DU FROTTEMENT DANS LES ENGRENAGES

177. Représentons par N la pression normalement aux courbes en contact, /N sera la valeur du frottement. Le chemin parcouru par ce frottement, pour une rotation correspondant à un arc infiniment petit d s des deux circonférences primitives, est celui du glissement

que nous avons trouvé égal à pd s ( — -f- J pour l’engrenage

extérieur (et pd s pour l’engrenage intérieur).

Le travail absorbé par le frottement sera donc en chaque instant :

A mesure que le nombre des dents augmente, la normale p s’éloigne de moins en moins de ia tangente au point de contact des circonférences primitives, et par suite la force N se rapproche beaucoup de la force résistante Q, qui agit tangentiellement à la circonférence, pour le cas du mouvement régulier que nous considérons, puisque Q = N sin. « et que a approche beaucoup de

100° ; la valeur Q fp d s -J- jÿ) est donc une limite vers laquelle tend l’expression du travail du frottement en chaque instant, quand on augmente le nombre des dents, et qui ne péchera que par un léger excès quand ce nombre ne sera pas considérable. Prenons donc cette expression pour valeur du travail du frottement en un point de contact pour lequel la normale est p, et pour un arc d s.

Le contact a lieu, en général, également de chaque côté de la ligne des centres pour laquelle p~o et le frottement est nul. Comme d’ailleurs la direction de la normale se rapproche beaucoup de la tangente au point de contact des deux cercles primitifs, on peut, pour avoir la valeur moyenne du travail du frottement pour les diverses positions de l’arc d s , remplacer la valeur moyenne de O à p ou P

- , par une longueur de l’arc s de roulement égale à une demi-divi-

sion - , c est- à-dire à — , 2’ n ’

on a alors :

et comme * J T, = <V , (i + j) i,.

De la forme de l’équation [1] on déduit, en la divisant par ds, l’effort moyen, qui appliqué tangentiellement aux circonférences primitives, produirait le même travail que le frottement pour le roulement (l s, et cet effort est :

Si l’on remplace le petit arc ds , dans l’expression du travail du

(1) Si l'on compare le frottement moyen, àampltludc éyalt, lorsque le contact

„ , .... 2 7t R 2rrR'

frottement, par une longueur d une division, a — - = — — — ,

le travail dû au frottement, pendant le contact de deux dents pour une division, sera :

Tr = n J Q ( - H — , ) — — ,

et en multipliant par n', on aura le travail dû au frottement pour un tour entier de la deuxième roue.

Or, Q X 2 n R' est le travail T r , dû à la force résistante qui agit sur la deuxième roue pendant un tour de celle-ci, le travail du frottement devient donc :

Tf = rc/T r (l + V).

Comme les forces motrices et résistantes P et Q sont très peu différentes, et T m le travail moteur transmis pendant un tour de foue peu différent du travail résistant, on peut prendre pour valeur du travail dû au frottement pendant le même temps :

D’après la formule [3], on voit que le travail du frottement est

.... . 1,1 .1 1 proportionnel a 1 expression - -f- -, et a - — — pour les engrenages intérieurs, pour lesquels il est donc moindre que pour les engrenages extérieurs à nombre de dents égal), c’est-à-dire d’autant moindre que le nombre des dents est plus grand. D’où l’on conclut cette règle de la pratique qu’il faut multiplier, autant que possible, le nombre des dents, pour diminuer le travail du frottement, avoir moins d’usure, des mouvements plus doux.

Engrenages sans frottement de glissement .

178. Puisque le frottement diminue quand le nombre de dents augmente, on peut rendre ce frottement presque nul par la disposition représentée sur la üg. 161, qui consiste, au lieu de faire les

a lieu d'an seul côté de la ligne des centres ou également de chaque côté, on voit que les valeurs moyennes de p peuvent être considérées comme doubles dans le premier cas, de ce qu’elles sont dans le second et par suite aussi le travail du frottement. C’est par ce motif que, dans la pratique moderne, on met les donts en prise également de chaque côté de la ligne des centres ; les progrès de l'art de La construction des machines permettant de lo faire sans aucun dnngcr.

profils des roues cylindriques, de les former de profils égaux et de faible épaisseur, ayant tourné les uns sur les autres, d'une quantité aussi petite qu’on le voudra. Les dents figureront une suite de degrés tels que les marches d’un escalier.

