Autre conséquence du tracé précédent. Si l’on remplace dans la pratique, comme nous le verrons plus loin, pour de petites longueurs, les courbes difficiles à tracer par des arcs de cercle, le centre de courbure de l’enveloppée sera déterminé par un tracé très simple, dès qu’on connaîtra le centre du cercle substitué à la courbe enveloppe.

Ainsi A et B étant les centres de rotation de deux circonférences qui se touchent en T (fig. 133), par ce point menons une droite quelconque P T Q , et soit pris arbitrairement sur cette droite Fi S > <33 -

un point P pour centre d’un cercle de rayon PT. L’enveloppe de ce

CIRCULAIRE CONTINU EN CIRCULAIRE CONTINtf. 133

Fig. 134.

cercle aura un centre de courbure pour le contact du point T qu’il sera facile de déterminer. En effet, ce centre sera sur la ligne PQ qui est la normale passant au point T, commune à l’enveloppe et à l’enveloppée; si donc on élève la perpendiculaire KT sur PQ , cette ligne rencontrera A P en un point K, tirant B K ; cette ligne rencontrera PTQ en un point Q, qui sera le centre de courbure cherché.

134. Rayon de courbure de l'Épicycloîde. Si le point auquel se réduit l’enveloppée comme nous le supposions art. 132, appartient à la circonférence n elle-même , l’enveloppe limite est une épicycloide (fig. 134). Soit, pour une position de n dans le roulement, m le point décrivant avec lequel se confond le centre de courbure C', pour obtenir le centre de courbure de l’épicycloïde, il suffira de mener le diamètre m ni), et la ligne O D déterminera sur la normale ih#C le centre C de I’épicycloïde en m. En effet, le point D de la construction générale est placé sur la circonférence n (puisque la ligne «D est perpendiculaire sur nia).

Le lieu A C des centres des courbures C est une autre épicycloide à laquelle sont tangentes les normales de la première. Si au point C on élève C 6 perpendiculaire sur C « m, l’épicycloïde AC pourra être considérée comme décrite par le point C lui-même , dans le roulement d’un cercle mobile du diamètre a 6 sur un cercle fixe dont 60 serait le rayon. Si le roulement du cercle n se prolongeait en sens contraire au delà du contact initial A, *on obtiendrait évidemment une seconde partie de l’épiçydoide semblable à la première. Au point de rebroussement le rayon de courbure est nul.

135. Epicycloide allongée et raccourcie. Lorsque le point auquel se réduit l’enveloppée est extérieur à la circonférence a, la courbe décrite dans le roulement (fig. 135), l’enveloppe de toutes ses positions, porte le nom d’épicy-

Fig. 135.

cloide allongée. Pour tracer la partie voisine de la position m , du point décrivant, joignons m,n, le point m, au centre a du cercle mobile ; le point m sur la circonférence décrira une épicycloide ordinaire. Le centre de courbure de l’enveloppe ou de la courbe cherchée, l’enveloppée se réduisant à un point qui est son centre de courbure, sera déterminé par la construction générale qui donnera un centre C, d’où l’on pourra décrire avec le rayon Cm, un petit arc de cercle qui se confondra avec un arc de la courbe. Si A est la position initiale de m, « celle de m , ; les diverses positions du rayon de longueur constante m,ma seront données par la condition arc A« = arc «m.

L’épicycloïde raccourcie que la ligure représente ponctuée est la courbe décrite dans le roulement par un point n intérieur au cercle. On la construira de la même manière que l’épicycloide allongée. On obtiendrait des courbes analogues par le roulement de n à l’intérieur de O.

1S6. Courbe enveloppe d’un cercle.

En même temps que le point m de la circonférence n décrit l’épicycloïde Am, un petit cercle (fig. 1 36), dontee point m est le centre et mN=wN, = r le rayon, engendre une courbe enveloppe ayant, ainsi qu’on l’a vu , mêmes normales et mêmes centres de courbure que l’épicycloïde : les deux éléments N, N, du petit cercle enveloppée que rencontre norma- Fi S- 136 -

lement une normale a m à l’épicycloïde, appartiennent à l’enveloppe dont il s’agit. Cette enveloppe symétrique comme l’épicycloïde, de part et d’autre de la ligne O A O', a deux points de rebroussement en *, c, sur la courbe AC, lieu des centres de courbure. On déterminera facilement en remarquant que pour ces points le rayon de courbure de l’enveloppe est nul, et celui de l’épicycloide = r.

Dans les applications la seule portion utile de la courbe-enveloppe que l’on vient de considérer est la partie intérieure tN, ou plus exactement la partie de cette branche située au dehors de la circonférence O. L’origine de cette partie de la courbe, sur la cir-

conférence O, est un point p très voisin du rebroussement t, et tel que l’arc A p (fig. 137) soit égal en longueur à l’arc soutendu , sur la circonférence O', par le rayon r du petit cercle enveloppé.

