GO
rencontrées par un plan incliné qui les surmonte; dans l’autre sens, poussées directement par un tranchant, elles devront être coupées.
165. Des dispositions à prendre pour éviter les arc-bout ements. Puisque dans le cas de poussée irrégulière où il peut y avoir arc-boutement, le mouvement de la roue menée se trouverait accéléré, il ne saurait alors rester de dents régulièrement en prise, et réciproquement , en supposant l’engrenage rigoureusement exécuté, s’il y a des dents en prise par contact, il ne saurait y avoir d’arc-boutement. On les évitera plus sûrement encore en faisant en sorte que les dents ne puissent se rencontrer qu’après la ligne des centres ; mais on voit alors que si les dents ont des profils symétriques, il n’y aura qu’une des deux roues qui puisse être roue menante. C’est le cas de l’engrenage à lanterne, de l’engrenage à flancs, où le pignon n'est point armé de dents ; les fuseaux et les flancs ne devront jamais conduire la roue qui mène ; celle-ci peut conduire dans un sens comme dans l’autre. J’appellerai les engrenages qui se trouvent dans ce cas, symétriques sans réciprocité.
Mais dans les machines à mouvement rapide , à résistance très
inégale , où les vitesses sont régularisées par l’emploi de volants , il arrivera fréquemment que, tout en marchant constamment dans
un seul et même sens , les deux roues seront alternativement , l’une par rapport à l'autre , menantes et menées. On voit d’abord iei qu’il importe de maintenir le jeu très petit pour diminuer autant que possible le choc des dents au moment où les roues changent de rôle ; on voit ensuite que les deux roues devant pouvoir conduire l’une comme l’autre après la ligne des centres, elles auront nécessairement, si leurs profils sont symétriques , des dents à la fois en prise avant et après cette ligne, comme par exemple en m et en m" (flg. 157), puisque, suivant le sens que l'on attribuera au mouvement de rotation, les contacts m et m" seront tantôt l’un, tantôt l’autre, situés avant et après cette même ligne des centres C C\
J’appelerai symétriques et réciproques les engrenages de cette sorte où les deux roues peuvent être menantes ou menées dans un sens comme dans l’autre.
Les engrenages à flancs ou à développantes, dont les deux roues ont des dents saillantes et symétriques , sont dans ce cas.
La moindre irrégularité dans l’exécution pouvant faire alors que la poussée n’ait lieu que par les dents situées en arrière de la ligne des centres, la perfection apportée à l’exécution des dents garantit seule qu’il n’y aura pas d’arc-boutement.
106. On peut, d’ailleurs, s’en garantir d’une manière absolue en conservant les avantages de la réciprocité, c’est-à-dire faire que les deux roues puissent être menantes et menées par des contacts uniquement situés après la ligne des centres ; il suffit pour cela de détruire la symétrie des profils, d’amaigrir les dents de l’une et de l'autre roue , seulement dans leur partie saillante et du côté opposé au sens du mouvement que l’on veut seul conserver, il est évident que de part et d’autre on supprime ainsi les contacts situés en arrière de la ligne des centres.
Dans la figure précédente ce seraient donc les parties ombrées nn'de la roue C' et les parties également ombrées c,e' de la roue C qu’il faudrait supprimer, d’après le sens du mouvement qu’indi- * quent les flèches.
L’engrenage est alors réciproque et non symétrique ; mais comme pour en déterminer les éléments on peut toujours partir du tracé i. 1 1
d'un engrenage à la fois symétrique et réciproque , ce cas rentre dans le précédent. On doit donc distinguer deux cas.
Le premier, celui des engrenages symétriques sans réciprocité. Pour celui-ci il faudra faire en sorte que la roue qui seule doit mener ait toujours des dents en prise après la ligne des centres.
Le second, celui des engrenages symétriques et réciproques.
/ Il faudra dans ce cas qu’il y ait toujours des dents en prise avant et après la ligne des centres.
Nombres des dents.
167. Pour que la condition qu’il y ait plusieurs dents en prise soit satisfaite, il faut que le nombre de celles-ci soit supérieur à un certain nombre minimum pour chaque espèce de roues d’engrenage.
