La question à résoudre est donc celle-ci

Quels doivent être, pour un rapport de vitesses angulaires donne, le nombre, l'espacement , les profils , les dimensions des dents sur chacune des deux roues qui composent un engrenage.

Définissons d’abord les éléments de la question. Une dent a pour * base l'arc de circonférence primitive qu’elle intercepte. Sur la circonférence primitive A (flg. 145), les arcs tels que eg, etc., seront

Fig. 145.

les bases des dents. On les nomme aussi le plein de la roue, en même temps qu’on désigne par cette expression le vide de la roue les arcs intermédiaires, les intervalles tels que ef; la somme d’une base et d’un intervalle, l’arc gf par exemple, forme une division entière; sur une même circonférence toutes les divisions sont égales comme toutes les dents pareilles. Chaque dent est terminée par deux profils égaux et symétriques, si l'engrenage que j’appellerai alors symétrique doit fonctionner dans les deux sens; peuvent être dissembla-

blés , si le mouvement doit toujours avoir lieu dans une seule et même direction ; dans ce cas, les profils des faces qui n’ont pas d’action à produire sont arbitraires, à la seule condition de laisser aux dents une saillie et une résistance convenables , sans gêner le mouvement des dents de la roue opposée.

144. Courbe de raccord. Les profils en regard de deux dents " consécutives se raccordent, en général, à l’intérieur de la circonférence primitive par une ligne courbe ou brisée que les dents de la roue opposée ne doivent jamais atteindre.

Dents échanfrinées. Lorsque les profils des deux côtés de la dent se coupent sous un angle aigu, lorsque l’extrémité des dents présente ainsi une arête tranchante, cette arête doit toujours dans l’exécution être adoucie. On fait plus , on abat ordinairement les extrémités trop faibles pour résister à de fortes pressions ; les dents sont alors échanfrinées. La troncature se raccorde quelquefois par des arcs de cercle : dans aucun cas elle ne doit être tenninée par des arêtes vives.

145. Égalité des divisions sur deux roues qui engrènent. Déterminons maintenant dans un engrenage donné les éléments qui viennent d’être définis. Soient sur les circonférences primitives des deux roues qui engrènent p,p', p", etc., les divisions toutes égales entre elles de la première; q , q’, q", etc., les divisions pareillement égales de la seconde. Pour que les mouvements angulaires conservent entre eux un rapport invariable , les arcs des deux circonférences, qui traversent simultanément la ligne des centres doivent, ainsi qu’on l’a vu, être égaux en longueur. Or, considérons une première couple de dents telles que a, a' en prise sur la ligne des centres, par conséquent au contact de deux circonférences primitives et à l’origine de deux divisions correspondantes. Lorsqu’une seconde couple de dents a,, a', sera venue remplacer la première, les divisions entières p, q auront traversé la ligne des centres; ces divisions, et par suite toutes les autres, sont donc égales, la longueur absolue des divisions doit donc être la même sur deux roues qui engrènent.

146. Rapport du nombre des dents sur les deux roues. Il suit de là que les nombres de divisions ou de dents sont pour chaque

circonférence en raison inverse des vitesses angulaires données, ou du nombre de tours entiers que chaque roue doit faire dans un temps donné. En effet, en appelant, comme précédemment, R, R' les rayons primitifs, w, w' les vitesses angulaires, et en désignant de plus par n et »' les nombres de divisions ou de dents, chaque division de la circonférence O a pour lon-

2wR , 2 jr R'

gueur —— , chaque division de la circonférence O , - ^ ; ces

deux quantités doivent être égales, comme od vient de le voir. 2 ffR 2ffR' « R

Ainsi

ou -7 = vp = — d’apis n n u

la condition

générale des engrenages. Les plus petits nombres entiers qui expri-

GJ

ment le rapport —, car n et n' sont nécessairement entiers , sont (*)

donc les plus petits nombre de dents par lesquels ce rapport de vitesse puisse être obtenu.

Si d est la distance des axes et p le rapport -, du nombre de

dents, on a :

R + R'=d, - =p, d’où R =

et R'= —— .

147. Limites des bases des dents. Que l’engrenage soit ou ne soit pas symétrique, la plus grande base que les dents d’une roue puissent avoir, mesurée sur la circonférence primitive, est l’intervalle des dents sur la roue opposée. H est clair qu’alors la partie postérieure de la dent d’une roue et l’extrémité d’une division de l’autre roue arriveraient en même temps à la ligne des centres : ces points passeraient en même temps par le point de contact des circonférences primitives. Or, une dent ne peut empiéter sur une dent de l’autre roue : chaque intervalle devra donc être plus grand que la base opposée (dans la pratique) ; l’égalité que nous supposons ne peut être qu’une limite.

Soient R, B', les bases, 1, 1', les intervalles sur les deux roues ; sur chacune d’elles, la somme d’une base et d’un intervalle forme une division entière, on a donc :

De là on peut tirer la valeur de I — B', des différences égales et nécessairement positives (milles à la limite, comme on vient de le voir) qui constituent 1 ejeu de l’engrenage. Soit J cette différence,

a. a 2 ff Ü aaa aa . “ TT R , ,

ce jeu, et I on aura : J == — (B -j-B ) = —, (B -j- B )

= la longueur commune des divisions, moins la somme des bases. Ordinairement on indique seulement le rapport de l’amplitude du jeu à l’amplitude des divisions. Ce rapport dans la pratique est compris entre ^ et tï*

148. Détermination des profils par lesquels se fait lapoussée. Si l’on se reporte aux considérations géométriques exposées précédemment, la relation des profils opposés de deux dents en prise deviendra évidente. Pour que la condition générale des engrenages soit remplie, pour que tous les points des circonférences primitives parcourent constamment des arcs égaux, il faudra, si le profil de l’une des dents est donné , considérer cette courbe comme une enveloppée dont le profil de l’autre dent sera l’enveloppe dans le roulement d’une des circonférences primitives sur l’autre supposée immobile.

