U«7esses. Le rapport des vitesses maxima et minime

est — dans tous les cas, comme pour deux ellipses; il suffit pour

le voir de chercher la valeur de ce rapport lorsque le contact a lieu au milieu d’un ventre d’une courbe et à l’extrémité d’une saillie de l’autre courbe, ou inversement. Si donc ce rapport est donné, comme on a d’ailleurs a~\~b — l distance des centres, il sera facile de déduire de ces deux équations la valeur de a et b, c’est-à-dire la position des foyers de l'ellipse sur le grand axe. Cette ellipse sera comme on sait complètement déterminée puisqu'on connaîtra la position des foyers et la longueur du grand axe l = a -|- 6, c’est-à-dire la somme constante des deux rayons vecteurs menés

des deux foyers à un point quelconque de l’ellipse. La construction s’achèvera donc sans difficulté.

Organes agissant par contact immédiat, généralement à frottement de glissement.

234. Les courbes elliptiques que nous venons d’étudier, étant assimilées aux circonférences primitives roulant l’une sur l’autre que nous avons considérées dans le cas des engrenages, on résoudra le problème de transmettre sûrement le mouvement dans le même rapport de vitesse que si ces courbes roulaient l’une sur l’autre, en les armant de dents engrenant les unes avec les autres.

Les dents devront être également espacées , pour que des longueurs égales des ellipses primitives passent au point de contact. Quant à leurs formes, elles se détermineront par les principes déjà posés. Un point d’une courbe quelconque roulant intérieurement sur une des courbes primitives, et extérieurement sur l’autre, engendrera des profils de dents qui se mèneront avec frottement de glissement, mais conduiront les axes absolument dans les mêmes rapports de vitesse que si les deux courbes roulaient l’une sur l’autre.

De même, si, dans le plan tangent aux deux cylindres ayant pour base les deux courbes elliptiques, on trace une ligne, une droite pariexemple, inclinée sur les génératrices ; qu’on enroule ce même plan autour des deux cylindres, il est évident que, pendant le roulement de ceux-ci, les divers points des lignes tracées sur les deux cylindres viendront successivement en contact. Si donc on met ces deux courbes en saillie, et qu’on munisse les deux cylindres elliptiques de dents qui se touchent suivant ces courbes, le mouvement sera communiqué dans les conditions voulues et seulement avec un frottement de roulement. Il n’y a pas lieu à revenir ici sur des considérations déjà présentées et qui n'offrent aucun intérêt dans la pratique.

Comme nous l’avons dit, deux ellipses ne peuvent pas se mener par simple contact; ainsi, dans la fig. 20 1 , la courbe supérieure marchant de droite à gauche, quand le point m aura coïncidé avec M, le rayon vecteur de l’ellipse motrice tendant à diminuer, le mouvement ne peut plus être communiqué par simple pression ;

circulaire continu en circulaire continu. 233

il faut alors nécessairemment armer de dents la moitié du contour des deux ellipses comme le représente la fig. 207. Le mouvement est ainsi maintenu jusqu’à ce que a ait atteint A, ensuite la position des deux rouleaux rend les dents inutiles. Toutefois, comme il peut y avoir glissement dans la pratique, et qu’alors la reprise des dents n’aurait plus lieu dans les rapports de position voulue, on fixe quel-

quefois la position respective des deux roues au moment de l’engrènement, à l’aide du système représenté fig. 208. Une cheville p est fixée à l’une des roues et une fourche n à l’autre, et la prise des dents ne commence que lorsque la cheville est parvenue exactement au fond de la fourche, c’est-à-dire, lorsque les deux roues sont dans des positions convenables. Cette condition à remplir suffit évidemment pour déterminer la position de la fourche et indiquer la forme qu’elle doit avoir.

235. La difficulté d’obtenir une paire de courbes de roulement elliptiques est quelquefois évitée par le système représenté fig. 209. A est une roue elliptique tournant autour de son centre B, et dont le contour est garni de dents; C est un pignon circulaire garni de dents semblables à celles de la roue.