Les dents de l’autre roue devront pareillement être formées de circonférences superposées, et correspondre aux circonférences de la première roue. Elles formeront de même une sorte d’escalier (figure 163) dont les degrés correspondront à ceux de la première

Fig. ICI. Fig. 162.

roue, de manière à venir se mettre successivement en contact avec eux dans le mouvement des deux roues. Le frottement sera d’autant moindre, que le nombre de ces degrés sera plus grand, car le nombre des dents de chaque roue sera multiplie par le nombre des plaques superposées.

179. On peut supposer le nombre des plaques infini, de manière que les profils des roues forment une surface continue, qui rencontrera une surface cylindrique dont les génératrices seraient parallèles à l’axe de la première roue suivant une certaine courbe.

Les dents de la deuxième roue formeront de même une surface continue, qui rencontrera une surface cylindrique tangente à la première et engendrée par une droite parallèle à l’axe de la deuxième roue, suivant une deuxième courbe dont les points devront venir dans le mouvement des deux roues, s’appliquer respectivement sur les points de la première courbe, de manière que les deux courbes soient continuellement en contact comme si elles roulaient l’une sur l’autre.

On voit que , dans ce mouvement , les deux surfaces seront il

bv Go ogle

chaque instant en contact par un seul point situé sur une ligne repré. sentant un profil de dent sans épaisseur ; et après le plus petit mouvement de rotation, elles seront en contact sur une autre ligne ou profil de dent, également sans épaisseur; il n’y aura donc pas de frottement de glissement, comme l’indique la formule qui donne l’expression du frottement lorsque n et n' deviennent infinis ; mais seulement un frottement de roulement. Cet engrenage présentera donc, sous ce rapport, un grand avantage sur les engrenages ordinaires.

On peut prendre la ligne des contacts (fig. 1 03) sur le premier cylindre tout à fuit arbitrairement ; il faudra seulement que la ligne correspondante sur le deuxième cylindre soit telle que dans le mouvement de rotation des deux cylindres les points de ces deux Fig. 163. lignes viennent successivement en con-

tact. Pour cela la première ligne étant prise à volonté, on la développera sur un plan tangent au cylindre , puis on enroulera ce plan sur le deuxième cylindre. La courbe se trouvera de la sorte convenablement tracée.

11 est plus simple de tracer une ligne dans le plan tangent aux deux cylindres, et d’enrouler successivement ce plan sur ceux-ci ; on applique de la sorte la ligne tracée successivement du plan sur les deux cylindres, sur lesquels elle engendre deux courbes convenables, puisqu’elles viendront se superposer successivement par le mouvement de rotation. Pour mettre ces courbes en saillie et les adapter à des cylindres d’un moindre diamètre que les précédents, on fait passer par celies-ci des surfaces saillantes engendrées par les normales aux cylindres.

Ces deux surfaces, suffisamment prolongées, représentent deux dents continues qui no se toucheront toujours qu’en un point situé sur les courbes qui leur servent de base.

La solution la plus simple consiste évidemment à prendre une ligne droite dans le plan tangent, les courbes sur les cylindres sont alors deux hélices qui deviendront la base de deux surfaces hélicoïdales. La fig. 163 représente cette disposition.

Le contaet ayant lieu par une arête, celle-ci s’émoussera par l’usage (flg. 104 et 105), mais pour de petits efforts l'arétc se trouvera remplacée par une partie circulaire pour laquelle le contact a lieu à peu près comme sur l’arête vive. Ces engrenages sont dits de précision ; le contact n’ayant lieu que parun point, ils ne pourraient, sans s’user

Fig. 164. Fig. 165.

très rapidement, transmettre des efforts considérables. M. Bréguet les a utilisés avec succès pour faire mouvoir des axes avec une vitesse extrêmement considérable, de huit mille tours par seconde. Pour des roues de peu d'épaisseur, les fractions d’hélices, pouvant se confondre avec des petites lignes droites inclinées (flg. 1 08) sont faciles à exécuter, et pourront s’employer avec avantage dans des machines construites avec soin, dans lesquelles de petites forces sont en jeu.

