COURBES A PLUSIEURS SAILLIES OU A PLUSIEURS VENTRES

230. Soit à construire une courbe à deux saillies. Construisons une ellipse dont le grand axe soit égal à la distance des centres (nous verrons plus loin comment), et divisons les deux angles droits autour d’un des foyers en un certain nombre de parties égales, six

Fig. 202. Fig. 203.

par exemple (flg. 202). Traçons maintenant un angle droit et divisons-le en six parties égales. Sur chacune des lignes de division portons des longueurs d 1 , d 2, d 3.... égales aux rayons vecteurs de correspondants de l’ellipse, c’est-à-dire à e 1, c2, e3...., nous déterminerons tant de points que nous voudrons d’une courbe (flg. 203).

Répétant cette construction symétriquement dans les quatre angles droits contigus, on aura une courbe fermée à deux ventres qui pourra mener une semblable courbe par roulement, en faisant% naître deux maxima et deux minima dans le rapport des vitesses ; ces deux courbes étant disposées de telle sorte que le rayon correspondant ilek, dans l’une, se mette en ligne droite avec le rayon correspondant à el de l’autre.

En effet, si l’on compare la rotation de ces deux courbes à celle des deux ellipses qui ont fourni les rayons vecteurs, on voit que les mêmes rayons vecteurs arriveront en même temps sur la ligne des centres, par suite se toucheront et se mettront en ligne droite comme s’il s’agissait de deux ellipses, en décrivant seulement des

angles moitié de ceux qui seraient décrits dans ce cas, et que pour un rayon vecteur de la courbe qui mène, le rayon vecteur.de la courbe menée sera de la longueur correspondante à celui de la seconde ellipse pour un même angle; donc, enfin, il n’y aura pas de glissement, puisque la condition de l’art. 119 sera satisfaite, et les courbes se conduiront par roulement.

231. La construction que nous venons de décrire peut évidemment s’appliquer à une courbe d’un nombre quelconque de saillies ; donnons pour exemple la construction de celles à trois et à quatre saillies

Pour construire la courbe à trois saillies (fig. 204), on décrit autour du centre un cercle qu’on divise en six secteurs égaux, chacun devant correspondre à la moitié d’une saillie. On le divise en autant de parties que la demi-ellipse Q, et on mène les rayons sur lesquels on prend des longueurs égales aux rayons correspondants de la demi-ellipse, comme il est indiqué par les mêmes lettres sur les deux figures. Par ces points on fait passer une courbe qui est le contour de la demi-saillie, qui répétée six fois forme la courbe à trois saillies.

On trace la courbe à quatre saillies en divisant le cercle tracé

Fig. 204. Fig. 205.

(fig. 205) autour du centre de rotation en huit parties, chacune correspondant à la moitié d’une saillie ; on transporte, de la même manière que dans le cas précédent, les longueurs des rayons vec-

teurs de l’ellipse sur les rayons de la demi-saillie de la courbe à quatre saillies pour obtenir le tracé de celle-ci, et par suite le tracé de la courbe.

Une paire de courbes semblables se conduisent par roulement ; il en serait ainsi pour des courbes pareillement construites d’un nombre quelconque de saillies.

232. Nous avons dit que ces courbes avaient une certaine analogie avec l’ellipse, par suite du mode de construction ; il est facile de voir qu’elles constituent une famille de courbes dont l’ellipse est un cas particulier.

En effet, quand on considère l’équation de l’ellipse en coor-

donnés polaires, on sait que cette équation est p = — .

r ’ 1 H r l-fecos.w

Notre construction revient à remplacer dans les courbes à m

ventres (fig. 200), pour une même valeur de p, l’angle w de l’ellipse

par un angle w = — ; l’angle du rayon

vecteur de ces courbes est égal à celui de l’ellipse divisé par m , ou Fig. 206. »=mu'; l’équation générale de ces

eourbes est donc :

e l +ecos. »iw’ m étant le nombre des saillies.