DES VITESSES VIRTUELLES

Substituons, pour plus de simplicité, un poids à cette dernière puissance, après avoir fait passer sur une poulie fixe le dernier cordon (ce qui ne peut changer sa tension) qui soutient ce poids, que nous prendrons pour l’unité. Ce poids produit, par le moyen de la corde qui passe sur toutes les moufles , toutes les puissances qui agissaient sur le système, chaque puissance étant mesurée par le nombre des cordons qui concourent à la produire par leur tension.

Ainsi, le poids étant de l kil. (flg. 19), une force de 20 kil. sera remplacée par une moufle de 20 cordons (io poulies libres) dont la tension uniforme serait de 1 kil., et de même pour une force quelconque.

Pour que le système demeure en équilibre, il faut que le poids ne puisse pas descendre par un mouvement quelconque infiniment petit de tout le système, car un poids tendant toujours à obéir à la gravité , s’il y a un déplacement du système qui lui permette de descendre, il descendra nécessairement et il se produira un mouvement dans le système. La condition de l’équilibre est donc que ceci ne puisse avoir lieu.

Désignons par a, b, c, etc. , les espaces infiniment petits qu’un mouvement ferait parcourir aux différents points du système, suivant les directions des puissances qui les tirent ( projetés suivant la direction de ces puissances), et par P, Q, R, etc., les nombres des cordons des moufles appliquées à ccs points pour produire ces mêmes puissances; il est visible que les espaces a, b, c . . . seront aussi ceux dont les poulies mobiles se rapprocheraient des poulies fixes qui leur répondent ( les cordons étant parallèles à la direction des puissances), et que ces rapprochements diminueraient la longueur de la corde qui les embrasse des quantités Pa, Q b, Rc, etc.; de sorte qu’à cause de la longueur invariable de la corde, le poids descendrait de la longueur Pa -f- Qà -J- Rc, etc.

Donc il faudra pour l’équilibre des puissances représentées par les nombres P, Q, R, etc., que l'on ait l’équation :

Pa Qb -j- Rc. • . — 0.

Ce qui est l’expression analytique du principe général des vitesses virtuelles.

PRINCIPES FONDAMENTAUX

Si la quantité Pa + Q b -f- Re. . ., au lieu d’étre nulle, était négative, si les produits à soustraire étaient plus grands que ceux à ajouter, l’équilibre n'aurait pas lieu, puisqu’en prenant un déplacement virtuel complètement opposé de direction nu premier, on trouverait une valeur positive pour le déplacement du poids.

Réciproquement, si l’équation ci-dessus est satisfaite pour tous les déplacements possibles infiniment petits du système, il sera nécessairement en équilibre ; car le poids demeurant immobile dans ces déplacements, les puissances qui agissent sur le système restent dans le même état pour des déplacements virtuels directement opposés deux à deux ; il n’y a donc pas plus de raison pour qu’elles produisent plutôt l’un que l’autre de ces deux déplacements. C’est le cas de la balance qui demeure en équilibre, parce qu’il n’y a pas plus de raison pour qu’elle s’incline d’un côté plutôt que de l’autre.

23. Le principe des vitesses virtuelles peut nous servir à retrouver les diverses propositions déjà établies, car, par sa généralité môme, il se trouve comprendre tous les cas de l’équilibre.

Considérons le parallélogramme des forces.

Un point sollicité par deux forces sera en équilibre si on lui applique une force égale, et directement opposée à la résultante de ces deux forces. Supposons un déplacement virtuel r dans la direction de cette résultante R, on aura:

Rr = Pc cos. a -J- Qr cos. «' ou R = P cos. « + Q cos. a', expression qui représente la longueur

et directement opposée à la résultante. Donnons un petit déplacement^ dans la direction de ces forces, on devra avoir pour l’équilibre Rr — Pr — Qr = o, ou R = P-f-Q.

Si P et Q sont de signes contraires, et R — P — Q.

Faisons tourner le système d’un petit angle w autour du point d’application de la résultante ; p et q étant les distances du point d’application de la résultante aux points d’application des deux

24. Forces jmrallèles. Soient P et Q deux forces parallèles, R une force égale

de la diagonale du parallélogramme construit sur P et Q (flg. 20).

Fig. ÎO.

forces P et Q , on aura , le déplacement de la force R étant nul : Qqu — Ppu =0, ou Q < 7 ==P/>, résultat trouvé art. 14.

25. Nous ne donnerons pas d’autres exemples de la fécondité des conséquences qu’on peut tirer d’un principe aussi général. Mais nous remarquerons que si on l'applique à un système non plus libre, mais qui ne puisse prendre que certains mouvements, les déplacements virtuels seront ces mouvements eux-mémes, et les équations d’équilibre ne pourront être plus nombreuses que ceux-ci. Nous allons en voir l’application aux machines.

