AXES QUI SE RENCONTRENT

1° Organe» agissant par contact immédiat et avec frottement de roulement.

187 . Soient AB, AC deux axes se coupant en A (fig. 177 ),quidoi-

Fig. 177

vent se mouvoir avec des vitesses angulaires dans un rapport constant et égal à - .

Par un point quelconque de l’un d’eux, de A B par exemple, on mènera une parallèle DF à AC.

Prenons D F, tel que DF : A D dans le rapport des vitesses, et traçons la ligne A F G. Abaissons par le poiut G les perpendiculaires G B, GC, la rotation des triangles rectangles A CG, A B G, autour des axes A B et AC, engendrera deux cônes droits qui se conduiraient mutuellement par l’adhérence de leurs surfaces convexes comme les rouleaux cylindriques dans le cas de deux axes parallèles, c’est-à-dire qu’ils rouleraient l’un sur l’autre sans glissement, et que leurs vitesses angulaires seraient dans un rapport constant et égal au rapport inverse des rayons B, R, des bases de chacun des cônes.

En effet on a :

DF sin. DAF sin. DAF B G R, n

AD sin. AFD — sin. GAC GC H, m ’

Angles au sommet. On déduit facilement de ce qui précède la valeur des angles au sommet.

Soit 6 l’angle BAC des deux axes, E le 1;2 angle au sommet du cône AB, le rapport ci-dessus devient :

sin. K m

■ ; — = - , ou tang. K

sin. (fl— -K) n’ °

Lorsque l’angle 0 est droit :

tang. K = — .

1 88. Si la résistance excède la valeur du frottement de roulement, on ne peut employer comme organes de transmission le système de deux rouleaux coniques. On peut alors, toutefois pour de faibles résistances, encore employer un engrenage conique à frottement de roulement, construit d’après Jes principes que nous avons exposés en traitant des engrenages cylindriques.

Si l’on trace dans le plan tangent commun aux deux cônes une ligne quelconque, et qu’on enroule ce plan sur chacun de ceux-ci, les lignes tracées sur les cônes rouleront l'une sur l’autre dans le mouvement. La plus simple des lignes que l’on puisse prendre est la ligne droite, qui en s'enroulant autour de chaque cône, produit une spirale dont la projection est une spirale d’Archimède (? = a <■>).

Pour que ers courbes puissent se conduire, il faut les habiller , c’est-à-dire les mettre en saillie, de manière que ce soit par elles que le contact ait lieu. Pour cela on fait glisser le long de cette courbe une ligne, toujours semblablement disposée relativement à chaque élément de celle-ci. La surface héliçoïde que nous avons décrite à propos des roues cylindriques est une surface de ce genre.

Par de semblables surfaces répétées on formera les surfaces des dents de deux roues, se touchant suivant des points répartis sur les lignes de contact, déterminées comme nous venons de le dire; les deux axes seront conduits par contact immédiat et à frottement de roulement, par des engrenages de précision , c’est-à-dire pour lesquels le contact des dents n’a lieu qu’en un point.

189. Si les deux axes forment un angle droit, on peut employer le système représenté (îg. 178, qui ne comporte que des roues cylindriques.

Sur un des axes est monté une roue plute sur laquelle repose la jante d’une roue de faible épaisseur (autrement le glissement, la différence du mouvement entre les deux cercles de base de la roue serait sensible) montée sur l’autre axe.

Le mouvement de la première roue fera marcher la première, pourvu que la résistance à surmonter soit inférieure à la valeur du frottement du glissement au contact des deux surfaces.

2° Organes à contact Immédlnt et frottement de glissement.

190. Comme pour les engrenages plans, le problème à résoudre pour transmettre des efforts un peu considérables, est d’armer les cônes primitifs d'aspérités qui les fassent se mouvoir, comme s’ils se conduisaient par simple contact ; toute la différence de ce cas avec celui des axes parallèles, est que la surface des dents doit être conique au lieu d’étre cylindri- Fig. 179.

que. Telle est la disposition de l’engrenage conique ou roue d’angle que représente la lig. 179.

