AXE S A ANGLE DROIT

209. Vis sans fin. Dans le cas particulier où les deux axes qui ne se rencontrent pas forment un angle droit ou peu différent d’un droit, l’organe fréquemment employé est celui représenté par la fig. 192, représentant une roue dentée dont les dents sont des développantes de cercle engrenant avec une vis à filets rectangulaires. Les dents de la roue et les plans inclinés de la surface hélicoïdale servent à transmettre le mouvement d’un axe à l’autre ; en général c’est la vis qui conduit.

Je suppose que l’axe de la vis soit vertical , l’axe de la roue sera horizontal , et la roue , que nous supposerons un instant être un cercle ou disque sans épaisseur, sera dans un plan vertical , passant par l’axe de la vis.

Ce plan coupe la surface inférieure de la vis (flg. 193) suivant plusieurs de ses génératrices, c’est-à-dire suivant des droites fini

p' »«'... et le cylindre sur lequel sont les hélices extrêmes de la vis suivant une génératrice mm'.

Regardons cette droite mm' comme la directrice d’une crémaillère (système dont nous parlons plus loin), c’est-à-dire comme portant des flancs mp, m' p ... perpendiculaires à sa direction, et donnons à la roue des dents ayant pour profils des développantes de cercle.

Si l’on fait tourner la vis dans le sens indiqué par la flèche, ses génératrices telles que bn , Inférieures à cnn, viendront successivement sc placer dans le plan de la roue, et se trouveront en contact avec sa dent mm, ; elles exerceront donc sur cette dent une pression de haut en bas, qui fera tourner la roue.

Quand la dent mm, cessera d’étre en prise, d’autres dents fonctionneront ; de sorte que le mouvement continu de la vis produira un mouvement continu de la roue.

Si le premier est régulier, le deuxième le sera aussi; car l’arc parcouru par un point m, de la roue sera égal au segment intercepté sur la verticale m m' par deux positions de la roue mm,. Ce segment sera la distance, estimée verticalement, entre deux génératrices a m, b n de la vis ; or cette distance est proportionnelle à la rotation de la vis; donc la rotation de la roue sera elle-même proportionnelle à la rotation de la vis, ou

u' : u /i : 2>rR ,

h hauteur du pas de la vis R rayon de la roue ; pour un tour

, , , , 2wR

de la vis ou w = 1 , la roue aura tourne de — ■ ou d une division, car celle-ci est de longueur égale à celle du pas de la vis.

210. Nous avons supposé que la roue se réduisait à un simple cercle sans épaisseur; mais, dans la pratique, les dents devront avoir une certaine épaisseur, et leur face latérale, qui a pour base la développante du cercle de la roue, ne peut pas être normale au plan de la roue, à cause de l’inclinaison de la surface de la vis sous laquelle doit se loger la dent. Il faudra donner à cette face latérale une inclinaison semblable à celle de la surface de la vis lors du contact. De cette condition résulte, comme nous allons le voir, l’impossibilité de la réciprocité du système dans tous les cas de la pratique.

Supposons que la puissance soit une force P tangente à la circonférence du cylindre sur lequel est tracée l’hélice extrême, c’està-dire à la circonférence qui a a ni pour rayon; la résistance est une force Q qui s’exerce , suivant la génératrice du contact , en m de bas en haut. Si l’on fait abstraction du frottement, la relation entre la puissance et la résistance sera la même que sur le plan incliné, savoir P == Q tang. a , a étant l’angle que la tangente à l’hélice fait avec la direction de la force P.

211 . Quel que soit l’angle a, on pourra toujours, en augmentant la force P, faire fonctionner le système. Car on peut considérer la dent de la roue comme une petite surface K (ftg. 194) appliquée sur

la surface de la vis et poussée verticalement de bas en haut, et la vis

comme un plan peu incliné qui ne peut avancer qu’en faisant descendre cette pièce K qui la presse ; mais qu’avec une force suffisante, on fera toujours descendre.

Mais si l’on veut conduire la vis par la roue, il faudra que la force verticale Q qui presse la petite surface K sur la surface D E de la vis comme sur un plan incliné, soit capable de produire le glissement de cette surface sur ce plan malgré le frottement.