2G. On donne le nom de machine à tout système de corps destiné à transmettre le travail des forces, et par suite à modifier cellesci quant à leur intensité, et le mouvement quant à la vitesse et à la direction en raison du but à atteindre.

Ce sont surtout les variations du chemin parcouru, objet spécial de ce muté, qui rendent les machines propres à une infinité d’usages industriels. Ces variations déterminées ne sauraient avoir lieu sur un corps entièrement libre, ne pouvant par suite qu’obéir aux forces qui agissent sur lui, que prendre le mouvement qui résulte de leur direction. C’est en gênant le mouvement d'un corps par des obstacles inébranlables, par des points fixes, que le travail des forces devient utilisable par machines, et que le mouvement est transformé de manière à satisfaire à toutes les conditions nécessaires pour le besoin des arts.

Que des points fixes transforment les mouvements d’un système qui sans eux se déplacerait sous l’action des forces qui y sont appliquées, cela est bien évident. Nous allons étudier bientôt ces transformations ; mais, auparavant, voyons comment ces points interviennent dans l’équilibre des forces qui agissent sur le système.

On comprend facilement comment, par l’intervention de points fixes, des forces de grandeurs quelconques peuvent se faire équilibre. Dans de pareils systèmes, il n’est plus nécessaire que les résultantes des forces qui agissent sur eux soient nullcs d’elles-mêmes,

PRINCIPES FONDAMENTAUX

il suffit que leurs directions rencontrent les obstacles inébranlables qui les annulent par leur résistance.

Ainsi, à l’aide d’un corps solide qui s’appuie sur un point fixe, d’un levier, une force minime fera équilibre à une très grande force, si elle est disposée à l'égard de celle-ci de manière que la résultante des deux forees passe par le point fixe ; d’où l'on voit que la plus petite force ne détruit pas la plus grande, ce qui serait impossible, mais qu’elle ne sert en quelque sorte qu’à détourner l’effort de la plus grande et à la faire passer avec le sien propre combiné vers un obstacle invincible. Cet obstacle agit comme une force égale à la résultante et de sens opposé, et par suite en détruit l’effet.

Ainsi soit un levier A B sur lequel agissent deux forces parallèles P, Q ; supposons fixe le point C par lequel passerait leur résultante, ou tel que P x A C = Q X B C ; il est évident que le levier ne prendra pas de mouvement, puisque le point d’appui fait équilibre à la résultante.

27. Principe de la transmission du travail. Lorsque le mouvement d’une machine devient uniforme, ce ne peut être que parce qu’aucune force nouvelle ne vient agir sur le système, ou plus généralement parce qu’en chaque instant les forces accélératrices et retardatrices se font équilibre. Cette uniformité à laquelle arrive toute machine lorsqu’elle est en mouvement un temps un peu considérable, permet d’étudier les relations des forces qui agissent sur les machines à l’aide de l’important principe de la transmission du travail. Il consiste en ce que : Quand une machine a pris un mouvement uniforme , le travail moteur est égal au travail résistant pour un même intervalle de temps.

Ce principe n’est autre chose que l’expression de l’équilibre des forces motrices et résistantes, d’après le principe des vitesses virtuelles.

En effet, PP'... étant les puissances, RR'... les résistances, pp'p" les éléments de chemins parcourus par les premières, r r' r" ... les chemins parcourus par les secondes, on aura pour l’équilibre entre les puissances et les résistances, xPp = ïRr. Or, il faut remarquer que les vitesses virtuelles ne peuvent plus former qu’un seul système de valeurs, celui des seuls déplacements compatibles

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avec les points fixes du système ; et que les termes Pp, R r représentent le travail moteur et le travail résistant élémentaire des forces qui agissent sur la machine en mouvement. L’introduction de points fixes réduit donc à cette seule équation les conditions d’équilibre des forces dans les machines.

28. Le principe de la transmission du travail résulte clairement de la notion du travail, et de la manière dont le mouvement uniforme s’établit dans une machine.

Supposons , en effet , que des puissances agissent en certains points d’une machine et des résistances en d’autres points. Si la machine est d’abord au repos, il faut bien pour l’en faire sortir que le travail du moteur l’emporte sur celui de la résistance, sans quoi l’effet serait plus grand que la cause. Le mouvement se produit et s’accélère tant que la supériorité du travail élémentaire de la puissance sur celui de la résistance subsiste. Or , en même temps que la vitesse augmente, l’effort du moteur diminue tandis que les résistances deviennent croissantes. Par conséquent, pendant l’augmentation de vitesse de la machine, le travail élémentaire du moteur décroît, et celui des résistances croît de plus en plus. Lorsqu'ils sont égaux, ils se détruisent en chaque instant, et le mouvement demeure nécessairement uniforme : il n’existe plus de causes de retard ou d’accélération. Donc, quand le mouvement est uniforme, il y a égalité entre la somme du travail des forces motrices et la somme du travail des forces résistantes.