Les mêmes considérations et la môme solution générale des engrenages plans s’appliquent aux engrenages coniques, c’est-à-dire que s’étant donné la surface d’une dent d’un des cônes, la surface des dents de l'autre cône s’en déduira, et sera la surface enveloppe de la première.

Remarquons que les engrenages coniques seront très voisins des engrenages extérieurs si l’angle des plans qui les renferment est obtus, et des engrenages intérieurs, et par suite impossibles le plus souvent, si cet angle était aigu. Aussi l’angle droit est-il la limite inférieure adoptée dans la pratique et, sauf ce cas, l’on peut toujours, en prolongeant l’un des axes s’il est nécessaire, faire faire aux plans des roues un angle obtus.

Les solutions les plus simples seront toujours celles qui correspondront à l’engrenage à flancs et à l’engrenage à développantes. Passons ces deux cas en revue.

191. Engrenage à flancs. Le flanc étant un plan diamétral du cône, la dent conductrice sera une surface conique dont il faut déterminer la forme.

SoientSO, SO' (flg. 180) lesaxes des deux cônes qui doivent tour-

ner en se touchant toujours, suivant une arête SM. Soient MmN M m' N' les circonférences des cercles provenant de l’intersection des deux cônes , par des plans menés perpendiculairement par le point M à leurs axes respectifs.

Que sur le ra\ on MO' du cercle O' comme diamètre, on décrive

une circonférence 0", et que par son centre O" on élève une perpendiculaire sur son plan ; cette perpendiculaire rencontrera l’axe OS en un point Z.

Si l’on considère ce point Z comme le sommet commun de deux cônes ayant pour bases les deux cercles 0 et 0", et qu’on fasse rouler le deuxième cône ( Z 0" ) sur le premier ( z 0 ).

Un point de la circonférence 0" décrira une courbe à double courbure mm", appelée épiejeloide sphérique , parce qu’elle sc trouve sur la sphère sur laquelle se meut le cercle O" lui-méme, sphère ayant son centre en z.

Que par cette épicycloïde on fasse passer un cône qui ait le point S pour sommet ; ce cône sera la surface enveloppe d’un plan diamétral du cône SO', et devra par conséquent être pris pour la surface des dents du cône SO. Ce résultat parait évident d'après la similitude de la construction employée avec celle usitée pour les engrenages cylindriques; nous allons prouver au reste que toutes les conditions du problème sont satisfaites.

Soit mm" l’are d’épicycloïde sphérique décrit par le point m" du cercle 0", à partir du moment où il toucherait le cercle O en m, de telle sorte que l’on ait arc M m" — arc M m.

Prenons sur le cercle O’ l’arc M m' — arc M m, je dis que le plan SO'm' qui passe par le point ut", est tangent en ce point à l’épicyeloïde, d’où il suivra qu’il est tangent au cône qui a le point S pour sommet, et qui passe par l’cpicycloïde.

En effet la droite M m", passant par le centre de rotation instantanée M, est normale à l’épicycloïde en m". La droite 0 ' m" est perpendiculaire sur la droite M m", car l’angle M m" 0' de ces deux droites est inscrit dans la dcmi-icirconférencedu cercle 0".

La droite 0' S fait un angle droit avec la droite M m ", puisqu’elle est perpendiculaire au plan du cercle 0".

Donc le plan SO' m" passe par deux droites SO' et 0' m" perpendiculaires à la droite Mm", donc il est perpendiculaire à cette droite ; or cette droite est une normale à l’épicycloïde.

Donc le plan SO'm' est tangent à l’épicycloïde, et par suite à la surface conique, qui a son sommet en S et qui s'appuie sur l’épicycloïdc.

Il suit de là que si cette surface que je désigne par S E, est la dent du cône S O, cette dent poussera le plan diamétral S' O' *»' du cône SO', et le fera tourner autour de Taxe SO'.

Il reste à prouver que la rotation de ce plan diamétral et par conséquent du cône SO', est proportionnelle à la rotation du cône SO.

Cela résulte de ce que l’arc M »«' déterminé par la droite O' tn " sur la circonférence O est égal à l’arc M m.

