Soit A un axe vertical (fig

P un plan perpendiculaire à cet axe le coupant en un poüit o, traçons dans le plau P un cercle de rayon p ayant son centre en o.

Soit F un Cl enroulé sur ce cercle, et au point où le 01 se sépare du cercle, imaginons un anneau glissant sur ce cercle et qui permet à l’extrémité libre du fil de prendre diverses directions. Si l’on donne un mouvement de rotation autour de l’axe :

1 0 La partie libre du fil restant dans le plan P et tangente au cercle, un point de ce fil tracera une développante du cercle.

2° La partie libre du fil restant dans le plan P et coupant le rayon qui passe par le point d’attache sous un angle constant, un point du fil tracera une développante allongée du cercle qui a pour rayon la perpendiculaire abaissée du centre o, sur cette droite.

3" La partie libre du fil étant tendue le long de la génératrice d’un cône droit passant par le cercle , l’extrémité décrira une spirale dont la projection sur le plan P sera une spirale d'Arcbimède (p=au).

4° La partie libre du fil étant tendue le long de la génératrice d’un cylindre droit passant par le cercle, décrira une hélice cylindrique.

à° Enfin si la surface sur laquelle se meut le fil est engendrée par la révolution d’une ligne faisant avec la ligne A qu’elle ne rencontre pas un angle <?, la surface sera une hyperboloïde de révolution, et la ligne tracée par un point du fil appliqué le long d’une génératrice rectiligne, une développante hyperboloidique circulaire.

11 est évident que dans le cas des hyperboloïdes cette ligne ne pourrait plus être remplacée par une droite tracée dans un même plan tangent commun aux deux surfaces ( puisque pour une génératrice commune les deux plans tangents sont distincts j, le tracé des dents offrira par suite des difficultés, que l’on n'abordera guère dans lu pratique, surtout lorsque la solution indirecte par une roue

Fig. 187.

intermédiaire permet une facile solution du problème à l’aide des engrenages coniques. Toujours est-il que la solution est théoriquement possible dans ce cas comme dans les précédents, par l’adoption de formes convenables pour des dents qui peuvent se conduire en ne se touchant en chaque instant qu’en un point et sans frottement de glissement.

Organes agissant par contact immédiat et avec frottement de glissement.

202. Ce que nous venons de dire pour les engrenages à frottement de roulement est également vrai des engrenages à frottement de glissement. Jamais dans la pratique on n’emploie la solution directe, c’est-à-dire qu’on joint deux points des axes par une ligne qui devient un axe auxiliaire de rotation, qui reçoit le mouvement du premier axe à l'aide d’une roue conique et le transmet de la même manière au second.

Il est clair cependant que la solution théorique est possible et que le premier hyperboloide portant une dent d’une certaine forme, si le deuxième est muni d’une dent qui soit l’enveloppe de toutes les positions de la première, le mouvement aura lieu comme si les deux hyperbololdes se mouvaient ainsi que nous venons de le dire, c’est-à-dire que les vitesses de rotation des deux axes seraient dans le rapport voulu. Il n’y a nul intérêt à envisager ainsi le problème dans toute sa complication. M. Olivier a donné la solution de la question pour un système qui jouit de propriétés particulières importantes fondées sur celles des développantes. C’est le seul cas que nous examinerons et qui, du reste, nous montrera clairement comment il faudrait opérer dans le cas général.

Dans ce système, les dents de l’une des roues sont à développantes et ne diffèrent pas de celles d’un engrenage cylindrique, celles de l’autre roue sont formées d’une surface héliçoidc développable, et le contacta toujours lieu suivant une ligne droite.

203. Cherchons à donner idée du principe fondamental de la construction de ce système et à exposer les données desquelles , à l’aide des procédés de la géométrie descriptive, on peut déduire les tracés nécessaires à l’exécution.

De la propriété de l’engrenage plan à développantes, que le contact a toujours lieu sur la normale commune , qui est la tangente commune aux cercles qui portent les dents, il résulte que si on fait tourner une des roues autour de cette tangente, les deux engrenages mus avec la vitesse voulue se toucheront toujours par un point situé sur cette tangente commune (I). La première roue restant la même, cherchons les modifications qu'il faudrait faire subir aux dents de la seconde roue, quelle surface devrait être engendrée par des génératrices passant par une section faite au milieu de l’engrenage à développantes fournissant déjà un point de contact, pour que le contact eût lieu suivant une ligne droite.

