DÉTAILS SPÉCIAUX SIJB LF.S DIFFERENTS ENGRENAGES CYLINDRIQUES

Différentes courbes, qui correspondent aux cas les plus simples exposés dans les considérations qui précèdent, sont adoptées dans la pratique comme profils de dents. Elles constituent autant d’engrenages dont il faut indiquer le nom et l’ajustement.

151. Engrenages à lanterne (fig. 1 47). Les dents de la roue B sont des cylindres à bases circulaires, ayant leurs centres sur la circon-

férence primitive; les profils enveloppes des dents opposées sont, comme on l’a vu, les courbes qu’on obtient en retranchant le rayon dés cercles des bases de toutes les normales auxépicycloïdes engen-

drées par leurs centres dans le roulement du cercle primitif B sur A. Chacune des entailles est terminée, soit par deux faces planes, soit par un arc de cercle dont le centre est sur la circonférence primitive, et le rayon au moins égal à celui des cercles de base des cylindres qui forment les dents d’une des roues. La poussée ne commence pour chaque dent que sur la ligne des centres, ou au moins extrêmement près de cette ligne, par le point correspondant à la rencontre de la courbe des dents et de la circonférence primitive (art. 136).

Cet engrenage porte le nom d’engrenage à lanterne ; les petits cylindres ou fuseaux s’ajustent entre deux plateaux ou tourteaux circulaires, et l’intérieur de cette espèce de tambour reste vide. Les dents de la roue pleine s’engagent entre les tourteaux ; elles sont ordinairement implantées dans le corps de la roue, et s’appellent alluchons. Les fuseaux, s’usant plus vite que les alluchons par le frottement, s’exécutent plutôt en fonte, les dents plutôt en bois. On a aussi proposé de rendre les fuseaux mobiles autour de leur axe pour diminuer les frottements, mais cet ajustement manque de solidité et les fuseaux cessent bientôt de tourner.

L’engrenage à lanterne est peu employé aujourd’hui, et seulement pour des mouvements qui n’exigent pas une grande précision.

152. Engrenages à flancs (fig. 143). L’engrenage à flancs a plus de douceur et de régularité. Dans celui-ci , les enveloppées, les profils que l’on se donne sont des rayons de l’une des circonférences primitives, de «' 6' par exemple ; les profils enveloppes, dont l’autre roue doit être année pour conduire ces rayons, sont donc des épicycloides M z engendrées par le roulement sur la circonférence a 6, d’un cercle V dont le diamètre O' M est le rayon de a 6' . Les plans diamétraux M e portent le nom de flancs : ils se terminent à la circonférence primitive dans laquelle ils sont entaillés, car l’épicycloïde qui les mène les touche

en M au contact des circonférences et sur la ligne des centres par son point de rebroussement. On voit en même temps qu’elle ne peut jamais les conduire avant cette ligne. Quant aux limites intérieures de l’entaille comprise entre deux flancs, les règles générales s’appliquent sans difficulté. Ce sont ici les flancs eux-mêmes que l’on prolonge pour donner passage à la dent engagée ; mais la partie de ces flancs, qui peut seule se trouver en prise, devra dans un engrenage délicat être la plus exactement dressée ; la limite intérieure de cette partie se trouvera sur un cercle concentrique à O' et dont le rayon est déterminé par le point d’intersection de la circonférence décrivante , avec la circonférence qui contient tous les sommets s des dents épicycloïdales.

153. Engrenages à flancs réciproques. A proprement parler, dans un simple engrenage à flancs, semblable à celui que nous venons de décrire, l’une des roues n’offre aucune saillie au-dehors de sa circonférence primitive ; l’autre roue, à la limite du moins, aucun vide intérieur au contour de la sienne. Telle n’est pas là la disposition employée dans la pratique ; le plus souvent les deux roues sont garnies à la fois de saillies et d’entailles, ce qui donne le système déjà représenté flg. 145. Les épicycloïdes M s sont prolongés au delà de leur origine M par des flancs formant ainsi avec elles un profil continu, et réciproquement les flancs e M se raccordent avec des épicycloïdes, enveloppes des rayons de la circonférence a 6. Deux roues semblables peuvent indifféremment se mener l’une l’autre.

La plus petite des deux roues s’appelle pignon, elle est en général menée par la plus grande.

