ANGLE DROIT. — VIS ET ÉCROU

269. Lorsque la direction du mouvement rectiligne est parallèle à l’axe du mouvement circulaire, on emploie la vis et son écrou (flg. 237), c’est-à-dire le système précédent complété. Il consiste alors en une saillie, contournée en hélice autour d’un noyau, qui pénètre dans une cavité correspondante à la saillie. La vis prenant en même temps un mouvement de rotation autour de son axe et de translation rectiligne dans le sens de celui-ci, son extrémité communiquera ce mouvement seul à une pièce guidée qu’il vien- Fig. 237.

dra pousser, l’écrou de la vis étant fixe. Inversement, si la vis est guidée dans des collets de manière à ne pas pouvoir prendre de mouvement de translation, son écrou tendra à tourner avec elle, et si on empêche cette rotation par un arrêt passant dans une rainure rectiligne, ce sera alors l’écrou qui se mouvra en ligne droite.

L’hélice fait toujours un angle constant avec les génératrices du cylindre ; la distance constante entre deux spires de l’hélice, mesurée sur une génératrice du cylindre, est le pas de la vis. Ordinairement la tête de la vis est armée d’une roue, ou au moins d’une barre perpendiculaire à son axe. Si l’on désigne par R le rayon de cette roue, ou la longueur de cette barre comptée à partir du centre, le chemin parcouru en un tour complet par l'extrémité d’un rayon sera 2 ?rR; h étant le pas de la vis, cette quantité sera aussi celle dont la vis ou son écrou auront marché dans le même temps perpendiculairement à l’axe. Les chemins parcourus pendant une fraction de tour quelconque , seront évidemment dans le même

rapport que ceux qui sont parcourus pendant la durée d’un tour complet de la vis ; en nommant V la vitesse à la circonférence de la roue ou à l’extrémité de la barre, et v la vitesse de la vis ou de son écrou dans le sens de l’axe, on aura donc :

c’est-à-dire la vitesse de l’extrémité de la barre, dans un plan perpendiculaire à l’axe , est à la vitesse de la vis ou de son écrou parallèlement à cet axe , comme la circonférence décrite par l’extrémité de cette barre est au pas de la vis. Comme

2 nr

— tang. a,

a étant l’inclinaison de l’hélice sur une perpen-

diculaire aux génératrices , r étant le rayon du cylindre passant par un point de cette hélice, on a pour un point quelconque : t>= V tang. a, relation indépendante du rayon du noyau cylindrique.

On voit d’après le rapport ci-dessus que l’on peut facilement construire la vis de manière à rendre la vitesse du mouvement rectiligne très petite relativement à la vitesse du mouvement circulaire, ce qui la rend convenable pour développer de très grands efforts, et la fait surtout employer dans les appareils qui doivent produire de grandes pressions, mais en occasionnant des pertes de travail considérables par les frottements.

270. Frottement dans la vis. Il importe de prendre une idée exacte de la valeur de ces pertes de travail, pour ne pas appliquer la vis dans des cas où son emploi ne serait pas convenable, et proportionner l’inclinaison du filet de la vis aux circonstances de l’emploi de cet organe (I).

Soit A B (fig. 238) l’axe supposé vertical d’une vis à filets carrés, destinée à soulever un poids Q par l'intermédiaire d'une force horizontale/) appliquée à l’extrémité du levier R, l’écrou abcd étant fixe. On peut toujours supposer que la charge Q soit distribuée uniformément sur un certain filet héliçoïde de la vis et de l’écrou, que nous nommons filet moyen, et s’y trouve posée comme sur un

(I) Nous empruntons ce calcul & M. Poncelet j nos lecteurs auront facilement .reconnu que cet emprunt n’est pas le senl que nous ayons fait, clans le cours de notre ouvrage, A cet illustre savant.

plan incliné formant avec l’horizon un angle égal à celui des plans tangents à ce filet. Pour le frottement, les choses se passent comme s’il en était ainsi ; la pression s’exerçant en plusieurs points, suivant

une même génératrice de la surface , causera le même frottement que la somme des pressions sur le filet moyen, le frottement étant proportionnel à la pression. Nommant donc :

r, le rayon du cylindre qui contient l’hélice ou filet moyen dont il s’agit ;

p , la force horizontale tangente à ce cylindre, qui serait capable de vaincre le poids Q et les frottements qui eu résultent sur la surface du filet moyen ; h , la hauteur du pas de la vis ou de l’écrou ; ir== 3,1415, le rapport de la circonférence au diamètre; a, l’angle de l’inclinaison constante du filet moyen à l’horizon ; /, le coefficient de frottement pour les substances en contact ; On aura, d’après le n° 49 :

p = Q — q , en remplaçant tang. « par

v l — / tang. « v 2 a- r — fh r

sa valeur ^ .

La valeur ci-dessus de p peut se mettre sous la forme .

1 4-tang. » a

p=QUmg.. + /Q. r5 j = Q

. « f0 *L+lî!fj ^ .

-/tang. a v 2irr v 2jrr(27rr— /A) (en ajoutant Q tang. « et retranchant Q tang. « de la fraction), on voit que la portion de p employée à vaincre le frottement, a pour expression :

l-ftang. *«

JV 1— /tang.*’

dont la valeur croit progressivement avec tang. a jusqu’à devenir infinie quand tang. a — j. , limite passé laquelle lu puissance horizontale ne peut plus faire mouvoir la vis en l’élevant le long des filets de l’écrou.

Il semblerait, d’après cela, qu’il dut y avoir en général de l’avantage à diminuer l’angle d’inclinaison « des hélices ; mais on arrivera à une conséquence toute opposée, si l’on remarque que le rapport de la quantité de travail utilisé qui est Qrw tang. «, à

celle dépensée Qr« - ^ an °‘ a , peut être mis sous la forme :

1 —/tang. a

tang. a. (1 — /tang. «) sin. 2a — /(I — cos. 2a)

tang. a-j-/

sin. 2 a-f-/ (I -{-COS. 2 a)

sin. 2 a-j-/ (l-j-COS. 2a) ’

rapport dont le minimum répond à tang. 2 «= y .

Pour apprécier le frottement supposons, par exemple, /= 0,t2, qui convient au cas où l’écrou serait en cuivre et la vis en fer, les

surfaces étant onctueuses ; tang. a = — comme dans les pressoirs

à vis, le rapport ci-dessus deviendra 0,249. Dans ce cas le travail dépensé par la puissance pour élever la charge Q, serait donc presque quadruple de celui qui répond à l’effet utile.

Si tang. a était égal à - , le même rapport deviendrait 0,655.

Ces résultats mettent en évidence l’énorme influence exercée par le frottement des vis et des écrous.

On conclut aussi de ce qui a été dit pour le cas du plan incliné, que si tang. ce est moindre que /, la vis non seulement ne tendra pas à descendre d’elle-mème ou à se desserrer sous l’effort qu’elle supporte, mais encore exigera pour être entraînée par la puissance p supposée agir en sens contraire de ce qu’elle faisait précédemment, ce qui doit faire changer son signe comme celui de /, un effort mesuré par :

/—tang. a