LIVRE DtXXIKHE
fait toujours le même angle avec la tangente en ce point (I). Ainsi on peut distinguer trois cas :
Si la tangente fait un angle droit avec les rayons vecteurs, on a deux circonférences et on rapport de vitesses constant; cas déjà» examiné.
Si la tangente fait un angle constant, différent d’un droit, avec les rayons vecteurs, on obtient deux spirales logarithmiques égales (fig. 200), dont la tangente fera toujours cet angle constant F 'g- 200.
avec la ligne des centres. Ces deux courbes non fermées ne pourraient servir que pour une petite longueur.
(1) Voici comment Euler établit d'une manière générale, d’après la considération ci-dessus, les relations entre deux conrbes satisfaisant à la question :
Supposons que la fig. 201 représente nue paire quelconque de conrbes de roulement , et toit r = > P la distance du point de contact au centre de rotation t de la première courbe et ( = a i P l’angle de r avec le rayon fixe sa.
Soient de même PII = r <( AP H = 8, les quantités correspondantes pour la seconde courbe, c étant la distance i II des deux centres ; puisque r et r, doivent être en ligne droite, on a :
r + r, = c, d'où d r = — dr,.
D’ailleurs, les longueurs des courbes AP, a P qui ont été en contact à partir d’une position antérieure étant égales ; ut comme chaque élément de oourbe est exprime par :
vé,j r s-|-r*d8 et v / dr,*-f-r l l d# 1 *, on “ : / v'dr’ -f-r’da 1 = / ^dr,‘ + r ( > d8,*,
comme dr = — dr,, l’égalité ci-dessus donne rd6 = r,d8, = (c — r) d8,.
rd8
On arrive encore à cette relation en remarquant que comme — — - est la tan-
or
gentc de l’angle qui fait la première courbe avec r, et — ^ condc courbe avec r , , et que ces angles sont les mêmes, on a
l'angle de la scrd8 r, d 8,
ou rd 8 =s r, rf 0 , , comme ci-dessus.
De là on déduit : qu'une courbe étant donnée par son équation entre r et 8, l’autre est déterminée par les équations :
r, = c — r et 8, =
intégration qui pourra toujours s’effectuer, lorsque les relations entre r et 0, 1 équation de courbe donnée, sera linéaire.
Enfin généralement si la tangente fait un angle variable, mais le même pour les deux courbes, avec les rayons vecteurs qui se mettent en ligne droite au point de contact , on aura des courbes qui se conduiront sans glissement.
On satisfait à cette condition en employant deux ellipses égales, mais tournant chacune autour d’un foyer différent. En effet, soient
Fig. 201.
s, H, les deux centres de rotation (fig. 201), et P le point de contact sur cette ligne, Tl la tangente en ce point. Menons la ligne SP=sP faisant un angle / P S = / P s = 11 P T ; il est évident que si des deux points S et H, comme foyers, et avec la longueur constante SP H on trace une ellipse;
Que des points s et A (ce dernier obtenu en prolongeant S P, et prenant PA = P H, d’où s A = SH) on trace une seconde ellipse égale à la première ;
Ces deux ellipses égales , qui se touchent en des points placés symétriquement, pourront rouler l’une sur l’autre sans glissement; car la tangente à l’ellipse fait toujours des angles égaux avec les rayons vecteurs menés de ses deux foyers au point de contact, ce qui est précisément la condition a laquelle il s'agit de satisfaire
là.
lorsque, comme nous l’obtenons par la construction précédente, le rayon vecteur de la seconde ellipse est égal à celui mené au point de contact du second foyer de la première et symétriquement placé. Théoriquement donc, deux ellipses égales peuvent se mener par contact et en n’engendrant qu’un frottement de roulement.
Mais il faut remarquer, qu’outre qu’il est presque impossible dans la pratique d’exécuter deux ellipses identiques, la pression au point de contact s’exerçant suivant des inclinaisons variables, l’adhérence est également variable. De plus, après un demi-tour, cette inclinaison change de telle sorte, que l'ellipse menante s’éloignant de l’autre, il faudrait qu'il y eût entre leurs surfaces une adhérence attractive pour que le mouvement pût continuer. Nous supposerons qu’il en est ainsi pour poursuivre ces considérations géométriques, et verrons plus loin comment ces difficultés sont surmontées dans la pratique.
229 . Jl apport des vitesses. Comme nous l’avons vu (art. 1 27 ), les vitesses angulaires de deux courbes roulant l’une sur l’autre, sont en chaque instant en raison inverse des longueurs interceptées sur la ligne des centres , entre ces centres et le point de rencontre de la normale commune aux deux courbes au point de contact. Il est clair que a et b étant les longueurs AH, AS du grand axe , la longueur maximum interceptée sur la ligne des centres sera a et la longueur minimum b , longueurs qui se mettront en ligne droite lorsque le contact aura lieu suivant les extrémités des grands axes. Le maximum du rapport
des vitesses angulaires A, A, sera donc -p = et le mini-
-. Le rapport du maximum au minimum, ou la va-
riation totale possible sera donc - = — .
Le rapport de la vitesse angulaire de l’axe conduit à celle de l’axe conducteur passe donc par un maximum et un minimum pour revenir au point de départ.
Mais si ce rapport devait atteindre plusieurs maxima dans une
seule rotation, le système de deux ellipses deviendrait insuffisant. On peut résoudre alors le problème par des courbes qui ont une certaine analogie avec l’ellipse dont nous allons les déduire, et qui doivent porter un nombre de saillies égal à celui des maxima.