Traçons l’engrenage plan comme à l’ordinaire , et dans un plan MM' (fig. 188) perpendiculaire au premier, traçons ON, trace du plan de la seconde roue après qu’elle a effectué une rotation autour de la tangente commune. Soient O, ci', o", les projections des points de contact successifs m, m! , ;n", ils se projetteront sur ON, en des points p, p', p”, obtenus en décrivant des arcs de cercle du point O comme centre avec les rayons O o',

O o". Si donc on prenait pour génératrices des surfaces des dents des deux roues les cordes p' d , p" d’, le contact aurait évidemment lieu suivant ces lignes qui pnsseut par les points des deux roues qui viennent successivement en contact. Ces lignes formant avec le plan de chaque roue un angle égal à la moitié du supplément de l’angle des deux plans, elles engendreraient deux surfaces développables hélicoïdales, puisque l’incli-

(1 ) M. Olivior a encore fondé sur cette remarque la construction d’ongrcnagos n développantes fort curieux. Puisque l’on peut faire tourner une des roues autour de la tangente commune, l’engrenage peut être oscillant, c’est-à-dire qu’on peut donner à une de» roues deux mouvements de rotation, l’une autour de son axe, l’autre autour de la droite de» contacts. Les contacts n’ayant lien que par un point, les roues doivent sc réduiro à des profils sans épaisseur, ou les dents de la roue oscillante être terminée» par une surface-canal.

naison de ces arêtes est constante, et que comme elles sont situées lors du contact dans le plan vertical PP', que leurs projections horizontales sont les normales aux développantes, leurs arêtes de rebroussement sont situées sur les surfaces des cylindres.

Mais , ainsi que nous l'avons dit , ce ne sont pas deux surfaces hélicoïdales qu’on emploie pour former les dents, on trouve bien plus avantageux de conserver à la première roue à développantes sa forme cylindrique et par suite d’une construction facile.

Dans ce cas, les projections des arêtes passant au point de contact deviennent o' r/, o" q". Les points //, p", appartenant à la seconde roue, ne peuvent plus alors venir en contact avec les génératrices des dents cylindriques de la première. Mais si on recule la roue C dans le prolongement de son rayon en C' (déplacement qui, dans le engrenages à développantes, n’influe en rien, comme on le sait, sur la forme des dents ni sur le point de contact toujours placé sur le point de rencontre du profil de la dent de la roue fixe avec la tangente commune), et qu’on détermine ce point C' en projetant le centre C sur MM', prolongeant jusqu’en C" et rabattant par un arc de cercle en C'; on voit facilement que les points </', q", deviennent alors les projections des points de contact p', p", de la seconde roue, et que le contact des dents aura lieu suivant ces arêtes, qui sout des droites ayant deux points communs o et q sur les deux roues, si on les prend pour génératrices des dents de la surface hélicoïdale de la seconde roue. Ces génératrices seront des droites inclinées sur le plan de cette roue d’un angle égal au complément de l’angle des deux plans, et formeront une surface hélicoïdale dont tous les éléments sont déterminés.

204. Pour rendre ceci plus clair, proposons-nous de construire « priori l’engrenage dont il s’agit.

Après avoir partagé la plus courte distance des deux axes qui ne se rencontrent pas, en raison inverse des vitesses à obtenir, traçons avec ces longueurs ou des longueurs proportionnelles, comme rayons, deux cercles, la question se réduit à transmettre le mouvement du premier au second, ou mieux aux cylindres ayant ces cercles pour base et des génératrices parallèles aux axes, avec la condition que les vitesses angulaires soient dans le rapport voulu.

Nous donnons aux dents de la roue menante pour profils des développantes de cercle ; les dents de la roue menée seront des portions de la surface développable formée par les tangentes à une certaine hélice tracée sur la surface cylindrique appartenant à cette deuxième roue.