154. Engrenages intérieurs à flancs à la roue intérieure. L’engrenage à flancs est quelquefois intérieur. C’est le nom qu’on lui donne lorsqu’un des centres O', par exemple, et la circonférence a! 6' sont intérieurs à la circonférence «6. Si la roue extérieure doit seule être armée de dents et la roue intérieure porter seule des flancs, comme figure 149, cet engrenage ne donne lieu à aucune remarque nouvelle. Les profils de la roue extérieure sont des épicycloïdes engendrées par un cercle mobile dont le rayon est moitié du rayon du cercle O', et qui roule intérieurement sur a 6. Les dents doi-

vent conduire ; elles ne peuvent le faire qu’après la ligne des centres.

155. Engrenages à flancs à la roue extérieure. Mais si au contraire, dans le même engrenage, on voulait armer de dents M t la

roue intérieure O' (fig. 150), et donner seulement des flancs à la

roue extérieure a 6, les profils M f seraient, comme en général, les épieycloïdes engendrées par le roulement sur «' €' d’un cercle mobile dont le rayon serait moitié du rayon de <*£; mais alors les flancs Mie de a 6 devraient être entaillés d’une part jusqu’en i, pour donner passage aux dents ; de l’autre, et c’est ici le point important , il faudrait les prolonger en saillie intérieure par rapport à la circonférence primitive, a 6, depuis M jusqu’en e, ce prolongement Mc pouvant seul recevoir les contacts des profils Mf.

En effet, pour trouver le point des flancs t Me, où le sommet des dents viendra les toucher, on décrira comme en général, de O' comme centre, la portion de la circonférence >f > passant par les sommets f, jusqu’à sa rencontre en avec la circonférence ayant un diamètre égal au rayon a 6. En effet , comme une semblable circonférence également tangente en M à «' 6' décrit les profils Mf, les divers points de M f la rencontreront dans des positions qui correspondront à celles qu’occupe le point M sur la circonférence décrivante pour un même roulement. La première décrit d'ailleurs les flancs t'Me, elle renfermera donc tous les points de contact des dents avec les flancs; la circonférence concentrique avec «6 contiendra donc les limites cherchées des flancs, des contacts extrêmes des sommets f . La longueur des dents, et par suite celle i e des flancs, sera d’autant plus grande que l’on voudra qu’un plus grand nombre de dents soient en contact. 11 est clair qu’il n’y aurait de contact qu'en M , par une seule dent à la fois , si les flancs n’étaient pas prolongés à l’intérieur.

Il ne suffit pas ici d’avoir déterminé l’étendue convenable des flancs M c formant saillie , il faut encore s'assurer que ces flancs, dans toutes les positions relatives où le jeu de l’engrenage les amènera, pourront se loger sans obstacle entre les dents Mf de O'. Cela revient à dire, en considérant les flancs Me comme de véritables dents, que l’entaille dans la roue entre scs dents Mf devra avoir pour limite l’enveloppe de toutes les positions du point e dans le roulement de la circonférence primitive «6 elle-même sur l’autre circonférence primitive a' 6'. Cette enveloppe est l’épicyeloïde allongée Oet qui se raccorde nécessairement en f avec le profil épicycloïdal de la dent M f, puisque ces deux points viennent en contact

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par le roulement. Cette dent M t devrait donc à l’intérieur être évidée suivant la courbe eO. Au point voisin de M où les deux courbes se coupent, l’arête devrait être adoucie. Une portion vers M du profil Mi se trouvant ainsi supprimée, la dent Mi ne pourrait agir qu’a une petite distance après la ligne des centres. Mais, ce qui est plus important, cette dent peut se trouver tellement affaiblie à la partie inférieure vers e, que la disposition et l’engrenage dont on vient de parler doivent être exclus de la pratique.

156. Impossibilité de rendre l'engrenage intérieur réciproque. Quant à donner à la fois à chaque roue, comme dans l’engrenage extérieur, des dents épicycloidales et des flancs, on en reconnaît ici l’impossibilité. En effet, en considérant la dernière ligure, on voit que le flanc Me de la roue O' devrait être creusé pour faire place à l’épicycloide raccourcie fle, ou que le flanc ie de la roue O, si l’on voulait que O' portât un flanc, devrait disparaître pour laisser à découvert le profil 0 e, et ne pourrait par suite avoir la forme d’une dent. Ce n’est qu’en multipliant le nombre des dents et en augmentant le jeu qu’on exécute des engrenages intérieurs par les mêmes principes que les engrenages extérieurs, sans inconvénient dans la pratique.

