RAPPORT DE VITESSE VARIABLE
292. Bielle. Le plus simple et le plus parfait de tous les systèmes qui peuvent servir à la transformation qui nous occupe, consiste à réunir par une bielle rigide, à l’aide de
deux articulations, c'est-à-dire en ne lui laissant que la liberté de tourner autour des points d’assemblage, l’extrémité du levier et un point de la circonférence du tour; pour chaque révolution de celui-ci le levier fera une double oscilla-
Fig. 256. tion (flg. 256).-
Nous allons voir, en étudiant les vitesses dans ce système, qu’il satisfait à la condition du maximum; quant à l’amplitude des deux mouvements, ils sont faciles à déterminer, ou plutôt, étant donnés à priori , il est facile de déterminer la longueur du levier et le rayon du tour ou de la manivelle (barre assemblée sur l’axe) qui le remplace.
En effet, r étant le rayon de la manivelle, pour un tour == 2nr de celle-ci , le balancier dont la demi-longueur .= I fera un angle u. au-dessus et au-dessous de l’horizontale qui est sa position moyenne, les deux positions extrêmes correspondant à un diamètre vertical du tour. Le balancier étant toujours fort long, par rapport au rayon de la manivelle, on a sensiblement 2/ sin.u = 2r.
293. Rapport des vitesses. La vitesse angulaire de la manivelle étant uniforme, celle du levier ou balancier ne l’est pas. En effet,
appliquant ici les résultats exposés art. 180 , relativement à la détermination des vitesses angulaires instantanées entre deux leviers assemblés par une bielle, AB étant la ligne des centres (üg. 257) rencontrée en un point Q par une position de la bielle, on a :
V, : V, :: AQ : BQ.
Pour les deux points m et n , pour lesquels la bielle passe
AQ
par le centre A, AQ =0, et V, = \ 4 — = 0.
La vitesse de la bielle passe donc deux fois par zéro aux points morts, aux points qui correspondent au changement de sens du mouvement alternatif du balancier.
La détermination de la vitesse angulaire du balancier en un point, celle de la manivelle étant donnée, pourra donc toujours s’obtenir graphiquement comme ci-dessus. Pour l'obtenir par le calcul, il faut obtenir l’angle 0 décrit par le balancier pour une valeur quel- F! 8- 257
conque de l’angle ? décrit par la manivelle, ce qui est possible. La formule à laquelle on arrive est trop compliquée pour être d’aucune utilité dans la pratique; nous ne la donnerons donc pas pour le cas général.
Cette relation devient assez simple si l’on considère l’extrémité de la bielle comme se mouvant en ligne droite ; il en est à très peu près ainsi le plus souvent, dans le cas du mouvement circulaire alternatif, le balancier étant très long et décrivant un arc d'un petit nombre de degrés. Il en est ainsi exactement pour la seconde transformation
que nous avons à considérer (fig. 258),
lorsque la bielle produit le mouvement rectiligne alternatif, lorsqu’elle est arti-
culée à l’extrémité d’une barre à la- Fig. 258.
quelle des guides-plans ne permettent qu’un mouvement rectiligne
dans le sens de sa longueur. Le chemin parcouru pendant une double oscillation est alors exactement égal à 2 r.
Nous ne nous occuperons dans ce qui suit que de la vitesse linéaire du point qui se meut en ligne droite; il est toujours facile d’en déduire la vitesse angulaire quand le mouvement appartient à une circonférence de cercle.
294. Soit A (flg. 259) le centre de rotation de la manivelle, P l’articulation à laquelle s’attache la bielle P Q, dont l’autre extrémité est articulée au point Q maintenu lui-même de manière à se mouvoir en ligne droite suivant Ad, soit par des guides-plans comme flg. 258, soit par l’effet d’ un long levier BQ avec lequel elle est assemblée.
Sur la direction A d du chemin parcouru par le point Q, prenez rnd= «D = PQ [m et n étant les points de rencontre de A d avec la circonférence décrite parle poiut P), chaque révolution de l’axe A fera évidemment décrire au point Q une double oscillation de d en D et de D en d, et l’on aura D d = 2 A P.
Menez Vp perpendiculaire à AD, posez wiAP = 8, AP = R PQ = /, AQ = s, dans le triangle APQona: AQ = Qp ± Ap, suivant que p tombe à droite ou à gauche de A, ou en introduisant l’angle 0 :
A Q=$= 1//* — R’ sin. '0 ± 1\ cos. 8, en prenant le signe -j- quand m AP est aigu, et le signe — quand il est obtus.
