VALEUR DE

VALEURS DE rr .

Le pignon mène. . <

La roue mène. . . <

171. Engrenages épicijcloïdaux. Reportons-nous à la fig. 151, qui représente les dents tracées avec un même cercle décrivant ; soit T/f, l’arc de retraite que l’on veut obtenir, décrivez l’épicycloïde interne hd, d sera par hypothèse le dernier point de contact; kd sera dès lors le rayon total de la roue qui mène, et d h le développement strict du flanc de la roue conduite. Une construction analogue, tracée de l’autre côté de la ligne des centres, donnerait la longueur des dents de la roue conduite et le développement des flancs de la roue qui mène.

172. Engrenages à développantes. Il suffit de faire le tracé de la figure 159 pour un engrenage à développantes, pour s’assurer que toutes les relations ci-dessus peuvent s’étendre à ce cas, et qu’on a par suite :

Tl faut observer toutefois que, dans le cas des dents en développantes, ces formules ne donneront que la saillie qui permettra à une deut de continuer son action jusqu'au cercle de base de l’autre

roue, la construction ne s’appliquant qu’à des points de contact toujours extérieurs à celui-ci. Les formules ne s’appliqueraient pas dans ce cas, comme dans le précédent, à d’autres positions du contact.

173. A litres dimensions des dents. Elles sont généralement les suivantes dans les machines bien établies.

Largeur de la jante. Quatre fois l’épaisseur des dents quand la vitesse à la circonférence n’excède pas l m 50, cinq fois pour des vitesses supérieures, afin de diminuer l’usure.

Epaisseur. Soit P la force en mètres que l’engrenage doit transmettre, 6 l'épaisseur de la dent en centimètres, mesurée sur la circonférence primitive; on déduit de ‘.'observation des dimensions adoptées par les meilleurs constructeurs :

Pour les dents en fonte b — 0,t 05 1/ P,

id. en bronze ou cuivre.. 6 = 0,131 1/ P, id. en charme ou sorbier. 6 = 0,1381/ P.

TnACÉ PRATIQUE DES DENTS.

174. La portion de courbe qui forme le contour d’une dent a toujours un développement assez faible pour qu’on puisse lui substituer un ou deux arcs de cercle au plus sans erreur sensible; c’est ce qui a toujours lieu dans la pratique. Toute la difficulté consiste à déterminer les centres et les rayons de ces arcs.

Nous ne parlerons pas du procédé employé quelquefois, qui consiste à tracer une dent en plaçant le centre d’un compas à l’origine de la dent suivante. Ce n’est qu’un moyen grossier que les bons ateliers doivent abandonner pour adopter des procédés basés sur les résultats de la théorie.

175. Tracé de la dent par un seul arc de cercle. Si nous nous reportons à l’art. 138, nous y trouvons une méthode pour le tracé qui nous occupe. Menons par le point de contact T (flg. 133) une droite PTQ de direction qui peut être quelconque, mais qu’il est mieux de faire telle que PT A = 75° pour avoir des dents de forme convenable. Abaissons A r perpendiculairement à cette ligne et prenons le point r pour le centre des dents d’une des roues, le centre de courbure de l’enveloppe sera le point S obtenu en menant B S parallèle à A r, puisque le point K est alors à l’infini.

Tour tracer rapidement les dents de la roue, il convient, du centre A, de décrire la circonférence du rayon A r, qui devient le lieu des centres de courbure des dents de la roue; puis d’une ouverture de compas égale à rT, et en prenant pour centres les divisions tracées sur le cercle primitif en raison du nombre de dents , on trace les contours de celles-ci.

Les dents ainsi, tracées se rapprochent beaucoup des dents en développantes, il suffirait que le centre r se déplaçât quelque peu pendant le tracé des dents pour qu’elles eussent cette forme. Elles participent des avantages et des inconvénients de ce genre de dents ; toutefois, comme elles sont tracées à l’aide d’un seul arc de cercle, il n’y a qu'une position pour laquelle le rapport des vitesses auxiliaires reste rigoureusement constant, c’est celle où le point de contact se trouve sur la ligne des centres.