Les ilg. 106 et 167 montrent la disposition de roues d'engre-

Fig. IC8.

nage plus épaisses construites ainsi que nous venons de l’expli-

quer; et en se reportant à ce que nous avons dit précédemment pour les autres conditions à remplir par tout engrenage.

Nous eussions dû parler de ces engrenages à frottement de roulement, en traitant dans la première section de ce chapitre des organes agissant par contact immédiat et à frottement de roulement. Mais il faut remarquer que nous ne parlions que des sections planes de rouleaux et de dents cylindriques; alors il est exact de dire, comme nous l’avons démontré, que des cercles peuvent seuls se conduire avec frottement de roulement.

Dans le cas que nous considérons actuellement au contraire, et qui ne pouvait guère être compris qu’après ce que nous avons dit sur les engrenages à frottement de glissement, le contact change de plan à chaque instant, quitte le plan perpendiculaire à l’axe en un point pour entrer dans un plan parallèle passant par le point suivant.

Nous répéterons encore l’observation déjà faite que ce genre d’engrenages ne peut servir à transmettre des efforts un peu considérables , le contact n’ayant jamais lieu que par un point ; il est facile de démontrer que le contact entre les dents ne saurait avoir plus d'étendue. Si en effet, il avait lieu suivant une ligne, le lieu des contacts successifs engendrerait une surface et non plus une courbe. La section par un plan perpendiculaire à l’axe déterminerait donc deux courbes planes, qui se conduiraient dans un rapport de vitesse constant et cependant ne seraient pas des cercles, ce que nous avons vu être impossible.

Organe* où l'action a lien à l’aide d’intermédiaires rigide*.

180. L’organe qui répond à la solution dont nous avons à traiter est la bielle. M. Tom Richard, résumant les travaux de M. Willis, en a donné, dans son Aide-Mémoire des Ingénieurs, une intéressante théorie. Nous lui empruntons ce qui suit.

La bielle consiste en une barre articulée ù ses deux extrémités, à deux plateaux ou à deux rayons ou manivelles, tournant autour de deux axes de rotation. Nous allons étudier les vitesses relatives des deux rayons pour des positions diverses de la bielle.

Rapport des vitesses. Soient A P, IIQ deux bras qui se meuveut autour des centres respectifs A, B (11g. I GU) ; P Q une bielle articulée

LIVKE DEUXIÈME.

aux extrémités P et Q de ces bras ; A R, B S les perpendiculaires à la direction de la bielle menées des centres respectifs A et B ; A/», B (j, pq les positions infiniment voisines que prennent A P, BQ, PQ par le mouvement du système. Par p et q menez les perpendiculaires ptn , q n à la première direction de la bielle , les triangles P pm, A PR sont rectangles, Pp est perpendiculaire à A P et Pot à A R, l’angle eu P du triangle infinitésimal est donc égal à l’angle en A de A PR. Ces triangles sont donc semblables. On

prouvera facilement la similitude des triangles q nQ (évidemment égal a celui obtenu en abaissant du point q une perpendiculaire sur le prolongement PQ) et BSQ et de ceux ART et B SX. On a donc : P p : Pm :: P A : AR , qn : Qq :: BS : BQ,

AT: BT :: AR : BS.

Combinant ces rapports, on a finalement :

P p Qq BS x Pm AP ’

-, et, comme, ainsi nous le verrons ci-

BQ ’ AllXî»

après, P m = qn; on a donc les deux proportions :

Xî ; sê ;; Bs : AB - • • t'J.

Pp

et

AP

BQ

:: BT : AT. . . (2] ;

c’est-à-dire [2] que les vitesses angulaires des bras A P, B Q sont entre elles, à chaque instant, en raison réciproque des segments de la ligne des centres AB déterminés par la rencontre T de cette droite avec la direction PQ de la bielle, relation identique avec celle déjà trouvée pour les vitesses de deux courbes qui se poussent, dont P et Q seraient les centres de courbure au point de contact, la longueur de la ligne PQ ne changeant pas pour un déplacement infiniment petit.