Or nous savons que la condition du glissement d’un corps sur un plan, c’est que la direction de la force qui doit le produire fasse avec la normale au plan un angle plus grand que celui du frottement. Sur la figure, l’angle que la verticale mQ fait avec la normale m N est égal à l’angle que la tangente à l’hélice, représentée par D E, fait avec l’horizontale m I.

il faut donc, pour que l’engrenage soit réciproque, c’est-à-dire pour que la roue puisse conduire la vis, que l’inclinaison de l'hélice sur le plan horizontal soit plus grande que l’angle de frottement ; ou en appelant / le cofücient de frottement que l’on ait tang. « >/.

Généralement l’inclinaison a n’est pas considérable, à cause de la relation P = Q tang. a qui permet de surmonter une résistance Q d’autant plus grande par une même puissance qu'on fait l’angle a plus petit. C’est pourquoi dans la plupart des engrenages à vis sans fin il n’y a pas réciprocité. Mais dans certaines machines qui n’ont pas de fortes résistances à vaincre, en prenant des inclinaisons de filet convenables il peut y avoir réciprocité, la roue peut conduire la vis.

Remarquons que deux roues à dents héliçoidales, engendrées par des droites également inclinées sur les génératrices de deux cylindres primitifs, pourraient aussi conduire deux axes à angle droit; la génératrice commune devrait alors être inclinée d’un demi-angle droit. L’engrenage à vis sans fin n’est qu’un cas particulier de la solution générale donnée pour deux axes qui ne se rencontrent pas.

212. Frottement dans l’engrenage de la vis sans fin. La vis et la roue dentée présentant en coupe un système identique avec la crémaillère (voir plus loin) , on peut prendre, comme dans ce

cas, pour effort moyen du frottement fQ — 2rR

fxQ

, puisque

• h pas de la vis. Le chemin parcouru par ce frotte-

ment pour une division n’est plus a mais / = , a étant l’an-

sin. «

"le de l'hélice avec son axe. Le travail pour une division devient /Q - i et pour un tour, en remplaçant a par 2» R, comme

Q X 2îtR = T r , égal à fnT, — — , quantité dont la valeur est

sin. b

d’autant plus grande que a est moindre, — — étant une quantité

sin. b

plus grande que 1 puisque sin. b est toujours plus petit que 1 .

On voit combien ce système est peu propre à transmettre de grandes forces, et qu’il s’y produit un frottement qui occasionne une perte de travail considérable.

213. Spirale. Au lieu d’employer le filet d'une vis, on peut, pour transmettre le mouvement entre deux axes faisant un angle droit, engager les dents d’une roue dans une rainure tracée sur un plateau (flg. 195), et telle que p = flu(p longueur du rayon vecteur, « angle décrit) ; c’est la spirale d’Archimède qui s’obtient facilement dans les arts, comme nous le verrons.

Les dents de la roue seront entraînées par les rainures dans le mouvement de rotation du plateau, et leur écartement sera déterminé par la condition que deux dents soient engagées en même temps dans la rainure ; le mouvement inverse ne saurait avoir lieu, car il ne se produirait qu’une pression sur l’axe de la spirale qui est situé dans le plan moyen de la roue.

La largeur de la rainure doit être assez grande pour donner passage aux dents de la roue sous leurs diverses inclinaisons, en remarquant qu’il doit y avoir au moins deux dents en prise. En prenant cette précaution, le mouvement peut conserver une régularité

Fig. 195.

suffisante mais non absolue, car pour un même mouvement angulaire de la spirale, le mouvement de la roue dentée varie suivant la partie de la spirale où la dent de la roue est engagée ; mais la vitesse moyenne peut être suffisamment régulière pour la pratique, et en un tour du plateau une dent aura avancé de l’intervalle qui sépare deux rainures ou d’une division de la roue.

Les faces de la spirale sur lesquelles agissent les dents doivent appartenir à une surface engendrée par une droite reposant sur un point de la spirale, et passant par le centre de la roue quand ce point de la spirale passe dans le plan moyen de celle-ci. Elles appartiendront donc à une surface réglée dont la spirale sera la directrice , et dont les génératrices seront inclinées proportionnellement à la distance au centre du point de la spirale par lequel elles passent. En formant les dents de la roue de surfaces coniques convexes ayant aussi le centre de la roue pour sommet, le contact de ces dents et des rainures pourra avoir lieu suivant une droite.