En effet, lorsque le point décrivant m de l’épicycloîde est arrivé à une position telle que le petit cercle de rayon r, dont m est le centre, passe par le contact instantané de O et de n, tnp est la normale à l’épicycloïde, p le point de l’enveloppe situé sur la circonférence O et arc tnp = arc Ap. 137. Epicycloïde enveloppe d’un rayon du cercle mobile.

Fig. 138.

Si l’enveloppée est un rayon B b du cercle mobile F, l’enveloppe cd est encore une épicycloïde flg. 138). En effet, concevons un second cercle mobile dont le diamètre soit le rayon BT du premier, T b normale commune à l’enveloppée et à l’enveloppe , est perpendiculaire sur B b. Le point de rencontre b est donc sur le second cercle mobile. Sur ce cercle, l’angle obtenu en joignant b au centre est double de l’angle T B b. Or, comme son rayon est égal à J BT= J B, l’arc Td aura pour mesure le produit R (TB b) et l’arc Té le produit égal 5 2 (TBé). Les deux arcs Té, Td sont donc égaux et

comme par construction T d = Ta, puisque le cercle F roule sur le cercle A, on aura aussi Ta = Té. Le point é engendrera donc, dans le roulement du cercle dont le diamètre est B T sur la circonférence O, la courbe enveloppe du rayon B é. Cette enveloppe est donc une épicycloïde.

1 38. Epicycloïde enveloppe d’une autre épicycloïde. Plus généralement (flg. 139), si l’enveloppée anib est une épicycloïde engendrée par un point du cercle U d’un rayon quelconque, roulant

dans l’intérieur du cercle n, l’enveloppe Am B sera l’épicyeloïde décrite par le même point du même cercle U, roulant extérieurement sur la circonférence O.

En effet, on aura par construction arc ma = arc a a et arc ma = A a, donc arc ««= arc A a. ma sera donc la normale commune aux deux courbes amb, AmB : elles seront l’une à l’autre enveloppée et enveloppe, dans le roulement du cercle a sur le cercle O. L’épicycloïdc amb devient un point si les centres U et û

se confondent ; un rayon du cercle n si le rayon du cercle U est moitié du rayon du cercle n. Ce second cas particulier vient d’être traité directement.

139. Développante de cercle enveloppe d'une autre développante. Si l’enveloppée est une développante a ni b (11g. 140) d’un cercle nC'

concentrique à n, et qu’on trace un cercle OC B concentrique avec O, dont le rayon OC = (nC 1 ), chaque normale C'maC,

passant par le point de contact des deux circonférences primitives, sera évidemment tangente à la fois aux deux circonférences O.C et OC. Cm est donc le rayon de courbure de l’enveloppe, comme C'm est celui de l’enveloppée. La courbe B Am est donc une développante du cercle OC, comme a m b une développante du cercle a C' .

140. Ce qui précède suffit pour déterminer complètement la forme d’une courbe enveloppe d’une courbe donnée , et notamment les formes les plus simples qui conviennent le mieux dans la pratique, et sont préférables à toutes les autres solutions théoriques de la question. Nous pouvons donc diviser toutes ces solutions en cinq classes :

1° L’enveloppée est un point, l’enveloppe est une épicyeloïde (art. 134).

2° L’enveloppée est un rayon du cercle mobile, l’enveloppe est une épicyeloïde (art. 137).

3» L’enveloppée est une développante, l’enveloppe est une développante (art. 139).

4° L’enveloppée est une épicyeloïde engendrée par un point d’une circonférence roulant intérieurement sur l’une des circonférences primitives; l’enveloppe sera une autre épicyeloïde engendrée par la même circonférence roulant extérieurement sur l’autre circonférence primitive (art. 138).

5“ Enfin, plus généralement encore, on peut dire, dans des termes qui renferment tous les cas précédents comme cas particuliers, que l’enveloppée étant la ligne décrite par un point d’une courbe quelconque roulant extérieurement sur l’une des circonférences primitives, l’enveloppe est engendrée par le même point dans le roulement de la courbe à l’intérieur de l’autre circonférence primitive.

Cela résulte des théorèmes que nous avons déjà démontrés, car pour un point D quelconque (fig. 141) nous avons vu que, dans tout roulement, la normale

commune passe au point de contact T, donc DT sera une normale commune aux deux enveloppes de D, donc celles-ci ayant successivement leurs normales communes, seront l’une à l’autre enveloppe et enveloppée (1).

(1) Cette solution générale pont Stro ainsi présentée sons forme de théorème :

II est toujours possible de trouver une courbe PQR qui en roulant sur une autre courbe donnée A D F B engendrera par quelque point une courbe ACE, potirru les normales CD, EF d cette dernière courbe rencontrent la première ADF B.

En effet (fig. 4 42 et 4 43), soient CD, EF des normales aux points C, E infi-

niment voisins; par nn point P menez PQ = CD, PR==EF, prenez QR = FD et continuez ainsi de proche en proche, vous formerez une courbe qui en roulant sur AB décrira nécessairement la courbe ACE avec le point P. Car si Q est mis en coïncidence avec D, PQ avec CD, R coïncidera avec F... et ainsi des autres points. En effet on a : QR = FD; et aussi DC = QP, EF = PR, etc., enfin angle GFD = SRQ,