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A fi f

sera : — = - = - tang. 6 (6 étant l’angle de l’inclinaison de

A i 2 ïïI\ n

l’hélice sur les génératrices du cylindre, dont le rayon est r et h le pas, d’où À = 2 n r tang. 6) ; si donc on donne à la vis deux inclinaisons, comme sur la figure, il y aura deux vitesses.

Il est clair que le contact ne peut plus avoir lieu dans ce cas suivant des éléments plans. Il faudra former les dcDts des roues de solides de révolution ayant leurs axes rayonnant au centre de la roue ; de la sorte le contact pourra encore avoir lieu suivant une génératrice.

Organea aglaaaat par Intermédiaires.

249. Flexibles. i° Courroies . Les courroies pouvant servir à transmettre le mouvement dans toutes les directions, pourvu qu’on les maintienne par des poulies-guides, comme nous avons vu art. 226, toute la question se réduit à munir les axes de poulies de forme convenable pour que les axes soient dans le rapport de vitesse voulue, ce qui ramène la question à celle que nous avons examinée art. 239.

250. Bigides. 2® Articulations. L’emploi des articulations fournit la solution la plus remarquable du problème qui nous occupe. Nous voulons parler du système appelé Joint de Cardan ou de Hooke, ou encore Joint universel.

Le joint universel est un mode d’assemblage de deux axes qui se rencontrent, qui permet la transmission du mouvement de rotation de l’un à l’autre ; il Jouit de cette importante propriété de transmettre ce mouvement quand l’angle des deux axes vient & changer, même pendant la durée du mouvement.

La flg. 225 représente le joint brisé. Pour en concevoir le Jeu, il faut remarquer que quand le mouvement de rotation est imprimé à l’arbre A a, cet arbre entraîne avec lui la fourche ACc qui le termine, ainsi que le croisillon Ce, dont les branches ont la faculté de tourner sur leurs tourillons respectifs placés aux extrémités de la fourche AC c; le système qui réunit l'axe B b au croisillon Ce est semblable. Mais, comme les quatre parties du croisillon sont solidaires, ne forment qu’une seule pièce, il est évident que celles

qui servent de support aux branches de la fourche fixée à l’axe B b, tournent et impriment à cet axe un mouvement de rotation pour tout mouvement de l’axe A a.

La propriété que nous avons indiqué appartenir à ce système de transmettre le mouvement de rotation, quand même l’angle des axes vient à varier, résulte bien clairement de la disposition que nous venons de décrire. En effet, un des axes peut s’incliner autour de l’autre que l’on peut toujours considérer comme fixe, par la double rotation possible autour des tourillons , c’est-à-dire autour de deux axes rectangulaires entre eux , ce qui permet d’obtenir toute inclinaison; de la possibilité de produire ces deux mouvements à angle droit, résulte la propriété énoncée.

Les deux axes étant réunis par ce système et tournant ensemble, si la vitesse de l’axe moteur, de A a par exemple, est uniforme, quelle sera la vitesse de l’autre axe? Le nombre de tours en un certain intervalle de temps est bien le même pour les deux axes , puisque après chaque tour les choses se trouvent dans la même place ; mais quelles sont les variations de vitesse dans chaque tour?

c’est ce que nous allons examiner.

Les fourches décrivent deux cercles perpendiculaires aux axes. Si nous supposons menés les plans de ces cercles (flg. 226) CD, cd , ils se couperont Fig. 226. suivant un diamètre commun passant

par le centre du croisillon, et feront entre eux un angle I, supplément de celui des deux axes auxquels ils sont perpendiculaires.

Considérons le mouvement à partir du diamètre commun aux deux cercles, et supposous-y placée la fourche qui termine l’axe A a.

L’axe A a tournant d’un angle «, les extrémités de la fourche A Ce, dont la largucur est 2 R, parcourront un chemin Ru; tout le croisillon parcourra cet angle. Mais dans le plan parcouru par les extrémités de B b, le chemin décrit par la fourche dont la largeur est 2 R', ne sera que la projection de eet angle, ou de la rotation absolue Ru, c’est-à-dire cette longueur multipliée par le cosinus des deux plans.

En effet, supposons construit le cylindre engendré par des génératrices parallèles à l’axe A a et passant par le cercle déerit par la fourche que porte A a, le plan du cercle décrit par la pièce que porte B b le coupera suivant une ellipse, et les mouvements angulaires du cylindre seront mesurés sur ce cercle pour l’axe A a, et sur cette ellipse pour l’axe B b, à partir du diamètre commun.