Le centre de ce pignon n'est pas fixe, mais porté par un levier qui tourne autour du centre D. Quand A tourne, le levier s’élève avec le pignon qui tourne avec la vitesse correspondante à la longueur du rayon qui passe

au point de contact. Pour que les dents restent toujours dans la position la plus convenable pour leur action, la roue A porte une plaque qui lui est attachée, et l’axe de C passe dans une rainure d e pratiquée dans cette plaque. Cette rainure est distante de l’ellipse primitive de la roue elliptique d’une longueur égale à celle du rayon primitif du pignon, mesurée sur la normale en chaque point. Quand donc la roue A tourne , la rainure se meut aussi ; les dents de la roue et du pignon restent toujours en prise.

Soit R le rayon de C, r le rayon de A au point de contact, w,u' les vitesses angulaires des deux axes, y l’angle de R et r au point de contact, on a :

Vitesse angulaire de A u R

Vitesse angulaire de C «' r '

car r « = R J cos. y ; puisque lors de chaque rotation instantanée les longueurs qui passent au point de contact sont égales, tant celle . de la rotation autour du centre fixe que celle du pignon, dont le centre est mobile et dont l’arc décrit du centre considéré comme fixe, doit être projeté sur le premier arc.

Comme le centre de C fait des oscillations, il est nécessaire, en général, de communiquer le mouvement à un axe fixe ; pour cela, la roue E étant fixée au pignon C, on fait engrener celle-ci avec une seconde roue F, concentrique au levier. Lorsque A tourne, la rotation de C est communiquée par la roue E à la roue F, et c’est dans le mouvement de celle-ci que se combinent les oscillations du levier et la rotation du pignon qui lui communiquent exactement le mouvement de la roue elliptique.

236. A une roue elliptique est substituée quelquefois une roue ordinaire (fig. 210) se mouvant autour d’un point différent de son centre; on maintient à l’aide d’une barre le centre de A à la distance convenable du centre C, comme dans l’exemple précédent le pignon C par rapport au centre D. Cette combinaison, formée exclusivement de roues ordinaires, est une des plus simples pour varier le rapport des vitesses angulaires.

237. Hauts de Roémer. Ces roues avaient été proposées par l’astronome Roémer pour varier le mouvement dans les machines planétaires.

An, B b (fig. 211 ) sont deux axes parallèles dont l’inférieur est garai d’une roue conique, portant comme â l’ordinaire des flancs dans toute sa hauteur. A l’opposé un cône D est fixé à l’axe An et son sommet d est à l’opposé de celui du premier cône ; il est déterminé par la rencontre de l’axe A a et d’une génératrice du cône C. Plaçant sur ce cône des chevilles à différentes distances du sommet d, on obtiendra les rapports de vitesse que l’on voudra entre R r

les limites — et —, R et r étant les rayons des deux faces de D, r, r, R,

et R, ceux des faces de C. Le premier est obtenu en plaçant des chevilles faisant fonctions des dents sur le bord de la face la plus large de D, le second sur le bord de celle du moindre rayon. Dans des positions intermédiaires on obtiendra des rapports de vitesses intermédiaires.

238. Secteurs dentés. Si, au lieu de varier d’une manière continue, les vitesses des deux axes devaient être dans des rapports différents dans partie de leur rotation, on pourrait employer, à cet effet, la combinaison d'engrenages représentée figure 212. Deux roues sont entaillées dans une partie de leur circonférence et remplacées par des segments d’autres roues montées sur les mêmes arbres, dont les rayons sont en raison inverse des nouvelles vitesses qu’il s’agit d’obtenir.

Fig. 212.

Le grand défaut de semblables systèmes, comprenant des secteurs d’un plus ou moins grand nombre de roues, réside dans la difficulté du passage d'une roue à l’autre. L’action des dents des

diverses roues ne peut se succéder instantanément sans qu’il y ait choc et destruction des dents, les vitesses ne correspondant plus, au moment du changement, aux nouvelles circonférences primitives.

Le cas le plus remarquable de variation instantanée de rapport de vitesse et celui qui trouve le plus d'application, est celui du mouvement intermittent, lorsque la roue menée passe alternativement du repos au mouvement, et vice versâ.