On peutdonc, à l’aide de cette expression, mesurer le chemin parcouru par le point Q pour un certain angle décrit par le point P. Mais si l'on remarque que presque toujours la bielle est assez longue par rapport à la manivelle, pour qu’on puisse négliger son incli-
naison, ou R sin. 0 vis-à-vis de /, ce qui revient À poser p Q = PQ, à considérer la bielle comme toujours parallèle à elle-même ; on a alors : s = / = R cos. 0, et si l’espace se mesure de d vers A : s = dQ — mp == R sin. vers. 5 = R (i — cos. 0).
' Les chemins parcourus entre deux angles 0 et 0' par le bouton de la manivelle et l’extrémité de la bielle sont R (0 — 0') et R (cos. 6' — cos. 0).
En général, on a (art. 1 80) :
Vitesse de P cos. AQP
Vitesse de Q sin. APQ’
et dans l’hypothèse où la bielle reste parallèle à elle-même , cos. AQP= l, sin. APQ = sin. 0, donc:
Vitesse de P 1 Vitesse de Q sin. 0 ’
Cette expression très simple du rapport des vitesses montre bien que la vitesse du mouvement circulaire étant constante, celle de l’extrémité de la bielle ne l’est pas, et elle indique comment elle varie depuis sin. 0 = 0, qui correspond aux deux points morts situés à la rencontre de la direction du mouvement rectiligne avec le cercle décrit par la manivelle, pour lesquels la vitesse de l’extrémité de la bielle est nulle ; jusqu’à sin. 0=1, qui correspond au diamètre qui coupe à angle droit celui qui réunit les points morts ; en ces points la vitesse de l’extrémité de la bielle est égale à celle de la manivelle.
295. Représentation de la vitesse de l'extrémité de la bielle. On peut représenter graphiquement les résultats précédents.
Prenons une ligne droite égale à 2îr = 6 m f 283 à une certaine échelle, et divisons cette ligne en un certain nombre de parties égales, 20 par exemple, égales chacune à 0 ™, 31416, à des 20“ de circonférence, et en chacun des points 1, 2, 3. i . 20, 21, élevons des perpendiculaires à cette ligne. Divisons également la circonférence en 20 parties égales, nous aurons 20 angles 0, 0,. . . 0j o 0, , ; si nous portons les valeurs sin. 0 , sin, 0,. . . sur les perpendiculaires précédemment tracées, et que par les points ainsi déterminés en nombre suffisant nous fassions passer une courbe, nous obtien-
drons les courbes fig. 260, qui feront sentir comment la vitesse varie ; car elles sont telles que l’ordonnée en chaque point indique la vitesse de l’extrémité de la bielle qui correspond à une position de la manivelle déterminée par la longueur de l’abcisse, le mouvement de rotation de P étant pris pour unité.
296. Représentation du travail de la bielle. L’aire de ces courbes (flg. 260) représente à une certaine échelle le travail engendré par
1 a 3 4 5 6 7 8 9 ÎO H 1S, 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Fig. 260.
l’action d’une force F constante, agissant à l’aide de la bielle sur le bouton de la manivelle. En effet, le point d’application de cette force parcourant le petit arc s de la circonférence, son travail est F X * projeté sur la direction de F, c’est-à-dire Fs x sin. 0, 6 étant évidemment égal au complément de l’angle fait par la bielle supposée toujours parallèle à elle-même, avec la tangente au point considéré. Le travail élémentaire correspondant à l’arc s sera donc représenté à une certaine échelle par le petit trapèze qui a cet arc pour base , et pour côtés les valeurs de sin. 0, et par suite le travail total transmis par la bielle à la manivelle sera représenté par l’aire entière comprise entre la circonférence développée et la courbe dont les ordonnées sont déterminées par les valeurs successives de sin. 0.
Le produit F sin. 0 est nul quand la perpendiculaire abaissée de l’axe de rotation sur la bielle est égale à zéro, car alors 9 = 0, ce qui correspond aux points 1 , 1 1 , 2 1 ; en ces points la bielle ne produit aucun travail. Le maximum a lieu pour sin. 0 = 1 ou 0 — 9o°, c’est-à-dire dans la figure aux diamètres verticaux correspondants aux points 6 et 1 6 ; enfin la symétrie des figures montre que les deux courbes et chacune de leurs moitiés sont égales de part et d’autre.