L’important principe de la transmission du travail exprimé par la relation ci-dessus est vrai , non seulement pour un mouvement uniforme, mais encore pour un mouvement périodique composé de périodes identiques entre elles, comme on le voit facilement en remplaçant les forces et les vitesses variables par leur valeur moyenne. Il est évident qu’il faudra dans cc cas considérer des périodes complètes pour égaler le travail moteur et le travail résistant.

Dans les chocs, il se produit des déformations, un travail de forces moléculaires qui apparaissent lors du choc, l’égalité ci-dessus ne peut plus alors être appliquée. On conçoit d’ailleurs qu’il y a toujours dans un choc consommation d’une partie du travail moteur.

Le travail résistant devra, dans la formule ci-dessus, compren-

PRINCIPES FONDAMENTAUX

dre non seulement le travail industriel utilement effectué par la machine, mais encore le travail de toutes les résistances passives, frottement , raideur des cordes, etc., que la mécanique enseigne à , évaluer. Ces résistances dites passives ne prennent naissance que lors du mouvement, elles peuvent retarder et empêcher le mouvement, mais non le produire.

La relation i Vp — 2 R r est souvent employée sous une autre forme, pour bien distinguer le travail des diverses forces.

Soit T m le travail moteur total transmis à la machine , T le travail résistant principal , ou celui consommé par l'opération industrielle que la machine est destinée à effectuer, et T' le travail résistant secondaire , dû aux résistances propres de la machine , l’équation ci-dessus reviendra à Tm = T -J- T' ou T = T m — T'. La mécanique appliquée se propose de rendre T un maximum.

Il n’est pas besoin de remarquer que T' ne pouvant jamais être nul, T ne saurait jamais être égal à T m ; une machine ne peut donc jamais rendre un travail égal au travail moteur ; il n’y a donc pas de multiplication du travail, de mouvement perpétuel possible.

Le but des machines ne peut être que de transformer les facteurs du travail P p... du moteur en des termes Rr... représentant le travail utile dont la somme approche le plus possible de celle du travail moteur, et dont les facteurs R ou r sont déterminés en raison du but a atteindre.

Du mouvement dans les machines.

29. Nous avons dit que les machines étaient des systèmes gênés par des obstacles, par des points fixes. Voyons comment l’introduction de ces points fixes modifie le mouvement d’un corps.

Soit un corps soumis à l’action de forces, et faisons croître le nombre de points fixes faisant obstacle à son mouvement ; nous reconnaîtrons les trois cas suivants :

1° L’obstacle est un point fixe ; le corps ne pouvant pas surmonter cet obstacle ne pourra que tourner en tous sens autour de ce point ; c’est ce qui constitue la machine simple, appelée levier.

DES HAClimES.

Le mouvement d’un point quelconque, appartenant au levier, sera évidemment circulaire , en chaque instant, et de plus alternatif dans une machine, le support matériel du point fixe s’opposant à ce qu’il puisse être continu dans le cas général.

2° L’obstacle consiste en deux points ou une droite fixe; dans le cas général où la résultante de toutes les forces agissant sur le corps ne passera pas par cette droite , il se produira un mouvement de rotation autour de celle-ci, un mouvement circulaire continu. Le tour est la machine simple, type du mouvement circulaire.

3° L’obstacle consiste en trois points fixes ou un plan inébranlable passant par ces trois points. Dans le cas général, le corps se mouvra suivant un élément linéaire de ce plan, ne pouvant déplacer les obstacles inébranlables.

Le mouvement ayant lieu en chaque instant suivant un élément linéaire de ce plan, l'ordre de la succession de ces éléments déterminera le mouvement rectiligne ou suivant une courbe donnée.

Le plan incliné, ainsi nommé parce qu’on considère le plus souvent le plan fixe supportant des corps pesants et inclinés à l’horizon, est la machine simple type de ce genre de mouvement.