Il résulte clairement de ce qui précède que l’axe de la roue ne peut être rencontré par celui de la spirale, car le mouvement ne pourrait alors se produire, les dents de la roue étant en prise, agissant inversement des deux côtés de l’axe de la spirale.

Ce système, bien que d’une autre nature que la vis sans fin, en provient en ce que la spirale d’Archimède a quelque analogie avec l’hélice; elle est engendrée dans un plan comme celle-ci, relativement aux génératrices d’un cylindre, en ce que l’outil qui la trace avance d’une quantité constante pour une même rotation.

214. Emploi de la vis sans fin et de la spirale. La vis sans fin et la spirale jouissent toutes deux de la propriété de faire avancer d’une division seulement les dents de la roue pour un tour entier de la vis ou du plateau. Cette propriété les rend très propres à être utilisées dans les compteurs dont la construction repose sur l'emploi de systèmes qui permettent d’obtenir un très petit nombre de tours d’un axe pour un nombre très grand de tours d’un autre axe.

Nous devons noter ici une disposition ingénieuse adoptée par M. Saladin de Mulhouse pour simplifier la construction de ces

compteurs, et qui consiste à employer une roue servant à la fois comme roue dentée d’un système et comme vis sans fin, ou comme plateau portant une spirale d’un autre système.

Dans le premier cas, il donne à la roue dentée une certaine épaisseur, puis entaille les dents dans le sens de l’épaisseur suivant des rainures hélicoïdales, ce qui lui permet d’agir en un point comme roue dentée et en un autre comme vis sans fin. Dans le second , c’est le plat de la roue dentée qui est plan et porte la spirale.

On voit qu’une roue de 50 dents, par exemple, avançant d’une division pour un tour d’un arbre portant une vis sans fin, ou faisant tour pour 50 du premier, agira de même sur la roue dentée d'un troisième axe. Si cette roue porte encore 50 dents, son axe ne tournera que d’un tour pour 50 tours de la première roue dentée ou de de 50 x 50 = 2500 tours du premier axe dont il s’agit d’enregistrer les révolutions.

Engrenage» taillé» par une vl* et »on éeron.

215. Nous terminerons la théorie des engrenages par l’indication d’un curieux sy stème auquel l’étude de leur théorie générale a conduit M. Olivier.

Nous avons vu en étudiant les courbes qui peuvent former les profils des dents des engrenages, qu’elles devaient être pour deux dents agissant l’une sur l’autre enveloppe et enveloppée, et que de plus ces deux courbes pouvaient être considérées comme engendrées toutes deux par le roulement d’une même courbe sur les circonférences primitives.

Or ce que nous avons dit en considérant les engrenages comme réduits à des surfaces planes sans épaisseur, est également vrai, lorsqu’on passe au cas de la pratique, que l'on considère des surfaces au lieu de considérer des lignes.

C’est au reste ce qui se conçoit à priori dans le eas général en posant le problème dans toute sa généralité, comme nous allons le faire d’après M. Olivier.

216 . Concevons deux axes A et A, placés arbitrairement, dans

l’espace l’un par rapport à l’autre (11g. 196) (l). Ayant construit les cercles primitifs C et C„ imaginons un plan Q de position arbitraire dans l’espace, mais passant par le point x commun aux deux cercles, et traçons dans ce plan Q un cercle D, passant par ce même point x, mais ayant pour centre un point quelconque b du

Fig. i96.

plan Q; imaginons enfin un axe B passant par le centre b du cercle D, et perpendiculaire au plan Q de ce cercle.

Cela fait, enroulons un fil sur le cercle C du point / jusqu’au point x , puis sur le cercle D du point x au point K.

Enroulons un second fil sur le cercle C, du point /, jusqu’au point x , puis sur le cercle D du point x au point K.

Il est évident que si je fais tourner le cercle D autour de son axe B dans le sens indiqué par la flèche a„ les axes A et A, tourneront sur eux-mêmes avec les vitesses convenables v et rouleront l’un sur l’autre en tournant, le premier dans le sens indiqué par la flèche a, et le second dans le sens indiqué par la flèche a,. Et ces cercles rouleront directement l’un sur l’autre, s’ils ont même tangente au point x, et rouleront angulaircment l’un sur l’autre, s’ils ont en ce point x des tangentes différentes.