157. Engrenages épicycloidaux. Les dents tracées dans le système que nous venons d’expliquer sont celles que la pratique a très généralement adoptées ; leur emploi offre cependant un inconvénient très grave ; le cercle décrivant de l’arc épicycloïdal des dents devant avoir pour diamètre le rayon du cercle primitif de la roue avec laquelle ces dents engrènent, il en résulte qu’une roue d’un pas et d’un nombre de dents donnés, 40, par exemple, tracée pour marcher convenablement avec une autre roue de 50 dents, engrènera fort mal avec une autre roue d’un tout autre nombre de dents, tel que 100. Il est évident, en effet, que le diamètre du cercle décrivant étant 1 dans le premier cas , devrait être double dans le second, et engendrer par suite des arcs épicyckridaux différents des premiers. Cette objection intéresse au plus haut degré la pratique moderne qui fait un emploi constant d’engrenages métalliques. Elle oblige , en effet , le fondeur à exécuter pour un pas donné autant de modèles différents qu’il veut faire engréner de

roues différentes avec une seule et même roue; ce qui exige un nombre presque indéfini de modèles.

En outre, dans une foule de combinaisons mécaniques, il arrive qu’une roue principale doit conduire à la fois et directement deux, trois, quatre roues de différents diamètres.

L’emploi des engrenages en fonte exige donc un tracé des dents tel que deux roues quelconques d’un pas déterminé engrènent convenablement.

Pour satisfaire à cette condition, il suffit de choisir, pour tout un système de roues de même pas, un cercle décrivant convenable mais constant, de le faire rouler extérieurement sur chacune des circonférences primitives pour décrire les parties des dents extérieures à ces circonférences, puis de le faire rouler intérieurement à chacune d’elles pour lui faire décrire les épicycloïdes internes qui forment les dents intérieures à ces circonférences primitives.

La fig. 1 :> I montre l’application de ce principe.

A et B sont les centres de rotation, TV D = T g G est le cercle décrivant, constant, qui en roulant, savoir : extérieurement sur Vf a décrit les faces rq ; intérieurement à Vf les flancs rs ; de même relativement à Ec, les faces m », les flancs mp.

Ainsi qu’on l’a vu, les courbes décrites par le roulement d'un même cercle sur les deux circonférences, extérieurement sur l’une, intérieurement sur l’autre, seront enveloppes et enveloppées; le contact aura donc toujours lieu sur ce cercle. Une partie du cercle générateur G jrT sera le lieu de contact avant la ligne des centres; une partie du cercle égal TV D sera le lieu de contact après le passage de cette ligne. Ce contact s’éloignera de plus en plus du centre de rotation de la roue qui mène, en se rapprochant du centre de la roue conduite. 11 commencera avant la ligne des centres entre la pointe n de la roue conduite et la racine s de la dent qui la conduit , remontera de n vers m sur la première et descendra de s vers r sur la seconde, jusqu’au passage de la ligne des centres sur laquelle le contact aura lieu entre les points r et m. Il s’avancera, après le passage de cette ligne de r vers q et de m vers p pour cesser à la pointe de la dent qui mène, et à la racine de la dent menée, de telle sorte que le contact a lieu avant la ligue des centres

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au-dedans de la circonférence primitive de la roue qui mène, et au-dedans de la circonférence primitive de la roue menée, après le passage de cette ligne. Chacune des roues peut d’ailleurs indifféremment conduire ou être conduite.

Fig. 151 .

Diamètre du cercle décrivant. En aucun cas le diamètre du cercle décrivant ne doit être plus grand que le rayon primitif de l’une quelconque des roues du système. S’il en était autrement , les dents auraient à la racine une épaisseur beaucoup moindre que sur la circonférence primitive, défaut évident que partagent, quoiqu’à un degré moindre, les engrenages à flancs. Lorsque, au contraire, le diamètre du cercle décrivant est plus petit que le rayon du cercle primitif, les dents s’épanouissent vers la base et acquièrent ainsi une forme qui favorise leur résistance à la rupture ; il

ne faudrait pas toutefois réduire ce diamètre à l’excès , car alors les faces épieycloïdales prenant trop de courbure, les dents deviendraient trop courtes ; il semble que la meilleure règle à suivre consiste à prendre pour diamètre du cercle décrivant le rayon de la plus petite de toutes les roues du système.

158. Engrenages à développantes à cercle. Si par le point de contact T des circonférences primitives (fig. 152), on mène une

droiteDTE, les cercles intérieurs AD, BE tangents à cette droite, concentriques aux circonférences primitives, auront des rayons proportionnels aux rayons des deux circonférences. Les développantes H K du cercle A D et FG du cercle B E seront l’une à l'autre enveloppe et enveloppée, comme nous l’avons vu. Elles pourront donc former les profils conjugués dedeux dents d’un système d’engrenages.

Les contacts se trouvent constamment sur la droite DE; la deuxième tangente menée aux deux cercles par le point T serait de môme le lieu des contacts des autres faces des dents.

