RÉPÉTITION DE MOUVEMENTS SEMBLABLES
1° mouvement «BCULAIRE continu (Ordre tour). Systèmes de roues dentées.
400. Le rapport des vitesses angulaires des roues extrêmes d’un système composé de roues engrenant ensemble est le même que si les roues extrêmes étaient immédiatement en contact, puisque les mêmes longueurs des diverses circonférences primitives passent toujours aux divers points de contact.
La multiplication des roues dentées ne fournit donc pas le moyen d’accroître le rapport des vitesses angulaires de deux axes. Lorsqu’il doit être considérable, on emploie souvent plusieurs engrenages situés dans des plans parallèles au lieu d’un seul engrenage.
Une première roue A (lîg. 335) engrène, par exemple, avec une autre S roue a d’un rayon bien moindre, avec \ ). u 1 j
un pignon ; sur le même axe que le ' ^ ^
pignon a est montée une roue B solidaire avec lui. La roue B engrène avec Fig- 335. -
un second pignon b sur l’axe duquel est montée une roue C.
w, w\ ui", étant les vitesses angulaires autour des axes des trois roues A, B, C, soient R, R', R", les rayons des roues; r, r', ceux des pignons a, b, on aura :
w x R = w' X r w"Xr'=«/><R'
et en divisant ces deux expressions l’une par l’autre :
c’est-à-dire que la vitesse angulaire de la première roue est à celle de la dernière comme le produit des rayons des pignons est au produit des rayons des roues, celle montée sur le dernier pignon exceptée.
Et en général N„ N,.... étant les nombres des dents des roues, n, le nombre des dents des pignons montés sur les mêmes
axes (les nombres des dents étant entre eux comme les rayons), T, le nombre de tours de la première roue, T m le nombre de tours de la celle mue par le dernier pignon, on aura :
Telle est la formule dont on se sert dans les cas où l’on doit obtenir une grande vitesse à l’aide d’une petite vitesse de l’arbre moteur, et notamment dans l’horlogerie où ce problème doit toujours être résolu (1).
(1) Noua donnerons ici on cnrienx théorème, dû au D' Toong.
Si dons un système de roues dentées il y a k -4- 1 axes dont toutes les roues
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401. Disons quelques mots de cette application importante, et prenons pour exemple une horloge astronomique.
Au moyen de trois ou quatre roues engrenant, pignons montés sur l’axe d’une roue avec la circonférence de la suivante, on produit à l’aide du mouvement de rotation très lent de la roue du cylindre que fait tourner le poids moteur, le mouvement assez rapide de la roue d’échappement. Le problème parait susceptible d’un nombre indéfini de solutions ; mais il est limité par les conditions spéciales de la question. En effet, il faut que la roue d'échappement faisant exactement un tour complet pour 60 oscillations du régulateur (supposé un pendule battant la seconde), l’axe de cette roue porte l’aiguille des secondes qui parcourera 360° en une minute; il est nécessaire qu’une autre roue du rouage aille 60 fois moins vite et parcoure 360°, fasse un tour en une heure, ce sera l’aiguille des minutes. Il faut enfin qu’un autre axe aille 12 fois moins vite, ce sera l’axe de l’aiguille des heures.
Nous renverrons aux traités d’horlogerie pour la discussion du système de roues et de dents les plus convenables à employer pour ce problème spécial.
402. Considérons seulement d’une manière générale ce problème d’une grande importance en mécanique :
Étant donné, le rapport de vitesse de deux axes déterminer
portent chacune v> dents, tons les pignons montés sur ces axes p ailes, on a la relation entra les vitesses
=- =1-1 = x* en posant — =x,
1 1 Vp / P
xp = w est le nombro des dents d'uno roue et k (p 4- * P) le nombre total des dents du système.
log. C
Or
( -\ = œ* = C constante, donc k — " : si donc on se propose d’ob-
P/ log-*
tenir le moindre nombre do dents possible, il faudra rendre un minimum
log. c (p + gp)
log. x
Différentiant , il vient pour le minimum log. x — , d’où x = 3,59.
Donc étant donné un rapport de vitesse angulaire de deux axes, pour l’obtenir avec le moindre nombre de dents, il faudra foire - 3,59.
le nombre des axes intermédiaires , les proportions des roues et les nombres de dents convenables, pour transmettre le mouvement d’un axe à l’autre.
Pour simplifier, nous supposons qu’il s’agit seulement de roues dentées; mais tout train complexe composé de roues, poulies, crémaillères, etc. , peut être calculé d'après les mêmes principes.
La solution consiste évidemment pour avoir le nombre des dents
des roues et le nombre des axes, à décomposer -^en nombres pre-
miers, à établir une formule semblable à celle de l’art. 400, en prenant le produit de plusieurs nombres pour une roue s’il est nécessaire, afin de rester dans les limites des nombres convenables pour les dents des roues et des pignons.
403. On ne peut procéder que par approximation dans le cas où les deux nombres ou quelques-uns de leurs facteurs sont trop considérables pour deux roues et ne sont pas dccomposables en facteurs premiers, sont premiers.
Soit = a ± E. Si on ne tient pas compte de E, on peut avec
a nombre simple en général, multiplié s’il est nécessaire par une fraction égale à l’unité, obtenir une solution, mais l’on introduit une erreur de E révolutions du dernier axe pour une du premier, et la nature de la machine indique si cette approximation est suffisante.
Pour obtenir une plus grande approximation ou si a. est un nombre premier trop grand, on détermine, comme ci-dessus, le plus petit nombre m d'axes nécessaire et le nombre d’ailes que, d’après la nature de la machine, il convient de donner aux pignons. Soit D le produit des nombres des dents des roues, F le produit des nom-
bres des dents des pignons, on aura dans ce cas
Fa
(nous supposons que les roues conduisent).
Au lieu de prendre — = a, posons — — F F
Fa ± E F ’
E étant
choisi aussi peu différent du reste exact que possible, s’il y en a un, et tel que Fa ± E soit décomposnble en facteurs. L’erreur
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est alors au plus de E tours du dernier axe pour F tours du pre- ±E
mier ou — rotations du dernier axe pour une du premier.
Si les pignons conduisent, on prend de la même manière T, Da±E ±E
— = — — — , et 1 erreur est de -g- rotations du premier axe pour une du dernier.