Le plan tangent au cylindre, évidemment tangent en même temps au cercle et à l’ellipse dont nous venons de parler, sera coupé par les deux plans CD, cd suivant deux tangentes à ces courbes, on aura entre les parties de ces tangentes comprises entre les mêmes plans passant par l’axe A a et par les deux positions extrêmes du diamètre qui tourne de R», plans qui comprendront également pour l’axe B 6, puisque le croisillon est d’une seule pièce, le point de départ et le point extrême du diamètre commun, la relation : tang. « = tang. w' cos. I [t] ,

relation qui persiste évidemment, quel que soit le point à partir duquel on compte les angles, puisque toute rotation peut être regardée comme une différence de deux rotations comptées à partir du diamètre commun.

Le rayon R' de l’ellipse variera du grand au petit axe, celui-ci étant déterminé par le diamètre commun du cylindre, et l’autre tel

que R = R' cos. I ou de R à —5—. Pour des valeurs de w et »'

cos. I

très petites remplaçant les tangentes par les arcs, la relation cidessus devient R»=tR’»' cos. 1 [2] , ce qui pour R' = R donne

«' = — ■ , et pour R' cos. I = R, = w. Il faut remarquer que

si ia vitesse croît d’un côté du diamètre commun , U faut qu’elle décroisse de l’autre , puisque les tours des deux axes se font en des temps égaux. En effet, si c’était l’axe B qui avait la vitesse

uniforme, on aurait pour maximum u =

par l’effet de la

cos. I

liaison des axes , donc réciproquement « cos. I sera une limite de u étant la vitesse régulière. On doit donc conclure que «'

variera de w cos. I à et qu’un tour ayant toujours lieu en

même temps pour chaque axe, la vitesse de l’axe conduit est tantôt grande, tantôt plus petite que celle de l’autre axe.

D’après l’expression approchée ci-dessus [2] :

—'-(’-ïrêrï)

on/

expression qui devient nulle pour 1=0 et cos. 1=1; car par construction 2 R' = 2 R, les deux fourches sont égales.

Si l’angle I des deux axes approche de 90°, la rotation d’un axe tend à tordre les tourillons et nullement à faire tourner la croix, l’appareil ne peut plus servir. Bien avant cette limite, quand l’angle n’est pas bien supérieur à 90”, les frottements et les torsions qui se produisent dans cet appareil le rendent défectueux pour transmettre de grands efforts.

251. Au moyen de deux joints (figure 227), on peut toujours communiquer le mouvement entre deux axes disposés l’un par rapport à l’autre d’une manière quelconque et avec une grande variété de vitesses du mouvement, à l’aide d’un axe intermédiaire réunissant Fig. 227. les deux premiers.

Soit AB l’axe conduisant, assemblé avec un second axe CB par un joint universel en B, lequel est réuni semblablement avec un autre axe CD; le plan ABC étant différent du plan B CD. Soient «,p, y les rotations des trois axes AB, BC, CD. Le mouvement du second joint C résultera du mouvement du pra

mierB, pour lequel on a (9 étant l’angle des deux axes A B, CB):

„ tang. «

taug. jS = — .

cos. 9

L’angle de rotation correspondant de CD étant y et 6, son inclinaison sur B C, on a de môme :

tang. 0 tang. «

Tang. 7 — — 2 •

cos. 9, cos. 9 cos. 9,

et enfin pour des séries de joints réunissant des axes dont les inclinaisons mutuelles seraient 9 9,9,,, 3 étant le chemin angulairement parcouru par le dernier pour l’angle a parcouru par le premier, on aurait :

Tang. 3 =

tang. a

cos. 9 cos. 9,... 9„'

Dans un système de ce genre toute variation de vitesse peut être obtenue, quel que soit l’angle et la variation de direction du dernier, en employant des axes intermédiaires convenablement disposés.

252. Quand on ne peut disposer d’un axe intermédiaire, et que l’angle des deux axes est inférieur à 1 30°, on emploie la disposition dite double joint de Hooke. Il se compose de deux joints dont la la réunion permet la transmission du mouvement, quel que soit l’angle des deux axes (flg. 228).

Ce joint constitue en réalité une bielle articulée à l’extrémité de bras de levier égaux représentés par les croisillons et ayant un mouvement de rotation par rapport à l’axe avec lequel ils sont as- Fi 8 - 228 •

semblés. Cette bielle communiquera à deux axes parallèles, ou qui se rencontreront, une rotation égale en chaque instant, comme l’indique la symétrie de la figure, si l’on a soin de faire en sorte que les deux axes fassent le même angle avec la pièce intermédiaire.

Des rapports de vitesse extrêmement complexes peuvent être obtenus en faisant inégaux les leviers de chaque axe, et les faisant se couper dans chaque croix sous divers angles. De semblables disposition^ ne sont d’aucun usage dans la pratique.

