J- lïl

cî. . a? 29

Soit »i = li = — 1 , — = — y 9 ’

Deux de ces termes seraient obtenus par le seul calcul des ré-

duitcs, mais non le troisième — .

407. Si l’on applique cette méthode à l’exemple d’un mouvement annuel dans une horloge, dans ce cas la fraction - est égale

a - ■ ■ ■-> 1 expression des fractions approchées devient :

164359 X k — m X 588 04 450 X A — MX 161 ’

dans lesquels k et m peuvent prendre toutes les valeurs, par exemple :

Correspondant à une période de 3G5> 5 11 48' 58" 6944 (erreur de lü" 69 avec l’année vraie).

C’est le résultat calculé par une méthode différente par le Père Alexandre, et depuis par Camus et Fergusson.

L’expression :

3 X 460 — 10 X Uil ~ 260 2* X S X 13~’ qui correspond à une période de 36^ 5 h 48' 55" 38, est aussi très convenable.

408. Dans un système de roues dentées, une ou plusieurs vis sans lin peuvent être introduites pour diminuer le nombre des dents; par exemple, dans la dernière fraction citée, le dénominateur ne peut être divisé en moins de 3 roues ; mais on peut les remplacer par deux pignons et une vis sans lin (en se rappelant que cette dernière équivaut à un pignon à une aile) ; on aura ainsi les systèmes équivalents 1 X 20 x 13 ou l x 10 x 26. Si la vis sans fin n’est pas convenable, les termes de la fraction doivent être multipliés par 4 , ce qui rend le dénominateur suffisant

pour trois pignons, et le train devient :

2° mouvement bectiligne continu (Ordre plan),

409. Nous avons vu que les cordes offraient le principal moyen de communiquer le mouvement reetiligne continu dans des directions et dans des rapports de vitesse quelconques, à l’aide de poulies qui permettent de diriger leur

mouvement. Nous avons déjà étudié les systèmes qui résultent de la répétition des poulies et qui constituent les moufles. Nous allons maintenant étudier l’emploi simultané de plusieurs systèmes semblables, de plusieurs moufles combinées ensemble, le mouvement rectiligne se communiquant par une même corde.

410. Combinaison de moufles. Soit A la poulie fixe d’une moufle qui a n, brins, et dont la corde se dirige suivant AB (flg. 336).

Plaçous à l’extrémité de cette corde une poulie mobile B et une

Fig. 336.

COMBINAISONS I)F, MOUVEMENTS

moufle dont b est la poulie fixe, portant n a brins. Ayons de même une troisième moufle dont C soit la poulie mobile et c la poulie fixe, ayant n, brins.

Soient V 4 la vitesse de la corde sortant suivant CD, et V, V» V, les vitesses respectives de «, B, C, on a :

V,= n,V s = njn.V, = n, n, n, V,.

S’il y a m moufles dans le système et que tous aient le même nombre de brins, on aura :

Le nombre total des brins sera »x»i; d’où le problème suivant analogue à celui traité dans la note de la page 353.

411. Étant donné le rapport des vitesses ■ ™ ' 4 ' 1 = n m d’un

système de moufles, trouver le nombre et la nature des moufles qui exigent le moindre nombre de brins pour un même rapport de vitesse, problème intéressant, puisqu’il donnera le système dans lequel la résistance due à la raideur des cordes sera la moindre, résistance considérable dans les moufles.

Puisque n” = constante = C, ori a :

log. C . n log. C

m = — et le nombre n X m = ,

log. n log. v

dont le minimum est obtenu pour log. hyp. n= i ou n = 2,72,

dont le nombre entier le plus approché est 3 ; ce qui donne la série

de moufles qui peuvent transmettre -une vitesse dans un rapport

donné avec le moindre nombre de brins par la combinaison de

moufles simples et égales. Les marins emploient quelquefois les

moufles de cette manière.

Si au lieu d’attacher chaque moufle au brin sortant de la poulie fixe de la moufle précédente, on l’attachait au brin sortant de la poulie mobile, un brin pourrait encore être épargné dans chaque moufle et le nombre total des brins serait (n — l) im, dont le minimum serait toujours pour n — l = 2,72 d’où n = 3,72.

3° mouvement cibculaibe ALTEBNATiF (Ordre levier).