Le nombre de points fixes, non en ligne droite, peut être plus grand que trois ; mais il n’en résulte pas de nouveau genre de mouvement. En effet , trois points fixes déterminant , pendant un instant, le mouvement le long du plan passant par ces trois points, soit par glissement seulement, soit par glissement et roulement sur ce plan (comme nous le dirons plus loin), c’est-à-dire par la réunion d’un des systèmes précédents et du système plan, il s’ensuit qu’un plus grand nombre de points ne déterminera pas la nature du mouvement en chaque instant plus que trois points ; si d’autres points fixes sont convenablement disposés pour permettre le mouvement, ils pourront seulement servir à déterminer la direction du mouvement élémentaire, fournir des guides courbes, par exemple. Un nombre de points plus grand que trois ne sert donc qu’à assurer les formes particulières du mouvement dans un même plan, ou dans des plans successifs , mais ne fournit pas de système nouveau. De ceci résulte une importante conséquence, c’est que les seules machines simples

PRINCIPES FONDAMENTAUX

sont : le levier, le tour et le plan, et que si l’on décompose en leurs derniers éléments les systèmes complexes appelés machines, ces derniers éléments seront nécessairement un de ces systèmes.

30. Quant aux mouvements produits, on déduira encore cette conséquence non moins essentielle, que puisque les obstacles qui gênent le mouvement des systèmes de corps, qui constituent les machines, ne peuvent fournir que l’un des trois systèmes précédents, les mouvements produits sont nécessairement ceux engendrés dans le genre levier, ou dans le genre tour, ou dans le genre plan, en comprenant dans ce dernier les successions de plans, les surfaces courbes, etc. Par suite, les mouvements élémentaires seront tous ou circulaires alternatifs, ou circulaires continus, ou enfin rectilignes ; la succession des éléments linéaires pouvant d’ailleurs engendrer le mouvement suivant une courbe, et par suite les rectilignes alternatifs.

On doit entrevoir, dès à présent, combien cette observation va simplifier l’étude de la Cinématique. Les machines n’étant plus composées que d’un nombre d’éléments très limité quant à leur mode de mouvement, il n’y aura plus qu’à étudier les combinaisons de ces éléments, pour en arriver promptement à comprendre les machines les plus compliquées, au lieu d’étre contraint d'étudier celles-ci successivement et comme des systèmes n’ayant aucun rapport entre eux. Il en résulte, en un mot, la possibilité de constituer sur des théories élémentaires l’étude géométrique des machines.

Des Machines simples.

Équilibre dans ces machines et guides de mouvement.

31 . Un élément de machine ne pouvant être, à un instant donné, " qu’un des trois systèmes : levier, tour ou plan, ou une combinaison de ces systèmes, il importe d’étudier ces systèmes élémentaires, ' appelés habituellement machùies simples, que nous allons rencontrer à chaque pas. Nous étudierons d’abord, pour chacun de ces systèmes, les directions et l’étendue des chemins parcourus par les points des corps que l’on transforme en ces systèmes. Cette transformation s’effectue à l’aide d'obstacles , qui prennent le nom de

guides, et qui déterminent la nature du mouvement des organes élémentaires.

l» Système levier (Obstacle, l point fixe).

Dans un levier, c’est-à-dire un corps oscillant autour d'un point fixe, d’un mouvement de va-et-vient puisqu’il faut bien que le point fixe soit supporté par une base qui rende le mouvement continu généralement impossible, le chemin E, parcouru en un instant par le point d’application de la force, agissant à une distance R du point fixe, sera un petit élément circulaire, donc E = Ru, &> étant l’angle au centre que parcourt la ligne R, le mouvement se faisant sur une sphère dont le point d’oscillation est le centre. Pour un point quelconque, situé à une distance r de ce centre, l’espace parcouru

pendant le même temps sera r« ou E — , puisque u = — .

Équilibre sur le levier. Le mouvement étant devenu uniforme, le travail moteur et le travail résistant sont égaux. Si donc nous considérons, dans le cas général, les deux forces P et Q, de direction quelconque, agissant sur un levier de forme quelconque, on aura, d'après le principe de la transmission du travail pour un mouvement élémentaire correspondant à un petitangleau centre w, PI cos. sm = Q /' cos. au (lig. 21), l et l' étant les longueurs des

Fig. 21.

bras du levier, mesurées du centre d'oscillation au point d’application des forces , a a les angles des chemins parcourus avec la direction des forces. Or, ces chemins étant de petits arcs de cercle décrits du point o qui se confondent avec des perpendiculaires à la direction des bras du levier, si on abaisse les perpendiculaires p et q du centre u sur les directions des forces, on aura l cos. « = p, l'

PRINCIPES FONDA MENTAUX

cos. a'= 17, d’où P p = Qq t relation déjà trouvée pour le cas des forces parallèles.