Cela posé, concevons une surface ï fixée d’une manière invariable au cercle D, et concevons qu’à l’axe A soit fixée une masse de matière M, et qu’aussi se trouve fixée à l’axe A, une masse de

(I) Cette théorie est extraite de l’ouvrago de M. Olivier, Théorie géométrique de J enyrenarjet.

matière M,. Pendant que le cercle D tonmera autour de son axe B, les masses M et M, tourneront autour des axes A et A,, le rapport de leurs vitesses angulaires étant constant et égal à — ; en

même temps que la surface s se mouvra dans l’espace, entraînée qu’elle est par le cercle D.

Et si l’on considère la surface 2 comme un outil, cet outil 2 fera successivement son logement, soit dans la masse M, soit dans la masse M, ; ces logements successifs que l’on obtiendra en faisant mouvoir le cercle D formeront une surface <t> fixée à l’axe A, et une surface 4 >, fixée à l'axe A,, et ces deux surfaces enveloppes, qui évidemment auront l’une et l’autre la surface 2 pour enveloppée commune, seront telles, que supprimant le cercle D et la surface 2, elles se conduiront uniformément.

La surface 2 se met à chaque instant du mouvement en contact avec la surface <t>, par une caractéristique Ç, et cette surface 2 se met aussi à chaque iustant du mouvement en contact avec la surface *, par une caractéristique Ç, ; en général les courbes Ç et Ç, seront des lignes différentes et distinctes, et comme elles sont toutes deux tracées sur la surface 2 , en général elles se couperont en un point; par conséquent, d’après ce mode de construction, on peut dire que les dents de l’engrenage ne se toucheront que par un point.

Ces engrenages sont dits de précision , et l’on voit qu’ils deviennent de force, dans le cas particulier qui n’est autre que le mode de solution employé jusqu’ici, lorsque l’on suppose que le cercle D se confond avec l’un des cercles C ou C,.

De cette théorie tout à fait générale, nous pouvons descendre aux cas particuliers, car la surface 2 pouvant être une surface quelconque ; on peut prendre pour surface 2 un plan et dès lors comme l’enveloppe de l’espace parcouru par un plan est toujours une surface développable, les deux surfaces * et *, seront développables, et dès lors d’une construction plus facile dans la pratique.

Le plan Q, sur lequel est tracé le cercle D, peut faire avec le plan du cercle C, un angle arbitraire a' et en même temps la trace de ce plan Q sur le plan du cercle C peut faire avec le rayon ox de

ce cercle C un angle arbitraire 6 ; on peut donner à chacun des angles a et ë suivant que l’on considère l’un des trois cas, axes parallèles, axes qui se coupent, axes non situés dans un même plan, une valeur particulière et telle qu’elle amène des simplifications dans la construction pratique de l’engrenage.

On peut en dire autant du cercle D, car on peut prendre son centre b partout où l’on veut sur le plan Q, on pourra donc lui donner une position particulière et telle qu’elle permette avec plus de simplicité Vépure qui doit servir à construire le relief.

On peut aussi tracer le cercle D avec un rayon plus ou moins grand, le rayon du cercle D peut même être infini, et dès lors ce cercle devient une ligne droite L (fig. 197) passant par le point x, et

pouvant avoir dans l’espace une position arbitraire par rapport aux axes A et A,. C’est ce que nous supposerons dans ce qui va suivre.

217. De l’exécution mécanique d'un nouveau genre d'engrenage. Nous allons voir comment la considération d’une surface, qui par ses deux enveloppées détermine les formes des dents, va nous permettre de construire un genre tout nouveau d’engrenage auquel il eût été bien difficile d’arriver par toute autre considération. Étant donnés, l’axe A et l’axe A, leur plus courte distance l, et la droite L faisant un angle a avec l’axe A, concevons qu’une surface ; , s’étant mue parallèlement à elle-même le long de la droite L, ait pris les positions 2 2 ' 2 " 2 ” équidistantes entre elles ; la distance entre deux positions étant mesurée parallèlement à la droite L et égale à une quantité h.

Le cercle C de rayon p aura sa circonférence Inp égale à m h , et nous supposerons que h soit tel que m se trouve un nombre entier.