CIRCULAIRE CONTINU ES RECTILIGSE COSTIKU. 249

253. Le mouvement circulaire continu est produit par le système tour, le mouvement rectiligne par le système plan ; les organes qui serviront à la transformation indiquée consisteront donc en des dispositions permettant d’établir la communication entre deux de ces systèmes.

Il faut remarquer de plus que la ligne droite pouvant être considérée comme la circonférence d’un cercle de rayon infini, le problème se réduit à celui étudié dans le chapitre qui précède , en introduisant dans les solutions trouvées quelques modifications qui résultent de cette nouvelle condition. Remarquons aussi que les deux mouvements n’étant plus de même nature, il y aura lieu d'étudier dans chaque cas le mouvement réciproque, de déterminer quand il sera possible avec le même organe, c’est-à-dire le cas où le mouvement initial partira du système tour et celui où il partira du système plan.

1” Section. — Rapport de vitesse constant.

1 ° DIRECTION DD MOUVEMENT RECTILIGNE DANS LE PLAN DD MOUVEMENT CIRCULAIRE.

(Cas correspondant à celui des axes parallèles pour la transformation du mouvement circulaire continu en circulaire continu.)

Organe* affluant par contact immédiat et à frottement de roulement.

254. Si par la droite BC (fig. 229), direction du mouvement rectiligne, on mène un plan perpendiculaire à l’axe A de rotation, et qu’avec la perpendiculaire A D, abaissée du point A sur B C, on décrive un cercle, il est évident que si l’adhérence était suffisante au point de con-

Fig. 229. tact, le cercle pourrait mener la droite

sans glissement, c’est-à-dire de manière que des longueurs égales

de la droite et du cercle passeraient au point de contact ; semblablement la droite pourrait conduire le cercle. Si l est la longueur de la droite qui doit passer au point de contact pour une rotation « de l’axe, le problème sera résolu si on aRw=l, ou si l’on place la ligne B C à la distance R de l’axe A.

Le problème à résoudre est donc absolument le même que celui des engrenages. Comment armer de dents la roue dont l’axe est maintenu entre des coussinets et la barre maintenue par des guides de manière à ne pouvoir se mouvoir dans le sens de sa longueur, pour que le mouvement ait Heu comme s’il y avait roulement, les vitesses linéaires au point de contact étant les mêmes ? Tel est le système appelé crémaillère représenté Üg. 230.

Les divers systèmes d’engrenages devront donner un nombre égal de systèmes de crémaillères; il en sera de même des systèmes à frottement de roulement.

Fig. 230.

255. Crémaillères à Jroltemcnt de roulement. On peut évidemment construire une crémaillère à frottement de roulement par les mêmes principes qui ont servi à établir des engrenages de cette nature. Ainsi, si dans le plan tangent au cylindre de la roue qui se confond avec la face supérieure de la barre, on mène une droite inclinée sur les génératrices du cylindre ; qu’on enroule le plan autour de celui-ci et qu’on l’applique sur la barre, la droite indiquera la forme des dents, qui seront des droites obliques sur la barre, des hélices sur le cylindre ; ces dents se conduiront en se touchant par des points situés dans des plans successifs, et par suite seulement avec frottement de roulement.

Organe* agissant par contact Immédiat et & frottement de glissement.

256. Comme nous venons de le dire, tous les systèmes de crémaillères ne sont que des modifications des divers systèmes d'engrenages, dans le cas où le rayon des cercles devient infini. Passons en revue ces divers systèmes.

257. Crémaillère à flancs. Le centre de l’une des roues, la roue conduite par exemple, étant situé à l'infini, une des circonférences primitives devient une ligne droite (fig. 231), ses flancs (qu’il faut

supposer terminés à la ligne «T) deviennent des plans parallèles entre eux, perpendiculaires à sa direction. Le cercle roulant extérieurement à la roue se trouve d’un rayon infini, autrement dit les dents deviennent des développantes de la circonférence, puisque le cercle décrivant l’épicycloide dans le cas des roues devient une ligne droite roulant sur le cercle primitif.

Pendant la rotation de la circonférence autour de son centre b, la droite «T lui restera constamment tangente; elle est donc constamment normale à toutes les développantes qui forment les dents ; elle est donc le lieu des contacts de ces développantes avec les différents flancs, et ceux-ci ne sont donc jamais au prise que par leur élément extérieur situé sur cette ligne. La forme du reste de l’entaille, pourvu que les dents puissent s’y loger, est donc complètement arbitraire.

258. Crémaillère avec réciprocité. La crémaillère à flancs, telle que nous l’avons décrite plus haut, doit être conduite par la roue; inversement la crémaillère peut être armée seule de dents destinées à conduire les flancs de la roue. Les profils des dents de la crémaillère (flg. 231) sont des cycloïdes engendrées par le roulement sur la droite aT, considérée comme une circonférence primitive du cercle qui a pour diamètre le rayon de la circonférence b. Enfin la roue et la crémaillère pourront porter toutes deux à la fois des dents et des flancs, et par conséquent se mener indifféremment l’une l’autre.