On obtient cet effet à l’aide de deux roues dentées ordinaires (iig. 213), en enlevant à la roue menante un certain nombre de

Fig. 213.

dents comme le montre la figure. En proportionnant les longueurs des aros garnis de dents à celles des arcs qui n’en sont pas munis, on obtient toutes les intermittences voulues de la deuxième roue pour une révolution de la roue menante.

Ces systèmes de dents espacées ont un inconvénient analogue à celui dont nous avons déjà parlé (art. 234). L’axe conduit ne s’arrêtant pas instantanément, les dents de la roue B (fig. 2 1 4) peuvent

ne pas se trouver en prise avec celles de la roue A au moment voulu.

On peut employer alors une fourche et une cheville (comme article 234) pour assurer la reprise des dents toujours au même point.

La meilleure disposition de ce genre est celle représentée dans la figure 215. La partie m n de la seconde roue est formée par un arc de cercle décrit du centre de la roue menante, et la circon-

férence de celle-ci est formée d’un cylindre auquel les dents sont intérieures dans la partie dentée q n. La partie tnn rencontrant le cylindre ne peut tourner jusqu’au moment précis où les dents peuvent se mettre en contact. Cet.effet est produit par une cheville adaptée à la roue menante qui rencontre, au moment convenable, une partie saillante appartenant à la roue conduite; disposition qui offre l’avantage de vaincre l’inertie avant que les dents n’entrent en contact.

Organe* nglxxant à l’aide d’intermédiaire* flexible*.

239. Si l’on fait passer autour des courbes elliptiques que nous avons déterminées une courroie sans lin, elle conduira les deux axes dans les mêmes rapports de vitesse que si les deux courbes se menaient par roulement.

Il faut remarquer que, la ligure formée par la courroie ne restant pas toujours la même, il faut que sa longueur soit suffisante et qu’un rouleau de tension pouvant se mouvoir, assure la possibilité de toutes les figures en même temps qu’une adhérence suffisante.

Pour les courbes à plusieurs ventres, il faudrait, de plus, que la courroie fut astreinte à quitter successivement et sans soubresauts les divers points de la courbe, et notamment les parties rentrantes, ce qu’il serait difficile d’obtenir simplement. De semblables systèmes ne sont pas employés dans la pratique.

En général, ce genre de communication de mouvement ne sert que pour obtenir un grand nombre de révolutions d un axe pour un tour de l’autre axe, comme dans le système ci-après.

A est la poulie motrice (flg. 216) dont le contour est disposé pour recevoir une corde sans fin. Il en est de même de la poulie conduite C.

Une poulie mobile D . portant un poids ou un rouleau de tension déterminant toujours une tension suffisante, le mouvement sera transmis entre les deux axes sans glissement , mais dans des rapports de vitesse variables. En effet, abaissant des deux centres A et C les perpendiculaires kp, Cÿ sur la direction de la courroie; le mouvement produit en chaque instant est le même que si p<] était une bielle. On a donc (art. 180).

Vitesse angulaire de A Cç Vitesse angulaire de C kp

240. On obtiendra tous les rapports voulus de vitesse angulaire de deux arbres par des formes de poulies convenables, en faisant varier les perpendiculaires Ap, Cç, suivant la loi donnée. Telle est la disposition employée dans les montres, et connue sous le nom de fusée.

Un des axes porte un tronc de cône entaillé en spirale sur toute sa hauteur, l’autre, parallèle au premier, un cylindre (fig. 218). Une chaiue qui est enroulée en partie sur chacune des surfaces, est fixée par une de ses extrémités à chacune d’elles. La chaîne enroulée sur le cône se déroulant de celui-ci pour s’enrouler sur le cylindre, produira un mouvement dont la vitesse angulaire variera eu raison du tracé des spirales.

Fig. 217. Fig. 218.

On peut de même employer deux fusées coniques, au lieu d’une fusée etd’uu cylindre comme fig. 217.

Organe» agissant à l’aide d’intermédiaires rigides.