Ou bien [1] que les vitesses angulaires des bras AP, BQ sont réciproquement comme les perpendiculaires abaissées des centres de mouvement A et B sur la direction de la bielle.

Prolongeant AP et P Q jusqu’à leur rencontre en K, abaissant K L perpendiculairement à la bielle. PQ , on a:

pm : Pm :: PL : KL, qn : Q n :: KL : QL, et comme à la limite qn = P/n, il vient :

pm : Qn :: PL : QL,

ce qui montre que L pied de la perpendiculaire, est l'intersection de deux positions de la bielle infiniment voisines.

Si les chemins parcourus par P et par Q étaient dirigés suivant une droite ou une courbe autre qu’un cercle, on aurait à cause de Pm<= qn, P p cos. pVm = Qq eos. Q qn, ou P p cos. Qqn

Qq cos. pP m'

c’est-à-dire que les chemins élémentaires seraient entre eux réciproquement comme les cosinus des angles de la bielle avec les directions respectives du mouvement.

Nous avons admis dans tout ce qui précède que l’on pouvait poser P m=qn. En effet, YiQ—pq, la longueur de la bielle est constante ; or a étant l’angle eu L de la rotation angulaire de la bielle, angle infiniment petit, on a :

PQ = P m -j- Lp cos. « -(- L Q , pq = qn LQ cos. « -f- L p.

Or a étant infiniment petit, cos. a = t — — . . . se réduit à I , et l’on a :

PQ=P»i -|-Lp-|-LQ = pç=grM-j-LQ-{-Lp, égalité qui ne peut être satisfaite que par Pm=iyn. Ce qu’il s’agissait de démontrer.

Si le point d'intersection T de la bielle et de la ligne des centres était placé à une distance infinie; ce qui aurait lieu pour toutes les positions possibles du système si la bielle PQ était parallèle et égale à la ligne des centres AB, alors les bras seraient égaux, les vitesses angulaires deviendraient elles-mêmes égales, et leur rapport serait dès lors constant. Dans tous les autres cas le point T se déplaçant, le rapport des vitesses est constamment variable. Donc le transport du mouvement circulaire à distance , par l’intermédiaire de bielles, ne s’effectue de manière que le rapport des vitesses angulaires soit constant, que pour des vitesses angulaires égales des axes.

181. Le mécanisme de la fig. 170, dans laquelle les rayons des deux cercles B et D sont égaux, offre deux combinaisons, l’une pour laquelle le rapport des vitesses angulaires est constant, parce que la bielle et la ligne des centres sont parallèles ; l’autre pour laquelle il est variable , parce que les projections de la bielle et de la ligne des centres se rencontrent.

Pour l’une et pour l’autre de ces combinaisons, il arrivera que lorsque par la rotation du point il, ce point passera par la ligne des centres, soit en a , soit en s, l’extrémité / de l’autre bras passera en même temps par la même droite aux points p ou t. À l'époque de ces deux phases du mouvement , les deux positions possibles /d, Ad de la bielle coïncident ; en partant de chacune de ces phases, la bielle, abstraction faite de l’inertie et dn poids des pièces, peut en quelque sorte, choisir entre ,J ®-

ces deux positions. Ainsi , par exemple , en partant de la position Bu et Bp, le point a se mouvant vers rf, le point p peut ou s’avancer vers/, cas pour lequel la bielle est parallèle à la ligue des centres , ou reculer vers A, cas pour lequel la bielle croisera la ligne des centres jusqu a ce que le point d soit parv enu en s et le point A

en t. A cet instant, le cas d’instabilité se présentera de nouveau, sans toutefois qu’il puisse jamais avoir lieu pour une position quelconque de Bd, prise entre les positions Ba, B s. Les deux phases d'instabilité, pour lesquelles les deux bras coïncident avec la ligne des centres , se nomment les points morts du système.

Lors donc qu’on emploiera ce mécanisme avec l’intention que le rapport des vitesses soit constant , il faudra faire en sorte qu’en passant aux jioints morts, la bielle conserve son parallélisme avec la ligne ’ des centres.