Exemple • — Soit demandé d’obtenir approximativement T

Si on prend le nombre entier le plus près, 270, l’erreur est d’un tour du dernier axe pour 270 du premier. Si d’après la nature

de la machine le rapport - est plus grand que celui qui est permis

entre les roues et les pignons, comme 269 est compris entre s*

et 8‘, trois paires de roues et de pignons sont nécessaires.

Si on emploie des pignons de to dents, on a : — = - •

et-

, qui constitue un train excellent dont l’er-

reur est de de révolution du dernier axe pour un tour du pre-

mier.

405. Cette méthode est suffisante pour les cas ordinaires; mais si, une grande exactitude étant nécessaire, les termes de la fraction bien que divisibles en facteurs exigent grand nombre de roues et de pignons, il faut nécessairement déterminer une nouvelle fraction d’une valeur approchée de celle de la première et de termes plus simples ; les fractions continues s’appliquent à ce cas avec avantage.

étant la forme de la fraction dont les termes sont d’un grand

nombre de chiffres; en la réduisant en fraction continue à la manière ordinaire, on obtient des séries de réduites, les premières très simples, les suivantes plus approchées, qui, examinées séparément admettront le plus souvent une division convenable en facteurs , ou au moins différeront peu de fractions donnant une

approximation suffisante. La valeur de l’approximation entre la fraction proposée et la réduite adoptée ést toujours déterminée par la différence de ces deux quantités.

Soit en général - une fraction très approchée d’une fraction donnée ^ , on a la différence

a x ay — bx k

D’après la supposition k est très petit par rapport à by, et peut être positif ou négatif; pour déterminer k , on a l’équation indéterminée a y — bx = k [1], dont toutes les solutions sont x — y — 6-\-mb, m étant un nombre entier quelconqne

positif ou négatif, x = a, y = 6 étant des valeurs convenables pour une solution.

Soit la fraction r convertie en fractions continues et - l'avantb q

dernière réduite, les formules ci-dessus pour toutes les valeurs

possibles de a; et y deviennent x — p k -f- ma, y = q k -j- mb et

x pk-4-ma

y ~ qk -|-;n6 est *’ ex P rcss * on * a fraction approchée cherchée,

dans laquelle m et k peuvent être tout nombre entier positif ou négatif, k étant petit par rapport à by et ax.

En effet, x—pk , y=qk fournissent une solution, puisqu'en mettant ces valeur dans l’équation [t] pour x et y, il vient

(aq — bp) k~ k, puisque la différence y — - =

b q bq bq

d’après la théorie des fractions continues.

Un grand nombre de valeurs de - peuvent être obtenues à l’aide

de l’expression cl-dessus et par suite on peut choisir celles décomposables en facteurs. Toute la difficulté de ce procédé consiste dans le choix des valeurs convenables de k et de m. Les nombres ainsi obtenus pour a: et y sont nécessairement petits , k et m étant petits et pouvant avoir des signes différents, ce qui donne une très grande latitude pour le choix.

COMBINAISONS DE MOUVEMENTS

Ainsi si l’on donne à k les valeurs 0, • — 1 , + l , — 2, et ainsi de suite, et que dans chaque cas on prenne de semblables valeurs de m qu i donnent de petites valeurs de x et y ; on décomposera chaque paire de résultats en facteurs premiers, et, ceci fait, on calculera l’erreur résultante. En procédant ainsi on obtiendra des nombres pouvant permettre une exactitude suffisante sans employer grand nombre de roues. Des tables de facteurs premiers facilitent beaucoup les calculs.

406. Soit à déterminer la fraction — très voisine de — , I’avant-

dernière réduite est -y; plaçant ces nombres dans l’expression de —,

on a : ^