241. Une bielle servant à la communication du mouvement entre deux axes parallèles, engendre un mouvement dans un rapport de vitesse variable avec le mouvement initial ; sauf le cas où la bielle est dans le plan des deux bras de levier, égaux et adaptés rectangulairement à l’extrémitc des deux axes, cas déjà examiné qui nous a donné le mouvement circulaire continu dans un rapport de vitesse constant.

En effet, soient AB, CP (fig. 219) deux axes parallèles placés bout à bout, AP et CQ deux leviers reliés par une bielle PQ, montés à l’extrémité des deux axes. Am et C» étant les perpendiculaires menées du centre du mouvement sur la bielle, on aura (art. 180) :

Vitesse angulaire de AP Cm

Vitesse angulaire de CQ À»’

rapport variable en chaque instant.

242. Dans un système de ce genre, la rotation continue de l’un des bras peut communiquer au second bras, soit un mouvement circulaire continu, soit un mouvement alternatif que nous étudierons plus loin. L’un ou l’autre de ces mouvements prend nais-

sance suivant les proportions des quatre côtés de la ligure formée par la distance des centres, la bielle et les manivelles.

Soient A, B les deux centres de rotation (flg. 220), PQ la bielle ; en géné- A ral, pour que AP complète une révolution, il faut que l'on ait à la fois :

Fig. 220.

AB -fBQ > PQ -(- AP Et AB — BQ > PQ — AP.

Car si AP avance vers AB, les deux pièces AP, P Q doivent se placer en ligne droite au moment où le point Q atteint sa plus grande distance de A, avant que l’inclinaison de ces lignes ne change de sens. Or cette droite est impossible, à moins que l’on n’ait AP 4~ PQ < AB -J - BQ valeur maximum possible,

et semblablement, lorsque AP a tourné de manière à amener Q à sa plus petite distance de A, les lignes AP, PQ forment une droite passant par A, et cette droite n’est possible qu’autant que l’on a : PQ — AP < AB — BQ.

Si ces quantités sont égales le mouvement circulaire peut se continuer à plus forte raison ; c’est le cas déjà étudié.

243. Si au lieu de réunir les deux extrémités de la bielle, on rendait leur assemblage mobile, on aurait un système analogue au précédent, dans lequel le rapport des vitesses pourrait être astreint à suivre une loi donnée, mais dans lequel le frottement de glissement serait trop grand pour que cet organe puisse ïtre adopté pour la transmission de forces un peu considérables.

Ce mode simple d’obtenir une variation de rapport de vitesse angulaire , pour des rotations qui se continuent indéfiniment dans la même direction, consiste dans l’emploi d’une cheville et d’une rainure adaptées à deux manivelles.

Soient Aa, liô (flg.22l), deux axes parallèles en direction, mais dont les extrémités sont opposées l’une à l’autre.

A a porte un bras portant une cheville d, qui entre dans une longue rainure traversant un coude semblable, un bras adapté à

l’extrémité de B b. Quand l’un des axes tourne il communique sa rotation à l’autre, et le rapport des vitesses change sans cesse avec le changement de la distance de la cheville d ù l’axe B b.

Soit C le centre de rotation du bras à cheville (flg. 222), K le centre de rotation du bras à rainure, P la cheville, R le rayon constant du cercle que la cheville décrit autour de C, r le rayon du cercle K ; P se mouvant d’un petit angle de P en p, traçons p m perpendiculaire à P K.

Pp *

La vitesse angulaire de la cheville ïïc "r

La vitesse angulaire de la rainure ? m co ’- cl>K ’

car prn = Vp cos. CPK.

Si donc C P tourne d’une vitesse uniforme, la vitesse de P K varie cos.CPK

comme . Si CK est petit, on peut poser cos. CPK — l,

alors les centres de mouvement étant proches , le rapport des r

vitesses se trouve = — .

Posons PCD = 0, PKD — B, CK=E, on a :

, Rsin. 0

R sin. 0= (Rcos. 0 — E) tang. B ou tung. B =

v ' ° R cos. 0 — E

d’où l’on pourra déduire la valeur de C P K correspondant à une position déterminée de C P.

