DE L’ÉQUILIBRE DES FORCES

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De rËqnilibrc des forces. — Du principe des Vitesses virtuelles.

22. Des principes que nous avons établis relativement à la composition des forces, on peut déduire les conditions d’équilibre d'un corps solide auquel diverses forces sont appliquées. Elles reviennent à exprimer qu’une quelconque des forces doit être égaie et directement opposée à la résultante unique des autres forces, autrement le corps se mettrait en mouvement, les forces ne se détruiraient pas. Nous renverrons aux traités de Statique pour la traduction analytique de cette condition.

Nous préférons donner ici, d’après le célèbre Lagrange, la démonstration du principe des vitesses virtuelles qui fournit une équation renfermant implicitement toutes les équations qui doivent être satisfaites pour l’équilibre. Cette équation établie entre les quantitésde travail que les forces produisent s’applique immédiatement aux machines, et nous donnera de suite les conditions d’équilibre de ces systèmes, but unique de tous ces préliminaires.

On appelle vitesse virtuelle un déplacement infiniment petit du point d’application d’une force, estimé suivant la direction de cette force, ce sont les chemins élémentaires que nous appellions H,, Ht (art. 21).

Voici comment Lagrange pose, dans toute sa généralité, le principe des vitesses virtuelles sur lequel il a fait reposer le grand édifice de sa mécanique analytique.

Si un système quelconque de tant de corps ou de tant de points que Von veut, tirés chacun par des puissances quelconques, est en ' équilibre, et qu’on donne à ce système un petit mouvement quelconque, en vertu duquel chaque point parcourra un espace infiniment petit, la somme des puissances multipliées chacune par l'espace que le point auquel elle est appliquée parcourt suivant la direction de cette même puissance (projeté sur cette puissance), sera toujours égale à zéro, en regardant comme positifs les petits espaces parcourus dans le sens des puissances, et comme négatijs les espaces parcourus dans un sens opposé (dont la projection tombe en avant ou en arrière du point d'application).

PRINCIPES FONDAMENTAUX

Ce principe peut être démontré « priori comme il suit : Considérons une poulie mobile, soutenue par deux cordons et supportant un poids P (fig. 18), il est bien évident que les deux cordons seront tendus avec une force égale à ~ P. Que l’on monte sur le même axe deux poulies semblables, et qu’on fasse pas- Fig. 48.

ser le même cordon sur ces poulies et sur deux autres poulies fixes, la tension de chacun des quatre brins du cordon sera ~ P. Et en général, dans ce système appelé moufle , composé de deux systèmes de poulies , l’un attaché à un point fixe l’autre mobile, embrassées par une même corde , dont l’une des extrémités est fixement attachée et l’autre est tirée par une puissance, celleci est au poids porté par le système mobile, comme l’unité est au nombre de cordons qui y aboutissent. Nous faisons abstraction, bien entendu, de tout frottement et de toute raideur de la corde Fig. 19.

dans ce raisonnement, et alors il est bien évident qu’à cause de !n tension uniforme de la corde dans toute sa longueur, le poids est soutenu par autant de puissances égales à celle qui tend la corde , qu’il y a de cordons qui soutiennent les poulies mobiles, puisque ces cordons sont tous parallèles, également tendus et agissent dans des circonstances identiques.

Maintenant, supposons que chaque force qui agit sur le système soit remplacée par l’action de moufles fixées à des points extérieurs au système, dont la traction s’exerce suivant la direction de cette force. En faisant passer le même cordon sur toutes les moufles, au moyen de poulies de renvoi, la puissance qui appliquée à son extrémité mobile déterminera la tension de tous les cordons, produira, à l’aide de chaque moufle, des efforts égaux à chacune des forces du système; celles-ci seront à cette puissance unique comme le nombre des cordons est à l'unité.