176. Tracés des dents par deux arcs de cercle. On obtiendra un degré d'exactitude bien plus grand et qui satisfera amplement à tous les besoins de la pratique en traçant le flanc et la face de chaque dent , chacun par un arc de cercle , avec la condition que le point d’action exact de l’un soit situé un peu en deçà de la ligne des centres, et celui de l’autre un peu au-delà de cette ligne et à la même distance, égale à la moitié du pas par exemple.

La fig. 1 60 montre l’application de cette méthode, qui a été introduite par M. Willis dans les ateliers anglais.

A est le centre de rotation de la première roue, B celui de la seconde roue avec laquelle la première engrène.

T est le point de contact de leurs circonférences primitives ; par ce point T menez une droite Q T q, faisant, avec la ligne des centres, un angle PT A = BT q qui peut être quelconque; celui de 76° est préférable pour que les dents aient une forme convenable.

Menez à cette droite QTq et par le point T une perpendiculaire indéfinie, et marquez sur cette perpendiculaire deux distances égales T K, TA qui peuvent être quelconques, mais plus petites toutefois que le plus petit rayon primitif AT. Par l’extrémité K de cette perpendiculaire et par le centre B menez B K, que vous prolongerez jusqu’à sa rencontre Q avec QTq. Joignez K au centre de la roue A, cette droite coupera QTq en un point P.

P est le centre de courbure des faces de la roue A, et Q est le centre de courbure des flancs de la roue B contre lesquels agissent

ces faces. C’est encore l’application des principes de l’art. 133.

Pour avoir les rayons de courbure, prenez sur la circonférence primitive de la roue A un point m, situé à une distance de T égale à la moitié du pas, de l’autre côté de la ligne des centres par rap-

port à P et à Q. P m sera le rayon de courbure des faces de la roue A, et Qm le rayon de courbure des flancs de la roue B; les premières seront donc convexes et en saillie sur la circonférence A, les secondes seront concaves et à l’intérieur de la circonférence B. En opérant sur la roue B, comme nous l’avons fait pour la roue A, en traçant les lignes A A et B A, on aura les centres p et r/, et les rayons de courbure p n et q n des flancs de la roue A et des faces de la roue B.

Pour achever le tracé de l’engrenage, on décrira du centre A et du rayon kq une circonférence qui sera le lien des centres de courbure de ses flancs, dont les rayons de courbure = qn. Une autre circonférence de rayon A P contiendra les centres de courbure de ses faces, dont les rayons = Pm».

Il importe de remarquer que les dents de la roue A, par exemple, ne changeraient pas de forme, quand bien môme la roue B, avec laquelle elle engrène, aurait un rayon différent de BT, pourvu toutefois que les distances KT = TA = C demeurassent constantes. Quelque puisse être, en effet, la position de B sur la ligne des centres, cette position n’affecterait que la position des centres de courbure Q et p des dents de cette même roue BT, sans rien changer à la situation des centres de courbure P et q de la roue A T.

Il en résulte que quelque soit le nombre de roues d’un système pour lequel les lignes Q q et K A conserveront les mômes positions angulaires, parrapport à la ligne des centres et les droites K T = T A la môme valeur absolue C, deux quelconques de ces roues marcheront ensemble convenablement.

On peut d’ailleurs déterminer la distance KT dans un tel système en remarquant que si A se rapproche de T, A q qui tend d’abord à devenir parallèle à T q, dépasse ensuite cette position; q, dans le cas du parallélisme, est rejeté à l’infini et le flanc de la roue A devient une ligne droite perpendiculaire ù PTç. Lorsque la position de A qui rend T q parallèle à PT q est dépassée, le centre de courbure q , des flancs de A, se trouve situé de l’autre côté de T et ces flancs deviennent alors convexes, ce qui donne aux dents une forme bizarre, inadmissible à cause des arcs-boutements.

Il est donc rationnel de donner à K T, pour valeur maximum, celle qui combinée avec le plus petit rayon du système rendrait A q

parallèle à T q. r étant dès lors la plus petite roue d'un système d’engrenages, on a : K T — r sin. Q T A ou C = r sin. 8, en appelant 0 l’angle de la droite PT q et de la ligne des centres.

Si l’on veut calculer pour une autre roue quelconque la distance d du point de contingence T au centre P de courbure des faces, et celle D au même point T du centre de courbure q des flancs, on les aura facilement en fonction des quantités connues. En effet, dans la fig. 160, menant A R perpendiculaire à PTiy, on a :