Cela posé, chaque surface z z' l" l"’ engendrera une surface enveloppe <t> *' *" * ", dans le mouvement déjà décrit, et l’on aura ainsi m surfaces enveloppes placées sur le contour du cercle C et angulairement équidistantes.

Le cercle C, , du rayon p,, aura sa circonférence 2 w p, , égale à nh, et n sera un nombre entier, en admettant que p V

- — — soit un nombre commensurable.

Cela posé , chaque surface z z' z" z" engendrera de même une surface enveloppe ■*», «*•,", et l’on aura ainsi » surfaces enve-

loppes placées sur le pourtour du cercle C„ et anguluirement équitantes.

Et si nous admettons que le système étant en repos, les couples de surfaces <f> et 4>' et <j>,', 4» et 4>", se trouvent en contact, il s’ensuivra qu’en faisant mouvoir les axes A et A,, avec les vitesses respectives V et Vi les surfaces * et * et +" et se conduiront uniformément en restant en contact pendant un trajet plus ou moins long, et que lorsque * et 4>, se quitteront (immédiatement après , ou un peu après , ou un peu avant , suivant la longueur du trajet pendant lequel 4> et 4>, peuvent être en contact), les surfaces ♦' et 4>,' se mettront en contact et ainsi de suite.

On voit évidemment que nous obtenons ainsi un véritable engrenage composé de deux roues dentées et dans lequel les deux axes ne sont pas situés dans le même plan.

Il s’agit de réaliser ces conceptions théoriques.

Pour cela il faut remarquer que si nous engendrons la surface <J> au moyen d’un outil Y terminé par la face convexe de la surface z ( supposée jusqu’ici sans épaisseur ) , nous devrons engendrer la surface <t>, au moyen d’un outil V,, terminé par la face concave de z, en d’autres termes, l’outil V sera l’épreuve dont l’outil V, sera la contre-épreuve , ou l’outil V sera le relief dont l’outil V, sera le creux.

La vis et l’écrou de cette vis nous offrent dans les arts les

circulaire continu en circulaire continu. 219

ueuls outils dans lesquels ees deux surfaces se rencontrent ; la vis triangulaire notamment va nous fournir une solution facile.

Nous placerons l’axe de la vis V dans la direction de la droite L , et cette vis V taillera sur le pourtour de la rondelle les diverses surfaces <t> 4>' 4>" Ensuite nous placerons l’axe de l’écrou dans la direction de la droite L, et cet écrou V , taillera sur le pourtour de la rondelle cylindrique C, les diverses surfaces 4-,

218. En effet une vis se trouve composée d’un certain nombre de spires équidistantes entre elles; de plus, nous savons par la pratique des arts , qu’une vis triangulaire, transformée en un outil propre à tailler, dit taraud , au moyen d’entailles faites sur les surfaces supérieures et inférieures de chaque filet, taille parfaitement une rondelle métallique; c’est par ce moyen que l’on construit l’engrenage à vis sans fin.

De plus , on sait que pour que la vis puisse tailler la rondelle, il n’est pas nécessaire que l’axe A de la rondelle et l’axe de la vis soient à angle droit; ces deux axes peuvent faire entre eux un angle aigu. Seulement il faudrait , par l’expérience, déterminer la limite de l’angle aigu sous lequel la vis peut encore tailler avec facilité, car il est clair que lorsque l’axe de la vis est parallèle à l’axe A de la rondelle, celle-ci ne peut plus être taillée par la vis.

219. Voyons maintenant à nous servir de l’écrou de la vis pour dentcr la rondelle.

Si le diamètre de C, est plus grand que le diamètre de l’écrou, il faudra évider la rondelle C, et lui donner la forme d’un anneau ; ensuite envelopper cet anneau par l’écrou , et en pressant l’écrou contre la surface extérieure de cet anneau , on parviendra à tailler et denter cette surface extérieure.

Il faudra ensuite monter l’anneau sur l’axe A pour former la roue C,. Cette opération auxiliaire est évidemment inutile si le diamètre de la rondelle est plus petit que le diamètre intérieur de l’écrou. Le rayon de la rondelle C, devra être égal à p, », 2 np, étant égal à n h, n étant le nombre de dents que la roue C, doit porter, h le pas du filet de l’écrou, et 2 i la profondeur de ce filet.