Nous n’avons pas à revenir sur les questions accessoires de

l’exécution des engrenages ; ainsi l’égalité des divisions sur les deux circonférences primitives ne doit pas cesser d’avoir lieu dans le cas où l’une d’elles devient une ligne droite ; la crémaillère parcourant, dans la direction de sa longueur, des chemins égaux aux arcs décrits par la circonférence de la roue.

259. Crémaillère à fuseaux. De ce que le contact n’a lieu que sur une ligne dans la crémaillère à flancs, il résulte qu’à la limite d’un engrenage à lanterne, pour une barre garnie de dents se réduisant à des points placés sur la ligne tangente à la circonférence primitive, les dents de la roue menante devraient avoir les mêmes profils que l’engrenage à flancs, c’est-à-dire être formée de développantes du cercle primitif. Il en sera de même dans la pratique , c’est-à-dire lorsque la barre sera armée de fuseaux cylindriques ayant leurs centres sur la tangente, puisqu’une développante raccourcie est une développante identique à la première. Inversement

Fig. 232.

(flg. 232) on peut garnir la roue de fuseaux et la faire conduire par la crémaillère. Les dents de celle-ci seront des cyckndes engendrées par la circonférence primitive de la roue, raccourcies suivant chaque normale d’une longueur égale au rayon des fuseaux.

260. Crémaillère à flancs cycloïdaux (flg. 233). On a vu que la crémaillère qui dérive de l'engrenage à flancs a cet inconvénient grave , que la développante des forces du pignon agit sur un seul point de la dent de la crémaillère.

On évite cet inconvénient en choisissant pour cercle décrivant un cercle quelconque (comme art. 176) T A m, qui roulant sur la tangente T n engendre des arcs cycloïdaux qui forment les flancs et les dents de la crémaillère. Le même cercle, en roulant sur la circonférence primitive BT du pignon, engendre des épicycloïdes dont le contact avec les premières courbes s’opère alors le long

d’un arc « o, dont le développement sera d’autant plus petit que le diamètre du cercle décrivant sera lui-même plus grand.

En prenant le cercle décrivant égal au cercle constant qui servirait à tracer les dents de toutes les roues d’un système de roues dentées, l’une quelconque de ces roues engrènerait avec la crémaillère.

261. Crémaillère à dents obliques (flg. 234). Le système d’en-

grenages à développantes fournit aussi un tracé particulier. En effet, dans le tracé de ce système d’engrenages, l’inclinaison des tangentes aux cercles intérieurs est une quantité arbitraire indépendante des rayons R, R' des circonférences primitives. SI l’un des rayons R' devient infini et l’une des circonférences une ligne droite, un des points de tangence aux circonférences s’éloigne à l’infini, et la développante correspondante devient une droite perpendiculaire à la tangente commune.

On obtient ainsi une crémaillère à dents obliques dont la crémaillère à flancs est un cas particulier, celui où les tangentes se confondent avec les deux circonférences primitives au point de contact. Dans ce cas, le contact n’a plus lieu que d’un côté de la

ligne des centres et la roue seule peut conduire, désavantage que n’offre pas l’engrenage que nous décrivons.

262. Nombre des dents. Le minimum absolu du nombre de dents que doit avoir un pignon pour conduire une crémaillère sans à-coups, est n = 3 et se détermine par le calcul donné art. 168. Dans la pratique on devra toujours rester au-dessus de ce nombre.

263. Saillie des dents. Pour la saillie des dents, nous pouvons continuer le tableau donné précédemment art. 170 et l’étendre au cas d’une crémaillère, à un nombre de dents infini pour l’une des roues.

VALEUR DK

VALEURS DE ( *r.

La crémaillère est

menée

zéro

La crémaillère mène.

infini.

264. Frottement dans la crémaillère. Une crémaillère étant un engrenage dans lequel le rayon d’une des circonférences primitives devient infini, l’effort moyen au point de contact étant

/Q i(jî[ + ïr)

pour tout engrenage, devient pour R' = oo, fQ } qu j multiplié par le chemin parcouru par un point de la circonférence primitive, donnera le travail du frottement, ou T ( = w/T r

Organe* affluant à l’aide d’intermédiaire*.

Le mouvement rectiligne continu étant de sa nature indéfini, il ne peut exister d’intermédiaires entre le système tour et le système plan que des intermédiaires également indéfinis. 11 n’y a donc pas à s’occuper de bielles et d’articulations nécessairement limitées; les cordes et courroies peuvent seules convenir et donnent naissance au système suivant.