L’équilibre ne pouvant avoir lieu qu’autant que la résultante passe par le point d’appui, il faut donc, en outre de la relation précédente : 1° Que les deux forces soient dans un même plan, condition nécessaire pour qu’elles aient une résultante unique ; 2° que le point d’appui soit aussi dans ce pian qui renferme la résultante ; 3° enfin il faut que les forces P et Q tendent à faire tourner le levier en sens contraire, autrement le travail de l’une d'elles ne pourrait être soustrait du travail de l’autre, et la condition P/> -f- Q f J — 0 ne pourrait être satisfaite.

Enfin, la charge du point d’appui étant précisément la résultante des forces qui agissent sur le système (y compris la pesanteur, si l’on veut tenir compte du poids du levier), on voit qu’elle s’obtiendra facilement, en transportant en ce point toutes les forces parallèlement à elles-mêmes et en prenant leur résultante.

32. Guides du levier. Le guide du système levier devrait consister en un assemblage du corps avec une masse fixe en un point unique, autour duquel le levier pourrait prendre des inclinaisons quelconques. Théoriquement cet assemblage, ou plutôt un assemblage équivalent, n’est pas tout à fait impossible. Si l’on suppose la barre du levier pénétrée par une petite sphère fixe, et que le contact ait lieu au moins en quatre points, qui seraient comme les quatre points de contact d’une pyramide circonscrite à sa surface, le levier, en tournant autour de cette sphère, pourrait être considéré comme s’il tournait autour de son centre, qui deviendrait le centre d’oscillation du levier en tous sens.

Cette disposition est réalisée à peu près dans quelques instruments de nivellement (fig. 22), dans lesquels de très petites forces sont en jeu.

Dans le cas le plus général, il est inutile de donner au levier la faculté de pirouetter dans tous les sens, et il suffît de le faire mouvoir dans un seul plan. On le traverse alors par un petit axe per-

pendiculaire au plan du mouvement, que l'on guide de la môme manière que dans le cas du tour que nous allons examiner. Le levier se meut alors en réalité autour d’une droite ; mais on distinguera toujours facilement si un système est originairement de l’ordre du levier ou de l’ordre du tour, par la continuité du mouvement dans un môme sens qui est le caractère propre de ce dernier.

2° Système tour ( Obstacles , 2 points fixes).

33. Si l’on rend fixes deux points d’un corps, il ne peut plus se mouvoir qu’autour de la ligne qui passe par ces deux points. Tel est le tour, type de tout système possédant un mouvement circulaire continu.

Tous les points du système décrivant des circonférences dont les centres sont sur l’axe, et tournant en môme temps d’angles égaux , ou aura pour relations des chemins E, e, parcourus en même temps par des points placés sur des circonfé-

rences des rayons R et r, — = — , et pour des tours entiers,

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Ë 2îtR‘

Equilibre sur te tour. Lorsque le mouvement est uniforme, si deux forces P et Q perpendiculaires à l’axe (ou seulement leurs composantes perpendiculaires , qui seules peuvent produire une rotation, les autres produisant une pression le long de l’axe et étant par suite détruites par la résistance des points fixes ; ce qui équivaut, dans le calcul du travail , à estimer le chemin suivant la direction des forces réelles) agissent tangentiellement à deux circonférences de rayons R et r, on aura pour un petit angle de rotation w PRu = Q r u ou P R — Q r, ou en général, s’il y a plus de deux forces, PR -j- QR' -f- SR '.... = 0.

11 n’est pas nécessaire dans ce cas, comme pour le levier, que les deux forces P et Q soient dans un môme plan. Leurs composantes situées dans des plans perpendiculaires à l’axe produisent la même rotation, à quelque point que ces plans rencontrent l’axe; on peut donc toujours les considérer comme si elles étaient transportées dans un môme plan perpendiculaire à l’axe.

PMNCII'ES FONDAMENTAUX.

La pression sur les points d’appui sera celle fournie par la résultante des forces agissant sur le système qui passera par l’axe, puisqu’il y a équilibre parce que cette résultante est détruite par la résistance de l’axe. Ou pourra donc transporter sur celui-ci les forces du système parallèlement à elles-mêmes; leurs composantes perpendiculaires à l’axe donneront la pression exercée transversalement, les composantes parallèles à l’axe la pression dans le sens de sa longueur.

34. Guides. Axe horizontal. Les guides les plus usités du système tour sont les coussinets (flg. 23) qui entourent l’axe et ne peuvent lui laisser prendre aucun autre mouvement que le circulaire, tant parce que la pression de la partie supérieure du coussinet sur la partie inférieure empêche tout déplacement perpendiculairement à l’axe, que parce qu’il est réduit à un diamètre moindre dans la partie qui entre dans le coussinet, partie qu’on appelle tourillon, d’où résulte, près de celui-ci, un épaulcmcnt qui empêche le déplacement latéral. Le diamètre de l’arbre doit être le moindre possible eu égard aux forces à transmettre, pour que le chemin parcouru par les résistances dont nous allons parler soit d’autant moindre pour chaque tour. Il faut deux coussinets pour guider un axe horizontal .