220. L’exécution mécanique de cette idée constituera une machine nouvelle et destinée à tailler un engrenage; l’une des roues

étant dentée an moyen de vis triangulaire, l’autre roue étant dentée au moyen de l’écrou de cette vis.

Évidemment l’exécution d’une telle machine est possible (1).

Examinons maintenant comment on devra mettre en présence les roues C et C, , taillées et dentées nu moyen de cette machine, pour former un engrenage.

L’axe de la vis pourra faire avec A de la rondelle à tailler C un angle arbitraire a. Cet angle une fois choisi, l’axe de l’écrou devra faire avec l’axe A, de la rondelle à dent C, un angle égal à (a — 6), € étant l’angle que les deux axes A et A, doivent faire entre eux.

Ainsi les deux axes devant être parallèles, l’angle S sera nul, et l’axe de l’écrou devra faire avec l’axe A, le même angle a que l’axe de la vis fait avec l’axe A.

On pourra donc construire un engrenage extérieur composé de deux roues dentées et aptes à transmettre le mouvement de rotation entre deux axes parallèles, ou entre deux axes faisant entre eux un angle 6, lequel pourra varier de 0 à 90°.

On voit aussi qu’ayant construit une roue dentée C, on pourra disposer autour de cette roue une suite de pignons C, C, C„ de rayons différents, ou, en d’autres termes, portant un nombre différent de dents; ainsi C, un nombre m , , C, un nombre tn„ C, un nombre m„ et tel que leurs axes A„ A, A, ne soient pas situés dans un même plan avec l’axe A de la roue centrale C, et telles encore que les axes A et A, faisant un angle 6, ; A et A, un angle 6, ; A et A, un angle C„ les angles 6, 6. 6, étant égaux ou inégaux.

221. Nous obtenons donc ainsi un engrenage dans lequel une roue dentée C pourra conduire en même temps une roue dentée conique C„ une roue dentée cylindrique C„ et une roue dentée hyperboloïdique C, , car tout ce que nous avons dit est indépendant des positions particulières des axes, est tout à fait général. Dans ce système : 1° l’axe A, de la roue conique C, pourra couper l’axe A de la roue C, sous un angle variable et en un point variable ; 2° l’axe A, de la roue cylindrique C, ne pourra pas être plus

(1) On pont voir cette machine an Conservatoire des Arts et Métiers, pour lequel M. Olivier l’a fait exécuter d'après cos principes.

ou moins éloigné ou rapproché de l'axe A de la roue C; mais 3° l’axe Aj de la roue hyperboloidique C 5 pourra être plus ou moins rapproché ou éloigné de l’axe A de la roue C, et pourra faire avec cet axe un angle variable ; cela a lieu parce que dans le premier et troisième cas, on peut faire tourner la roue C, ou la roue C» autour de l’axe de l’écrou ou de l’axe de la vis dont on s’est servi pour tailler cette roue C,, puisque la forme des dents, qui ne dépend que du rayon du cercle primitif et de la forme de la vis, ne sera en rien changée par cette rotation.

On doit ajouter que les variations qui peuvent avoir lieu : 1° Quant à l’amplitude des angles que ces axes peuvent faire entre eux, et 2° quant à la grandeur de la plus courte distance qui peut exister entre ces mêmes axes ne peuvent avoir lieu qu’entre certaines limites ; mais quelques restreintes que ces limites puissent être, suivant les cas particuliers, les variations permises offriront toujours, dans \& pratique, une grande facilité pour la pose des axes et la disposition des mécanismes.

Remarquons encore que ces engrenages sont à retour. En effet, le filet de vis étant terminé par deux surfaces, si nous désignons la nappe supérieure par s et la nappe inférieure par 2, les diverses spires s z'z" donneront naissance, sur la rondelle, aux surfaces enveloppes +, et les spires 2 1 2 " aux surfaces enveloppes n n' n". Comme il en sera de même de la roue dentée au moyen de l’écrou, suivant le sens du mouvement, ce seront les surfaces 4>, +', V ou les surfaces n, n', 11 " qui agiront, mais toujours dans les conditions voulues.