En altérant la direction de la rainure, ou la faisant courbe, on obtient d’autres rapports de vitesse qui varient évidemment avec la forme de la rainure.

244. La transmission dn mouvement entre deux axes non parallèles offre des difficultés plus grandes dans la pratique, lorsque le rapport des vitesses est variable suivant une loi donnée que lorsqu’il est constant. Déjà, dans ce cas, nous avons vu qu’on était obligé d’abandonner plusieurs des solutions théoriques, à cause de la difficulté de leur application. A plus forte raison dans le cas qui nous occupe en sera-t-il ainsi, et trouvera-t-on avantage à substituer à la solution directe, celle obtenue à l’aide d’un organe intermédiaire, en ramenant le problème à la communication du mouvement entre deux axes parallèles à l’aide d’une roue d’angle; ainsi nous n’aurons pas à nous étendre beaucoup sur le cas actuel.

Organes agissant par contact Immédiat.

245. 1° Axes gui se rencontrent. Si l’on trace, dans deux plans perpendiculaires aux deux axes, deux ellipses se touchant en un point et ayant les axes pour centres, qui se mèneraient par roulement suivant le rapport de vitesse voulu; que de plus, on décrive les deux cônes ayant pour base ces deux ellipses, et pour sommet le point de rencontre des axes; ces deux cônes, en se conduisant par roulement, feront mouvoir les deux axes dans les rapports de vitesse voulus. Si on veut les armer de dents, il faudra opérer d’après les principes établis en traitant des roues coniques à base circulaire qui s’appliqueront également à ce cas ; mais l’on voit que la complication du problème devient trop grande pour la pratique.

246. Nous rapporterons une ingénieuse disposition imaginée par Huyghens, pour résoudre un des cas de la question que nous traitons, celui où les deux axes se rencontrent à angle droit.

AB est un arbre à l’extrémité duquel est fixée une roue dentée F (flg. 223), dont le centre de mouvement B n’est pas au centre de la circonférence. Un long pignon D est adapté à l’axe C D qui fait un angle droit avec

l’axe A B. On voit que le rayon p du pignon est constant et que celui r de la roue varie pour les divers points de la circonférence, depuis sa moindre longueur r jusqu’à une longueur maximum r e, e étant la valeur de l'excentrieité ; il en résulte que le rap- P P

port des vitesses varie de - à — 7 — .

Dans la machine de Huyghens, c’est le pignon qui conduit et se meut uniformément. On pourrait de mémo faire partir le mouvement de la roue et aussi varier encore les rapports de vitesse en lui donnant une autre forme qu’une circonférence de cercle.

217. 2 ° Axes qui ne se rencontrent pas. On peut résoudre le problème dans toute sa généralité en raisonnant comme précédemment. En effet, divisons la plus courte distance des deux axes en deux parties qui soient deux rayons vecteurs de deux ellipses tracées chacune dans un plan perpendiculaire à chacun des axes, et telles que si elles roulaient nngulairement, les deux nxes tourneraient dans les rapports des vitesses angulaires voulues. Menons, comme nous l’avons vu, la droite, qui est le lieu des points dont les distances aux deux axes sont dans le même rapport que celui des deux parties en lesquelles la plus courte distance a été divisée ; cette droite se mouvant en faisant toujours le même angle, avec le plan perpendiculaire sur chaque axe et avec cet axe, en suivant chaque ellipse, engendrera deux hyperboloïdes qui pourront se mener par contact, et qui auront toujours une génératrice commune, passant par le point de contact situé sur la plus courte distance.

En raisonnant de même, on verrait que la forme des dents peut se déduire des principes posés, mais avec une trop grande difficulté pour la pratique.

248. La vis sans fin, dans le cas où les axes sont à angle droit, fournit un moyen de varier le rapport des vitesses angulaires de la vis et de la roue ; il suffit pour cela de faire varier l’inclinaison des filets de la vis (fig. 218). Le rapport des vitesses angulaires de la roue de rayon R et de la vis