Axe vertical. Pour un axe vertical on emploie un collet et un pivot reposant sur une crapaudine (fig. 24). En faisant ces deux dernières parties de corps très durs, on peut diminuer beaucoup les surfaces frottantes et supporter l’axe seulement par une petite surface.

Les pivots sont peu employés pour les axes horizontaux , parce qu’ils ne sauraient empêcher leur soulèvement.

Pour des pièces très légères , on emploie la disposition bien connue, appelée charnière (fig 25). Elle est à peu près la

même que eelie des articulations qui conviennent parfaitement

Celles-ci consistent habituellement dans une pièce double en forme de fourche , qui reçoit à l’intérieur l’extrémité saillante d’une autre pièce (fig. 20). A travers toutes deux est perce un trou que vient traverser un boulon qui devient l’axe de rotation autour duquel les pièces peuvent tourner.

3° Système plan ( Obstacles , Z points fixes j.

33. Lorsqu’un corps solide rencontre trois points fixes, ou un plan inébranlable passant par ces trois points , le mouvement du corps ne peut avoir lieu que de deux manières :

1° Les forces agissant sur le corps ayant une résultante uuique, la direction de celle-ci passera dans l’intérieur du triangle formé par les trois points fixes; le corps ne pouvant détruire les obstacles inébranlables, ne pourra se mouvoir que le longdeceux-ei, c’est-àdire glisser le long du plan déterminé par ces trois points.

2° Les forces agissant sur le corps n’ont pas de résultante unique, ou la résultante passe extérieurement au triangle formé par les trois points d’appui, et alors le corps glisse et roule en même temps sur le plan. Ce mouvement de roulement n’est pas employé dans les machines, au moins produit ainsi que nous le supposons ici, c’està-dire en rendant libre un corps qui causerait un choc à l’extrémité de sa course, et par suite une destruction de travail.

Nous verrons bientôt que c’cst surtout dans des guides de mouvement rectiligne qu’on emploie le roulement le long d’un plan, mais en tous cas le mouvement que nous considérons ici n’est que la combinaison du mouvement fourni par le système plan en général , combiné avec le mouvement de rotation du système tour, puisqu’on chaque instant la rotation se produit autour d’un axe, et se combine avec une translation.

Nous pouvons donc négliger dans l’étude des mouvements élémentaires simples ce second cas, et nous en tenir seulement au premier, au cas du transport le long du plan.

dans la pratique.

PRINCIPES FONDAMENTAUX

36. Equilibre sur le plan. Considérons le cas de deux forces P et Q concourantes (fig. 27) qui agissent sur un corps prismatique placé sur un plan, dont les points d’application parcourent le même chemin, celui parcouru par le corps même en ligne droite, et qui font avec celui-ci des angles a et e. Ce corps sera pressé par les deux composantes P sin. a -j- Q sin. C qui seront détruites par la résistance du plan, et le mouvement le long du plan sera produit par deux composantes P cos. « et Q cos. 6. Le mouvement uniforme ou l’équilibre des forces agissantes exigera donc la relation P cos. a = Q cos. 6.

Donc pour qu’il y ait équilibre sur le plan, il faut que la relation précédente ait lieu , que la résultante normale au plan exerce une pression et non une traction , auquel cas le plan n’intervient plus , enfin que la forme du corps soit telle que la résultante des pressions ne rencontre pas le plan en dehors des points d'appui du corps.

Fig. 28.

Si l’une des forces P représente le poids du corps (fig. 28) agissant verticalement, a l’angle que forme le plan avec l’horizon, cet angle est égal nu complément de celui de la pesanteur et du plan, la relation ci-dessus devient P sin. a = Q cos. 6.

Si la force Q est horizontale ê = « angle de l’inclinaison du plan, et la relation précédente devient P sin. a = Qcos. a ou Q sin. a

P = coi — = tan ^’ ° ! * st ' a " tlire Q ue la puissance est à la résistance comme la hauteur du plan est à la base.

37. Guides du Mouvement dans te système plan. Le mouvement produit dans le système que nous considérons, se produisant

Fig. 27.

en chaque instant suivant un clément linéaire, suivant In direction d’éléments successifs du plan, le mouvement sera ou rectiligne ou d’après une courbe donnée. Parmi ces cas, le rectiligne est le principal, et celui dont nous nous occuperons surtout ici.