222. Engrenage intérieur. A première vue, il semblerait que l’engrenage intérieur doit être construit par les mêmes procédés mécaniques que ceux au moyen desquels l’engrenage extérieur a été obtenu, et qu’ainsi, il suffira de denter la surface intérieure de l’anneau au moyen de l’écrou, ainsi qu’on avait denté sa surface extérieure lorsqu’on voulait obtenir l’engrenage extérieur.

Mais avec un peu de réflexion, on voit que dans ce cas , l’écrou ne pourrait tailler des dents ; car à mesure qu’il travaillerait et qu’on l’enfoncerait dans l’anneau, il détruirait le travail précédent, et, en définitive, on n’obtiendrait qu’une surface cylindrique con-

cave et non pas une suite de dents. Un exemple très simple peut faire concevoir qu’il doit en effet en être ainsi.

Supposons que l’on veuille construire en relief deux surfaces cylindriques, l’une convexe et l’autre concave. On pourra toujours considérer la surface convexe comme l’enveloppe d’un outil plan, d’une largeur arbitraire ; mais la surface concave ne pourra être considérée que comme l’enveloppe d’un outil plan, d’une largeur infiniment petite, en d’autres termes, que comme engendrée par une ligne droite. De sorte que si, par hasard, la surface concave ne peut pas être engendrée mécaniquement par une ligne droite, et que l’on ne puisse employer comme outil qu’un plan d’une largeur donnée, il faudra, pour obtenir cette surface concave, construire la surface convexe et prendre la contre-épreuve de cette surface pour obtenir la surface concave demandée.

Tel est, en effet, le moyen qu’il faudra employer pour obtenir l’engrenage intérieur destiné à transmettre le mouvement de rotation entre deux axes non situés dans le même plan, du moment qu’on veut employer comme outils une vis triangulaire et son écrou.

11 est évident que si l’écrou ou la vis, en travaillant la surface intérieure d’un anneau, pouvaient denter cette surface, la forme de la surface de la dent obtenue serait la face concave de la surface

ou 4>, dont on obtient la surface convexe en dentant la surface extérieure du même anneau au moyen de l’écrou ou de la vis.

On devra donc, pour construire l’engrenage intérieur, employer l’un des procédés suivants :

1° Denter la surface extérieure de la petite roue intérieure C au moyen de la vis ; puis denter la surface extérieure de la roue C, au moyen de l'écrou, tout comme si l’on voulait exécuter un engrenage extérieur ; et enfin prendre la contre-épreuve, C 9 de la roue C, ; retourner sens dessus dessous la roue C, et la présenter à la roue C;

2“ Ou denter la surface extérieure de la petite roue intérieure C au moyen de l’écrou ; puis denter la surface extérieure de la roue C, au moyen de la vis ; prendre la contre-épreuve C, de la roue C, ; etoumer sens dessus dessous la roue C, et la présenter à la roue C.

Ce retournement est évidemment nécessaire, puisque la surface

des dents prend naissance autour d’une roue dentée, obtenue en faisant tourner de 180° la roue intérieure autour de l’axe de la vis (c’est à cela que revient la construction indiquée). 11 faudra donc répéter en sens inverse cette opération en retournant la roue.

223. Si après avoir denté une roue C au moyen d’une vis V, on suppose que la vis V tourne sur son axe B, elle entraînera la roue dentée C et la forcera à tourner autour de son axe A, on aura alors un engrenage à vis sans fin ; les angles des deux axes pourront différer d’un angle droit.

224. Du frottement dans cet engrenage. Les dents sont, comme nous l’avons dit, toujours en contact par un point dans le système d’engrenage qui vient d’étre décrit. Ce sont donc des engrenages de précision et non de force, se touchant par une ligne.

Le frottement développé par le travail de l’engrenage sera un frottement de glissement angulaire, lorsque les axes A et A, ne seront pas situés dans un même plan, et feront entre eux un angle 6 plus ou moins aigu, et un frottement de glissement direct, lorsque les axes A et A, seront parallèles ou se couperont sous un angle 6 aigu ou droit ; en d’autres termes, lorsque ces deux axes seront situés dans le même plan.

Le frottement ne sera pas de roulement, car les conditions pour que le frottement soit de cette nature ne sont pas satisfaites.

Organes agissant à l’aide d’intermédiaires flexibles.