Les dents terminées de part et d’autre par des développantes symétriques pourront être échanfrinées ; leur longueur totale sera obtenue en les traçant dans la position extrême où elles doivent agir avant et après la ligne des centres, et en les coupant à cette distance par des arcs de cercle concentriques aux roues. La saillie des dents étant déterminée, pour leur donner passage on prolonge , si cela est nécessaire , les développantes , à partir de leur origine par deux rayons tangents à leur origine et dirigés vers les centres, et on termine le fond de chaque entaille par un arc de cercle.

159. Engrenages intérieurs à développantes (fig. 153). L’engre-

Fig. 153.

nage à développantes peut être intérieur, la circonférence O' se trouver comprise dans la circonférence O. Les dents de celle-ci doivent être tracées comme celles que porterait d’après la construction précédente une circonférence extérieure ; le profil de ces dents serait le même mais leur courbure serait de sens contraire. C’est ce qui se reconnaît encore, d’après la construction générale des enveloppes, pour les rayons de courbure des développantes M z et Me : ce qui veut dire que ces courbes, comme les circonférences primitives , ont leur courbure tournée dans le même sens ; inconvénient très grave dans la pratique; aussi ces engrenages intérieurs n’ont guère d’applications. Celui-ci, comme on le voit, est réciproque. Quelle que soit la roue menante, il peut , si le nombre

des divisions est suffisant, avoir constamment deux dents en prise après la ligne des centres.

Remarquons que les engrenages à développantes ont, relativement aux engrenages épicycloïdaux, l’inconvénient de se conduire par des contacts plus obliques relativement à la ligne des centres; néanmoins quelques avantages spéciaux à ce genre d’engrenages nous engagent à entrer à leur égard dans quelques développements.

160. Cherchons comment la pression varie au contact des dents dans un engrenage quelconque.

Soit N la pression qui s'exerce au point de contact entre les deux dents al), a' b', et s’exerce suivant la normale commune, soit P la force qui agit ù la circonférence de la roue O, on aura, le mouvement étant uniforme :

PR =NR sin. a, « étant l’angle de la normale et de la ligne des centres, et R sin. a = O p', la perpendiculaire abaissée sur la normale A p , suivant laquelle la pression a lieu, d’où P = N sin. «. Fig. t5i.

ICI. Pour tous les engrenages, sauf pour celui à développantes, l’angle de la normale et de la ligne des centres étant variable, la pression est donc coustamment variable. La valeur de la pression, abstraction faite du frottement, est au contraire constante dans les engrenages à développantes, ce qui est un avantage dont toutefois il ne faut pas s’exagérer l’importance, car il n’en résulte pas une usure tout à fait régulière des dents. Pour cela, en effet, il faudrait que le travail du frottement fût constant, et par suite aussi le chemin parcouru par le frottement ; il faudrait donc que la différence des arcs passant dans un même temps au point de contact, ou pour de très petits arcs *>, u, que la différence des rayons de courbure fût constante, ce qui n’est pas. La variation en est d’autant moindre que le contact sur chaque dent, qui a toujours lieu suivant la tangente commune , est moins prolongé , ce qui a lieu en rendant le nombre des dents un maximum. Le travail du frottement variant,

il en résulte que, dans la réalité , l’usure n’est pas la même pour tous les points de la dent.

Dans les engrenages à développantes, la forme des dents de chaque roue étant déterminée par le roulement d’une droite sur une même roue, ne change pas quand le rayon d’un des cercles varie, avantage que possède seul le dernier système que nous venons de décrire et que ne possèdent pas les engrenages à flancs, pour lesquels les formes d’une dent sont déterminées par le roulement d’une circonférence dont le rayon est moitié de celui de l’autre cercle primitif.

Enfin, un dernier avantage des engrenages à développantes et qu’ils possèdent seuls, est que si les axes des roues éprouvent un certain déplacement en restant parallèles , l’engrenage ne cesse pas d’être exact, la poussée devant toujours avoir lieu par les mêmes courbes dans tous les cas.

On doit incliner très peu la tangente commune aux deux roues concentriques aux circonférences primitives , les bras de levier de la puissance et de la résistance seront les plus grands possibles, ce qui est avantageux puisque, pour la transmission d’une même quantité de travail, la pression diminuant , son action destructive sur chaque dent diminuera également.

162. Tous les éléments du tracé d’un engrenage quelconque sont actuellement déterminés, sauf un, celui du nombre de dents, ou

se trouver renfermés pour que l’engrenage satisfasse aux conditions de continuité d’action que nous avons reconnu être nécessaires. Nous allons y parvenir par quelques considérations d’un ordre particulier.