Lorsque l’engrenage devra être symétrique, les profils des deux côtés des dents des deux roues symétriques eux-mêmes, seront l’un par rapport à l’autre sur chaque roue enveloppée et enveloppe ; en sorte que si le jeu de l’engrenage était nul , si la base des dents d’une roue était à la limite égale à l’intervalle des dents de l’autre roue, le contact aurait lieu en même temps des deux côtés de la dent Ce mouvement, que les moindres irrégularités arrêteraient dans la pratique, n’est ici qu’une limite, qu’une abstration de la théorie.

En réalité, la base d’une dent, comme on l’a vu, sera toujours plus petite que l’intervalle entre deux dents de l’autre roue, en sorte que les profils des dents ne se toucheront que d’un côté ; mais leur écartement ou le jeu devra toujours être très petit, car il faut n’enlever que le moins possible à l’épaisseur, par suite à la résistance des dents. On doit encore jouter que dans plusieurs cas, les roues tout en continuant de marcher dans le même sens, par de simples variations dans leur vitesse, se trouveront alternativement menantes et menées. Or, il importe de diminuer autant que pos-

sible les chocs qui résultent de ces rencontres. C’est à quoi l’on parvient, en ne laissant au jeu que ce qu’il faut pour les imperfections de l’exécution pratique.

149. Limite intérieure de l'entaille qui sépare deux dents sur une même roue. Une dent, lorsqu’elle se termine par une pointe telle que t (fig. 1 46) , ne doit jamais pousser par cette pointe ; de plus

il faut que, pendant la poussée qui se fait par les faces de la dent, la pointe ne rencontre pas d’obstacle, que son passage soit constamment libre. L’entaille pratiquée dans la roue O, par exemple, au delà du point m, , pour recevoir la dent bte, aura donc pour limite le lieu de toutes les positions relatives qu’à chaque position du contact le long des faces s ou s, de l’autre roue, la pointe t viendra prendre. Or, on obtiendra toutes les positions relatives des profils s,, bt pendant leur mouvement, toutes les positions de leur contact, en faisant rouler o'6' sure 6. Dans ce roulement, la pointe t , considérée comme un point extérieur lié au cercle O', décrira une portion d’épicycloîde allongée dont nous avons donné le tracé. Cette courbe est donc la limite de l’espace nécessaire.

Cette courbe se raccorde au point m, avec le profil s,. En effet, au point m„ lorsque le contact a lieu entre ce profil et l’extrémité de bt, t M est la normale commune à l’enveloppée b tel h l'enveloppe Mais en considérant le point extrême t comme décrivant J’épicycloide allongée dans le roulement de «' C', t M est encore la

normale à cette dernière courbe en m t . Les courbes s, et m, m' ont donc en m, une normale et par conséquent une tangente commune.

Lorsqu’on a déterminé la limite intérieure d’un premier profil s,, tous les profils homologues, tournés dans le même sens, se termineront sur une circonférence passant par «i, et concentrique avec a 6. Si l’engrenage est symétrique, la même circonférence sera également la limite intérieure des profils de l’autre côté des dents.

Si l'on considère comme une seule courbe le contour continu wj, m' cl', qui termine l’espace compris entre deux dents de la circonférence O (à la limite où le jeu étant nul, la base be est égale •à l’intervalle bd'), on peut dire que ce contour entier est l’enveloppe du contour entier de la dent opposée b te, la portion mm' étant considérée comme enveloppe du seul point t ; avec une interprétation semblable, la même chose sera vraie si la dent b te échanfrinée par exemple, offre des lignes brisées. Cela sera vrai encore lorsque les profils inverses bl, te ne seront pas symétriques, et la portion d’enveloppe correspondant ù la portion d’enveloppée le , par exemple, sera dans l’engrenage non symétrique lui-même, la limite extérieure des profils s' , du reste alors arbitraires.

Il est inutile d’ajouter que le développement s, de la partie saillante des dents de la roue O déterminera la limite des entailles ou creux de la roue O', comme les saillies bt de la roue O' viennent de limiter les profils et les creux de la roue O.

1 50. Comment sont terminés clans une roue pleine les entailles et les creux. Les limites que nous venons de déterminer ne doivent jamais être atteintes; les entailles doivent toujours pénétrer plus avant dans une roue pleine, dépasser l’épicycloide allongée wi, tm' pour que l’engrenage puisse marcher sans danger.

Dans la pratique, afin de ne pas ajouter sans utilité réelle aux difficultés d’exécution, il suffira le plus souvent de prolonger l’entaille en ligne droite , suivant la direction des rayons allant des points m, m' au centre de la roue, jusqu’à une distance de la circonférence a 6 un peu plus grande que la saillie maximum k t des dents de l’autre roue. Une ligne droite ou un arc de cercle concentrique avec « 6 complète le contour de raccordement m, », n' m'.

Lorsqu’il résulte de cette disposition une arête même très obtuse en vi , ou en m', elle devra toujours être adoucie, sauf à ce que les dents ne puissent se trouver en prise qu’un peu plus près de la circonférence extérieure.