225. Les courroies servent à transmettre le mouvement, dans un rapport de vitesse constant entre deux axes disposés d’une manière quelconque dans l’espace. Nous avons vu la disposition qui convenait dans le cas de deux axes parallèles ; elle conviendrait évidemment encore, dans le cas d’une disposition quelconque des axes , si les courroies pouvaient passer du plan d’une poulie perpendiculaire à l’un des axes à celui d’une deuxième poulie disposée semblablement pour l’autre axe sans échapper, quand l’obliquité de la traction devient sensible, de la gorge des poulies. C’est ce qu’on empêche, grâce à la flexibilité des courroies, à l’aide de poulies-guides, employées accessoirement à celles montées sur les axes de rotation, et qui permettent à la courroie d’exercer son

action sur la poulie dans le plan de celle-ci, et, par suite, sans tendre à l’abandonner.

226. Ainsi une courroie exerçant son action suivant la ligne A J (fig. 198), si l’on veut que cette action se continue suivant une ligne Bÿ, disposée d’une manière quelconque dans l’espace, par rapport à A/; il suffira de joindre deux points / et g, et dans les deux plans A/g, Bgf de placer aux points f et g deux poulies-guides. Il est clair que la courroie, suivant la direction A/jrB transmettra son action de A/ en B g; les deux brins sortant de chaque poulie seront toujours dans le plan de celleci, et, par suite, ne tendront nullement à l’abandonner. Fig. 198.

Il est, d’après cela, toujours facile de transmettre, à l’aide d’une courroie sans fin, le mouvement entre deux axes disposés d’une manière quelconque dans l’espace.

Adaptons perpendiculairement à chacun des deux axes deux cercles (fig. 1 99), dont les rayons soient dans le rapport donné des vitesses. Soit cd laligned’in- C tersection des plans de ces deux cercles ; prenez sur cette ligne deux points c et d, et de chacun de ces points , menez une tangente à chaque poulie. L’ensemble ^ ecgdhdf indiquera la disposition qu’on devra donner à une courroie sans fin, qui n’éprouvera que des tractions toujours exercées dans le plan des poulies, pourvu qu’on place en c et en d deux poulies-guides, l’une dans le plan d /h, l’autre dans le plan egc.

Il est clair encore qu’en prenant pour une des poulies les tangentes menées des deux points c et d , autres que celles indiquées sur la figure, on changerait le sens du mouvement de l’axe correspondant.

CIRCULAIRE CONTINU EN CIRCULAIRE CONTINU. 223 Intermediaires rigides.

227. Nous avons vu que la bielle ne pouvait servir à transmettre < des rotations dans un rapport de vitesse constant, qu’autant qu’elle reste toujours parallèle à la ligne des centres, c’est-à-dire que les bras des manivelles soient égaux et les axes parallèles. Nous allons bientôt rencontrer la bielle appliquée à transmettre le mouvement circulaire continu entre des axes non parallèles , et vérifierons encore que le rapport des vitesses est alors variable conformément à ec que nous avons déjà vu.

tfet$jcic*ne aeclion. — Rapport de» vltc»«e»

variable.

Organes agissant par contact immédiat et à frottement de roulement.

228. Pour que deux courbes situées dans un plan perpendiculaire aux deux axes, se touchant en un point, et tracées en raison de la loi de variation des vitesses angulaires, puissent rouler l'une sur l’autre sans glissement et par suite fournir la solution du problème proposé, il faut, comme nous l’avons vu eu traitant de la poussée de deux courbes qui se conduisent (art. 1 1 9) :

Que les deux rayons vecteurs, menés des deux centres de rotation au point de contact, se confondent en chaque instant avec la ligne des centres.

Cette condition, qui revient à dire que les deux rayons vecteurs au point de contact soient constamment en ligne droite, ne peut être satisfaite qu’autant que chacun d’eux fait avec la tangente, en chaque élément qui vient en contact,, un même angle ; car, au contact, la normale étant commune fait un même angle avec les rayons vecteurs puisque ceux-ci sont en ligne droite, il en est donc de même des deux tangentes qui se confondent alors avec la tangente commune.

Euler a indiqué une courbe qui satisfait à cette condition, la spirale logarithmique dans laquelle le rayon vecteur en un point, i. 1 .7