En effet la circonférence O” ayant pour diamètre le rayon M O' de la circonférence O', ou a, comme nous l’avons déjà vu dans l’engrenage à flancs, arc M m' = arc M m". Donc arc M m' — arc M m. Or les rotations des deux cônes sont mesurées respectivement

arc Mm arc Mm' ...

par — - — et — — . Elles sont en raison inverse des rayons

R et R' des deux cercles O et O', et conséquemment en raison inverse des sinus des angles au sommet des deux cônes.

En effet le cône SE qui forme la dent du cône S O, touche le plan diamétral S O' m", c’est-à-dire le flanc du cône S O', suivant l’arête S m". Nous avons vu que la droite M m" est perpendiculaire au plan SO'/n". Il s’ensuit que le plan Sm"M est le plan normal commun au cône S E et au plan diamétral S O' m".

Donc le plan normal commun aux deux dents en contact, passe par l’arête de contact SM des deux cônes SO, SO'.

192. Engrenage conique à développantes. En transportant au cas qui nous occupe les raisonnements qui nous ont conduit à l’emploi des développantes pourle profil des engrenages cylindriques, on construira dans les mômes conditions un engrenage conique à développantes.

Étant donné l’angle de deux axes, OE, O F (fig. 181) se rencontrant au point O, imaginons autour de chacun d’eux une surface conique dont le sommet soit au point O et la base un petit cercle d’une sphère ayant ce même point pour centre; ces deux cônes seront re-

Fig. 481 .

présentés sur la figure par les triangles isocèles AOB, COI) ; prenons ees bases en raison inverse des vitesses « et u', de manière ù ce qu’elles satisfassent à la condition R« = RV.

La communication du mouvement serait évidemment établie dans les conditions voulues, en supposant le frottement suffisant, par un grand cercle de la sphère tangent aux deux bases, renfermé dans un plan tangent aux deux cènes.

Si maintenant on suppose que ce grand cercle s’enroule successivement sur chacun des cercles des bases des deux cônes, un point quelconque de ce grand cercle décrira sur la sphère deux courbes à double courbure dites développantes sphériques. Ces courbes, considérées comme dents sans épaisseur, seront propres à transmettre le mouvement aux deux cercles comme par enroulement et déroulement d’un grand cercle. Pour donner de l’épaisseur à ces dents, il suffit d’imaginer qu’un rayon de la sphère parcourt leur courbure et de prendre la longueur que l’on voudra de la surface conique ainsi engendrée. Le développement de ees surfaces a lieu en même temps que celui de leurs traces sur la sphère. Elles conviennent donc à la reproduction du mouvement pendant lequel elles sont engendrées, et la pression s’exerce normalement aux surfaces de contact et toujours à la même distance de l’axe ; en un mot, l’engrenage jouit de toutes les mêmes propriétés que l’engrenage cylindrique à développantes.

193 . Construction pratique des engrenages coniques. D’après ce qui précède, toutes les lignes qui entrent dans les engrenages coniques étant définies, ce n’est plus qu’une application des principes de la géométrie descriptive d’en déduire tous les panneaux et les tracés nécessaires pour la construction. Mais il est inutile d’entrer dans des détails étendus à cet égard, vu que, dans la pratique, ou a adopté une méthode simple et suffisamment exacte. Nous ne parlerons en l’exposant que de l’engrenage à flancs, mais tout ce que nous dirons peut s’appliquer également aux autres engrenages.

Nous avons décrit l’épicycloïde sphérique par laquelle passe la surface conique qui doit former les dents de la roue O. Dans la pratique, ce n’est pas par cette courbe même qu’on termine cette surface conique, car scs arêtes seraient d’inégale longueur (puisque

le centre du cône qui décrit l’épicyclolde n’est pas au point de rencontre des deux axes ; comme cela a lieu pour l'engrenage a développantes, la solution approchée que nous allons exposer est plus exacte dans ce cas). On termine cette surface conique par la courbe qui résulte de son intersection avec un deuxième cône ayant son sommet S, sur l’axe OS (fig. 182 ) et passant par le cercle O, le

point S, étant celui de la rencontre de l’axe S O avec la perpendiculaire à l’arête S M au point M. Pareillement pour le cône S O'.