Soient les deux cylindres construits comme nous venons de le dire, c’est-à-dire ainsi (fig. 190) : construire la plus courte distance entre les deux axes, et la diviser en deux parties O K, O' K inversement proportionnelles aux vitesses des axes ; prendre ces parties O K, O' K pour rayons des deux cylindres primitifs. Les deux génératrices des deux cylindres parallèles aux. deux Fl 8- * 89 -

axes passant au point K, détermineront un plan tangent aux deux cylindres. En effet, ce plan comprendra une génératrice de chacun des cylindres, chacune perpendiculaire aux parties de la plus courte distance qui sont les rayons des cercles de base des cylindres et qui seront par suite perpendiculaires à ce plan. Plaçons, pour simplifier, l’axe du premier cylindre vertical , et l’axe du deuxième incliné à l’horizon.

Dans le plan P menons une droite verticale, enroulons-la sur le deuxième cylindre de manière à former une hélice. Si l’on fait tourner ce cylindre autour de son axe, les différents points de l’hélice viendront se placer dans le plan vertical P, et les tangentes à l’hélice viendront aussi successivement se placer dans ce plan ; elles auront alors une direction verticale, car elles feront toutes le même angle avec les génératrices du cylindre, et cet angle est précisément égal à celui que la verticale que nous avons enroulée sur le cylindre fait avec son axe.

Toutes ces tangentes forment une surface développable qui a pour arête de rebroussement l’hélice.

Tout plan tangent à cette surface développable passe, comme on sait, par deux arêtes consécutives, c’est-à-dire par deux tangentes à l’hélice infiniment voisines ; c’est donc le plan osculateur de l’hélice au point commun aux deux tangentes (renfermant deux

éléments de la courbe). Ce plan passe par la normale abaissée de ce point de l’hélice sur l’axe du cylindre, ce que nous démontrerons plus loin. II s’ensuit que ce plan est perpendiculaire au plan tangent au cylindre mené par ce point de l’hélice (1).

D’après cela, le plan osculateur à l’hélice en un point m, situé dans le plan vertical P, est normal à ce plan, puisqu’il passe par la perpendiculaire abaissée du point m sur l’axe du cylindre, laquelle est perpendiculaire au plan P tangent au cylindre. D'une autre part, ce plan osculateur passe par la tangente à l’hélice au point »n, laquelle est verticale; ce plan est donc le plan vertical normal au plan P. Or, ce plan osculateur est le plan tangent à la surface hélicoïdale. Donc, dans le mouvement du cylindre autour de son axe, tous les pians tangents à la surface développable hélicoïdale viennent se placer perpendiculairement au plan vertical P, qu’ils coupent suivant des droites verticales.

Maintenant, supposons que le premier cylindre soit armé d’une dent dont le profil soit une développante de cercle qui lui sert de base, cette dent sera elle-même un cylindre vertical ; ce cylindre sera toujours normal au plan vertical P, parce qu’une développante de cercle est toujours normale à toute tangente au cercle. Donc, ce cylindre en tournant sera toujours tangent à la surface développable hélicoïdale, qu’il touchera suivant une de ses génératrices.

Ce cylindre poussera donc la surface hélicoïdale en s’appuyant sur elle dans toute l’étendue de sa génératrice , qui , au moment du contact , est dans une position verticale. Cette pression fera tourner le cylindre autour de son axe.

Après un mouvement infiniment petit, ce sera une autre arête de la surface hélicoïdale qui sera dans une position verticale et que le cylindre à base de développantes poussera.

Quand ce cylindre , qui forme une dent du premier cylindre, aura cessé de pousser la surface hélicoïdale qui forme une dent du deuxième cylindre, deux autres dents semblables commenceront à être en prise. De la sorte, la transmission du mouvement se

(1 ) Cette démonstration est empruntée au cours de machiues de 1 École Polytechnique, professé par M. Chasles (feuilles lithographiées).

fera d’une manière continue , comme dans les engrenages coniques.

205. Nous avons dit que le plan osculateur en un point d’une hélice tracée sur un cylindre circulaire passe par la perpendiculaire abaissée de ce point sur l’axe du cylindre. Voici la démonstration de cette proposition.