En effet , nous avons vu que les nombres de dents des roues n R
étaient dans le rapport — = -, et qu’ainsi il faut prendre pour
n et n' deux nombres entiers qui satisfassent à cette relation. Mais ce rapport ne détermine pas complètement les dents, car chaque division comprend un vide et un plein, et il faut encore savoir quelle épaisseur ondevradonner au plein. Cette épaisseur n’est pas arbitraire, elle serait déterminée par la résistance des matériaux, d’après la grandeur de la force à mener, si la largeur de la roue était donnée. Dans le cas général où l’on peut faire varier la largeur de la roue et augmenter par suite le nombre de dents, il faut qu’il soit tel qu'au moment où deux dents actuellement en contact vont cesser de fonctionner, deux autres dents se trouvent en prise, afin qu’il n’y ait pas d’arrêt dans le mouvement de la roue menée. Cette condition pourrait n’étre pas remplie , si l’on faisait arbitrairement le partage d’une division de la première roue entre le plein et le vide, partage d’où dépendent le vide et par suite le plein de la deuxième roue. Il pourrait arriver, par exemple, qu’une dent de la première roue ne conduisit pas assez loin la dent avec laquelle elle est en contact, c’est-à-dire qu’elle l’abandonnât avant qu’une autre dent de la première roue ne fût en prise avec une autre dent de la deuxième roue. Pour y remédier, il faudrait prolonger le profil de la dent ; mais alors, puisqu’elle
est symétrique, il faudrait augmenter son épaisseur ùla base. Le Aide deviendrait donc d’une moindre étendue, et aussi les bases des dents de la deuxième roue ; elles pourraient donc alors être trop faibles, en supposant qu’il restât un vide, que la solution fût possible pour le nombre de dents considéré.
168. Elle est toujours possible si l’on augmente suffisamment le nombre des dents, c’est-à-dire les nombres n et n'. Ces nombres sont donc susceptibles d’un minimum qui ne doit jamais être atteint dans la pratique. Cette limite inférieure varie avec la nature de l’engrenage. La recherche de cette limite mène à des calculs assez compliqués dont M. Savary a déduit les résultats suivants :
Appelant p le rapport = 5. = p, moindre que l’unité,
il a trouvé qu’on devait toujours avoir :
Dans l’engrenage à flancs n' = ou > 10(1 -f- fx).
Dans l’engrenage à lanterne n' = ou > 7 -f- 4 p.
Dans l’engrenage à développantes n' = ou > 1 6 -J- 2 p.
1 69. Nous donnerons comme modèle du genre de calculs propre à conduire aux résultats cidessus, celui du nombre minimum do dents do l’engrenage à flancs.
Soient (fig. 158) deux dents consécutives dont l’une commence & s'appuyer en A sur le flanc de la deuxième roue au moment où l'autre cesse d'Otro en prise avec le flanc voisin.
Le point A , où la première dent commence ù toucher le flano de la dent de l'autre roue, est situé sur la ligne des centres.
L'arc A a contient un plein et un vide ; on a 2«R
L'arc A a < contient aussi nn plein et en vide ;
on a donc : A a' = ; —
donc : Aa =
Il s'agit de déterminer qucllo doit Stre l'épaisseur a a do la dent de la première roue , pour que les contacts puissent avoir lieu comme sur la figure. Faisons na = x. Le point m étant l’extrémité de la dent, la droite ntO passe par le
milieu de l’arc aa. On a donc al* = j-
D’après la fig. 458 : tang. mOA = ^ on tang. (AOa — aOp.) = ^
/2« x \ mp
' tang ’ { TT “ 2 rJ = Üp
Op
Il resto à exprimer mp et Op en fonction des nombres n et n'. Soit o l’angle AO'a'= — , la droite Am est normale au liane O' a'; mp est perpendien-
fi 1
laire ru rayon O' A, on a donc :
Am = R' sin. <?, mp = Am cos. 9 = R* sin. 9 cos. 9, Ap = Am sin. 9 = R' sin. * 9 -
Substituant ces valeurs dans les expressions trouvées précédemment, on a :
/Ziz x \ R 1
Tttng ' \ n 2 r) R
Or:
R' sin. ç cos. ç -b- R' sin. 1 f
2ir
( 2 n a \ n' sin. ç cos. o
n 2 R/ n + n' sin.
. 2 n 2tr
n' sin. — - cos. — -
n -1- n' sin. * —
n' . 4tr f-sm.—
/Zir ir \ 2 n'
on n tang.
1 H sin. * —
Cherchons h déduire de cette expression la limite do la valeur de l’arc <r.
fi 2 ir
Le terme — sin. * — —, qui se trouve an dénominateur du second membre de n' n
l’équation, est toujours positif et celni-ci toujours plus grand que 4 . Il s’ensuit que :
/ . 2* af\ n'.
" ( Ung ' T - 2Rj < 2 “ n - 77
et à fortiori :
fin œ \ »' . 4,
La plus grande valeur que puisse avoir l’aro x c’est la division tout entière, auquel cas le vide se réduirait à zéro et la dont de la rouo O’ à une simple ligno
droite. La plus grande valeur de l’angle ~ est donc une demi-division, o’est