38.1° Mouvement rectiligne. En général, la pièce mouvante, dont la forme est telle que des sections perpendiculaires à la direction du mouvement soient toujours de dimensions constantes, est plus ou moins enveloppée par des parties fixes, dont l’assemblage laisse un vide de même section que celle de la pièce mouvante, et qui empêchent toute action latérale. Ces ajustements sont trop simples et leur nombre trop considérable pour qu’il y ait intérêt à s’y arrêter longuement. Nous dirons seulement que dans l’établissement de ces guides, on doit : 1» envelopper le plus complètement possible la pièce mouvante pour éviter les déviations ; 2° guider surtout avec soin les extrémités de la pièce mouvante prolongée autant (pic possible, afin de diminuer l’obliquité qui résulte toujours du jeu nécessaire à un mouvement facile.

Les guides causant toujours une perte de force notable par suite du frottement , résistance que nous allons bientôt étudier, il faut rendre celuici aussi faible que possible, en ayant soin de le faire naître entre parties très polies et très dures. Tels sont les glissoirs (fig. 30 et 31), où les parties frottantes sont en acier trempé pour des pièces prismatiques, des trous alésés avec soin (figure 29) pour des pièces cylindriques.

Le système employé dans tous les cas revient à faire mouvoir la pièce à génératrices rectilignes entre quatre plans, ou au moins

Fig. 30. Fig. 31 .

entre quatre arêtes parallèles à ces génératrices et placées dans

PRINCIPES FONDAMENTAUX

quatre plans perpendiculaires entre eux, de manière que, quelle que soit la direction des résultantes des forces qui agissent sur la pièce mouvante, elle se meuve toujours suivant un élément linéaire du plan sur lequel elle s’appliqua, en s’appuyant sur des lignes droites parallèles d’un ou deux plans perpendiculaires au premier.

30. Dans certains cas, les plans qui servent de guides sont continus et se prolongent sur une grande longueur ; dans d’autres ils sont interrompus. Nous donnerons comme exemple du premier cas

Fig. 32. Fig. 33.

les bâtis il g. 32 et 33) sur lesquels glissent les chariots des machines-outils, qui sont trop pesants pour que la résultante des forces qui agissent sur le système puisse être dirigée de bas en haut.

Comme exemple du second système, nous citerons les guides annloguesà ceux des pilons appelés quelquefois des prisons (fig. 34).

Fig. 34.

Ce sont deux guides formés de quatre plans à angle droit qui embrassent la tige prismatique du pilon, et qu'on a soin d’écarter le plus possible l’un de l’autre pour diminuer l’inclinaison absolue qui résulte toujours du faible jeu qu’il faut laisser dans les guides pour les imperfections de l’exécution et la facilité du mouvement.

40. Guides à mouvement circulaire. Nous avons dit que le mouvement de translation le long d’un plan pouvait se produire en même temps qu’un mouvement de rotation. Ainsi lorsqu’une roue roule sur un plan, son axe est mu d’un mouvement de translation. Ce système offre de grands avantages, comme nous le reconnaîtrons bientôt, et doit être employé toutes les fois que la chose est possible.

La fig. 35 représente une disposition de ce genre. La pièce mobile est munie d’une roulette ou galet dont la gorge embrasse un plan fixe le long duquel elle se meut, et que ses rebords l’empêchent d’abandonner.

Au lieu d’une seule roue, si on en em-

Fig. 35. ploie deux, il suffit d’adapter à chacune

d'elles un rebord intérieur pour que toute déviation soit impossible pour des pièces pesantes ; telle est la disposition des chemins de fei à bandes saillantes avec roues à rebords intérieurs (flg. 36). Leur emploi est fréquent aujourd’hui dans les machines.

L’emploi des galets comme guides du mouvement rectiligne a un inconvénient notable, c’est que quand les for-, ces mises en jeu sont considérables le contour des galets s'altère par 1 usure, le galet devient plan en certaines parties et bientôt ne tourne plus.

41 . Articulations. Quand le mouvement rectiligne est de faible étendue, on peut remplacer les guides du mouvement rectiligne par le guide du mouvement circulaire, et pour cela assujettir la barre B D (flg. 37), qui doit être guidée en ligne droite, à se mouvoir sur une circonférence de rayon r. Si cc rayon est suffisamment grand par rapport à l’étendue du mouvement rectiligne, le mouvement produit en réalité pourra ne différer d’un mouvement rectiligne que d’une quantité négligeable dans la pratique. En effet, appelant l l'étendue de cc mouvement (;/ de chaque côté de la position moyenne AB), on aura pour l’écart extrême du mouv ement circ ulaire et du mouvement rectiligne r — rcos. a = r — 1/ r* — étant supposé très petit par rapport à r, J /* pourra être négligeable par rapport à r 1 et l’élasticité des pièces, le jeu des articulations compenser la petite quantité négligée.