Le plan osculateur passe par deux tangentes infiniment voisines mt, mt' (fig. 190). Que l’on suppose que par le point m on ait mené des droites parallèles à toutes les tangentes à l’hélice, ces droites formeront un cône de révolution autour de l'aréte mk du cylindre. Le plan des deux tangentes mt, ml' sera tangent à ce cône.

Conséquemment, il sera perpendiculaire au plan qui contient la tangente m l et l’arête m k, car celui-ci sera le plan diamétral du cône ; or ce plan est tangent au cylindre. Donc le plan des deux tangentes mt, ml' , c’est-à-dire le plan oscillateur de l’hélice, est normal au plan tangent au cy lindre. Donc il passe par la normale à ce plan tangent , c’est-à-dire par la perpendiculaire abaissée du point m sur l’axe du cylindre.

206. La rotation du deuxième cylindre autour de son axe sera toujours dans un rapport constant avec la rotation du premier cylindre.

En effet (fig. 19l), soit LL la tangente commune aux bases des deux cylindres. Soient n, vl les points où la développante du cercle

Fig. 190.

qui forme la dent du premier cylindre rencontre cette droite LL dans deux positions successives ; un' égal à l’arc au', est propor-

tionncl à la rotation du premier cylindre. EE' étant l’aréte de contact du deuxième cylindre et du plan P, est rencontrée en m et m' par les perpendiculaires élevées n et »', E»t et E m', mesurent les distances de deux points de l’hélice, qui dans la rotation viennent se placer sur la droite EE', à la base circulaire du cylindre. Le segment mm 1 , différence de ces distances, est proportionnel à la rotation du second cylindre ; mais le segment n n! est proportionnel à m m'. Nous avons dit que ce dernier était proportionnel à la rotation du premier cylindre. Donc les rotations des deux cylindres sont entre elles dans un rapport constant.

207. On peut, dans ce système d’engrenages, construire des engrenages intérieurs et extérieurs. Ni les uns ni les autres ne sont évidemment à retour ; cela résulte clairement de la forme des dents hélicoïdales. Au reste, cette surface hélicoïdale ayant deux nappes formées par l’enroulement d’une droite autour d’un cylindre sous un angle constant (à droite et à gauche), il sera facile de construire un engrenage agissant dans un sens celui agissant en sens inverse étant déterminé, et de les assembler avec un même axe pour en obtenir le mouvement dans les deux sens.

La savante solution du problème des engrenages entre deux axes qui ne sont pas dans un même plan que nous venons d’expliquer, est due à M. Olivier. Elle n’a pas encore reçu d’applications pratiques importantes; on doit l’attribuer surtout à la difficulté de tracé, et aussi au frottement considérable qu’engendrerait, sur les collets des tourillons et sur les dents, l’inclinaison de la dent hélicoïdale.

20S. Frottement. On voit facilement que le travail du frottement ne sera plus calculable entièrement, comme pour les engrenages coniques; le chemin parcouru par le frottement sera différent. En effet, le point de contact se meut sur une surface héliçoïdale dont les génératrices font un angle 90 u — 3 (3 étant l’angle des plans des deux roues) avec le plan perpendiculaire au second axe. Le contact ne demeure plus sur une même tangente commune comme dans les engrenages coniques , il se déplace en outre sur un plan incliné qui est celui de la surface héliçoïdaie dont les éléments fout un angle 3 avec les génératrices du premier cy-

lindre. Le contact parcourt la face inclinée au lieu de la base d’un petit plan incliné; ou mm', lig. 191, si on compare ce qui se passe dans cet engrenage à ce qui a lieu dans un engrenage conique, où il parcourrait la ligne n n' ; il existe donc la relation entre la valeur du chemin parcouru l par le contact et la rotation a, l sin. 3 = a,

2 ttR

cette longueur pour un tour devient ■ Le travail du frotte-

sin.t?

ment sera sensiblement celui des engrenages coniques multiplié

par , ou

1 sin. S

sin. 3 étant toujours plus petit que 1 , cette valeur du frottement est toujours plus grande que pour les engrenages coniques;

pour 3 = 30° sin. 3 = t et — î— = 2.

^ sin. 3