Les deux cônes (S,) (S',) ont une arête commune, la droite S, M S', et un plan tangent commun suivant cette droite. Ils coupent respectivement les deux surfaces qui forment les dents des deux roues que j’appelle (S, E) (S', E'). Si on détermine les deux courbes d’intersection et qu’on développe les deux cônes S, S', sur leur plan tangent commun, passant par S, MS', les courbes d’intersection en question se développeront sur ce plan, et on obtiendra, en les relevant, les panneaux nécessaires pour la construction exacte des cônes (S E), (S E').

194. Ainsi que nous l’avons déjà dit, on remplace cette construction par une méthode plus simple qui donne une approximation suffisante.

i. iï

Dans le développement du cône S, la circonférence O (fig. 183) deviendra un arc de cercle de môme longueur que cette circonférence. La courbe provenant de l’intersection du cône S, par le cône épicycloïdal S E, si on la considère dans une faible étendue, sera dans le plan tangent au cône suivant l’aréte S, M.

Pareillement le cône (S',) développé donnera un arc de cercle égal à la circonférence O' ; la courbe provenant de l’intersection de ce cône (S' t ) par le cône (SE') qui forme la dent de la roue O', dans une petite longueur sera dans le même plan; il s’en suit que le tracé des parties qui traversent successivement la ligne de contact , doit se rapprocher extrêmement de celui de profils de dents qui appartiendraient à un engrenage plan construit sur ces deux arcs comme cercles primitifs.

C’est cet engrenage plan que l’on trace et applique ensuite sur les deux cônes (S,) (S' t ) pour former l’engrenage conique, dont le tracé se réduit ainsi à celui d’un engrenage plan sur les surfaces développées que la flexibilité du papier permet d’enrouler ensuite sur les cônes; enfin, pour achever la construction, il suffit de faire passer par la courbe tracée les arêtes se dirigeant vers le sommet du cône.

195. Frottement dans les engrenages coniques. Dans les engrenages coniques exécutés avec soin, on a toujours l’attention de faire les dents, et par suite le pas aussi petit que possible, de sorte que le mouvement et le glissement des dents l’une sur l’autre ont sensiblement lieu comme s’ils se passaient dans le plan tangent aux deux surfaces coniques et normalement à la longueur des dents.

11 suit de là qu’en conservant les mêmes notations que pour les engrenages plans, mais en les appliquant au développement des surfaces coniques, on aura encore [tour l’effort moyen, qui, exercé dans le plan tangent commun et perpendiculairement à la ligne des centres des cercles développés , produirait la même quantité de ti avait que le frottement de l’engreuage :

CIRCl'LAIRE CONTINU EX CIRCULAIRE CONTINU.

/Q ( ! rîr)î“ u/< - > Q+B L ')ï-

R et R' sont dans cette formule les rayons des cercles développés, Q l’effort ou la résistance qui s’oppose dans le plan tangent au mouvement de la roue conduite et a le pas de l’engrenage.

Si l’on voulait avoir la valeur du frottement exprimé eu éléments de l’engrenage conique, appelant p et p' les rayons des cercles de base, a et «' les demi-angles au sommet des deux cônes S,, S',, on aura : R cos « — p, R' cos. a' = p', et a -|- a' = I 80° — <?, S étant l’angle des plans des deux roues perpendiculaires aux deux axes. L’expression ci-dessus deviendra donc :

fn /cos. a. , cos. a.\ Il J y \~T~ + P' J 2 ’

L’expression entre parenthèses revient a :

/ COS. a

2 eos. « eos a' sin. ,J a sin. * u

pp p

et comme cos. 180° — — cos. t? = cos. «eos. a'-

siu. a sm. a .

que / étant la génératrice du contact, l sin. c#= p, l sin .«'=p' et que . sin. « sin. «■'

par suite — — — 0, I expression ei-dessus revient à :

Il 2 COS. J f a p' 1 * PP ’

donc enfin, comme p: p' :: ni n' et a = , l’expression de l’ef-

fort moyen qui produirait le môme travail que le frottement, en faisant entrer dans son expression le nombre de dents, peut se mettre sous la forme :

2 eos . o

n * nn

Le travail dù à cette force pendant que la roue décrit un arc *,

sera :