Fig. 37.

PRINCIPES FONDAMENTAUX

Nous verrons plus tard comment en multipliant des systèmes du genre de celui-ci , on peut guider en ligne droite des mouvements d’une notable étendue , en n’employant que des systèmes articulés.

42. 2° Mouvement d’après une courbe donnée. Pour guider un corps et le forcer à suivre une courbe déterminée , on l’oblige en général à l’aide d’une cheville où d’une espèce de fourche qui lui est adaptée à suivre le contour de la courbe voulue , tracée soit eu creux , soit en relief. En imprimant au corps un mouvement soit circulaire, soit rectiligne, ce mouvement est transformé par les rainures en mouvement d’après la courbe voulue.

Si le mouvement à obtenir devient le circulaire, nous rentrons dans le cas précédent, c’est-à-dire qu’on peut remplacer la courbe par les guides d'un axe. Telle est la disposition employée (lig. 38) pour scier les jantes des roues circulairement. La pièce dé bois est placée sur un plateau circulaire pour être soumise à l’action de la scie , et à mesure que le plateau tourne par l’action de chaînes, la scie débite les jantes circulairement.

Nous ne nous arrêterons pas à des exemples particuliers de mouvements par des courbes, nous trouverons plus loin des exemples de ce genre de mouvement presque toujours limité aux opérateurs à cause des résistances considérables qui s’y produisent.

48. Mouvements parallèles. Lorsque la condition du mouvement est que le corps reste parallèle à lui-même, dans son mouvement, on peut employer l’une des deux dispositions suivantes:’*

1 ° V appareil dit des règles parallèles (fig. 39), composé de deux règles réunies par deux traverses égales et parallèles, pouvant tourner autour de points fixes. Les deux points d’artieufation de la barre mobile décrivent deux circonférences égales, la deuxième ligne reste constamment parallèle à

DES RÉSISTANCES PASSIVES

la première, la ligure étant toujours un parallélogramme.

I 2° L ’ appareil des Mull-Jcnny (fl-

3 L S urc 40), <I u i a satisfait complètement

^ — —L-K? a(J p ro blème difficile de faire mouvoir un

chariot dans un parallélisme parfait avec un bâti fixe dans l’appareil , dit Mull- Fig. 10. Jenny. Le chemin de fer sur lequel se

meut le chariot ne le guidant pas d’une manière suffisamment exacte dans la pratique, deux cordes tendues dans une direction parallèle à celle du mouvement sont enroulées autour de deux poulies fixées invariablement au chariot, de manière à décrire chacune un Z. La. tension des cordes croîtrait rapidement par la moindre obliquité, chacune ne pouvant permettre une déviation dans un sens que si elle changeait de longueur.

Aucun Jpu n’a plus lieu dans ce système, lorsque les cordes sont convenablement tendues, et les résultats de cet appareil sont d'une merveilleuse exactitude.

Des Résistances passives.

44. Nous avons vu qu’en appelant T„ le travail du moteur qui agit sur une machine, T le travail utile, le travail industriel qu’effectue la machine, on pouvait poser l'équation T m = T -(- T', T' étant le travail consommé par la machine même, la perte de travail que causent les résistances propres à son mouvement. La plus importante cause de perte de travail, celle qu’il est le plus nécessaire d’étudier, afin de rendre le terme T un maximum pour une valeur donnée de T m , est le frottement.

Frottement .

Toutes les fois qu’un corps se meut en glissant sur un autre, il se produit une résistance qui s’oppose au mouvement, et que l’on nomme frottement de glissement. Il est dû à l’action réciproque des molécules des deux corps qui engrènent en quoique sorte, et aux forces dites moléculaires qui se trouvent mises en

PRINCIPES FONDAMENTAUX

jeu. On a reconnu par des expériences très précises que cette résistance est assujettie à trois grandes lois :

1“ Le frottement est proportionnel ù la pression, c’est-à-dire que la résistance est toujours une même fraction de la pression qui applique un corps sur l’autre, ce qui se comprend assez bien, puisque les actions moléculaires doivent naître en raison de cette pression.

2 ° Le frottement est indépendant de l'étendue des surfaces en contact, c’est-à-dire que quand cette étendue augmente sans que la pression change, la résistance totale reste la même, bien que la pression sur chaque élément se trouve diminuée en raison inverse de l’étendue même des surfaces. Puisque pour des substances données le frottement est une fraction constante de la pression, il en résulte qu'un même corps pesant traîné sur un plan donne toujours lieu à la même résistance sur quelque face qu’il soit posé.

3° Le frottement est indépendant de la vitesse du mouvement,