412. Combinaison de leviers et de bielles. Le système bielle et manivelle est, comme nous l’avons vu, le moyen par excclicuc*

pour produire les mouvements alternatifs ; mois la loi compliquée des vitesses qui s’y produisent, pour une rotation uniforme de l’axe moteur, ne convient souvent pas ; on la modifie alors par une combinaison, soit d’organes semblables, soit d’organes différents.

Nous traiterons d’abord du moyen de rendre plus uniforme le mouvement circulaire obtenu par un mouvement uniforme du levier, puis nous rapporterons, d'après M. Willis, quelques exemples de combinaisons de bielles, qui constituent des mécanismes certains dans leurs effets, à faibles frottements, dont l’emploi est par suite avantageux quand il est possible. Ces mouvements deviennent trop compliqués pour que les formules complexes, auxquelles mènerait leur étude, puissent être de quelque utilité pratique. On remplace souvent celles-ci avec avantage par des tracés qu’on obtient facilement, et qui donnent une notion claire de tous les mouvements qui se produisent en même temps dans les diverses parties d’un système de ce genre.

Manivelles multiples.

413. Nous savons (art. 296) qu’avec une seule manivelle le moment (1) de la force varie de 0 à Pr, en partant du point A pour arriver au point C.

Manivelles doubles. Si au lieu d’appliquer la force P a une seule manivelle agissant au point E, on fait agir deux forces égales

à - P sur deux manivelles assemblées aux points E et F (l’an-

gle EOF étant de 90° (fig. 337), cette disposition fournira le maximum le plus élevé, quand a étant égal à 45° pour une manivelle, aura la même valeur pour l’autre) , le moment de la première variera de 0 à

- Pr, tandis .que celui de la seconde variera de ^ Pr à 0. Les angles « et *

(I) lions appelons moment la quantité de travail en chaque instant, divisée par l’angle de rotation •» qui est le mémo pour tout le système tournant autour de l'axe.

COMBINAISONS DE MOUVEMENTS. 3G3

étant évidemment complémentaires, quand les manivelles se déplacent le moment total sera pour une position quelconque :

M = | Pr (sin. « -j- cos. a).

On peut poser sin. a -f- cos. «= sin. (45° -|- a) 1/2, formule facile à vérifier en développant le second terme, et remarquant que

sin. 45° = cos. 45°= - 1/2.

La plus petite valeur du sinus ou « = 0, donnera le minimum et la plus grande ou 45° -f- a = 90» ou a = 45° le maximum.

On aura donc :

Minimum, a = 0, sin. 45°= - 1/2 , d’oùM = - Pr.

Maximum, a — 45°, sin. (45° -j- a) = I, d'où M= - Pr 1/2.

Le rapport du minimum au maximum est de ou 0,707.

On voit que les limites de variation sont bien moindres qu’avec une manivelle simple et surtout, ce qui peut être important, que l’action de la force n’est jamais nulle.

La construction graphique donnée précédemment (lîg. 338) pour

Fig. 338.

représenter le travail de la bielle et les rapports des vitesses du bouton de la manivelle et de l’autre extrémité de la bielle (I), s’applique à ce cas et fait bien sentir comment les choses se passent.

En effet, puisque nous avons déterminé pour une manivelle simple, dans vingt positions différentes, les moments des efforts

(1) Nous empruntons à M. Morin cette figure tracée pour le cas d’une biello courte, comme le montre la non symétrie de» courbes.

qui sont les ordonnées des courbes dont l’aire représente le travail ; pour passer de ce cas à celui des manivelles multiples, il n’y a qu’à ajouter sur chaque ordonnée les moments correspondants aux positions de chacune des manivelles considérées, ce qui donnera le moment total des efforts simultanés transmis aux manivelles et les courbes qui feront apprécier les variations du travail et des rapports de vitesse en chaque instant (L’échelle de la figure est alors

double, car les deux effets deviennent i P). La figure montre bien

la régularité plus grande, les moindres variations de vitesses obtenues par l’emploi de manivelles doubles.

414. Manivelles triples. En disposant une troisième manivelle au point G (fig. 337) ( la bielle agit alors en remontant) et faisant

agir chacune des trois bielles avec un effort égal à - P , la régu-

larité ne croîtrait pas. En effet, les moments deviennent :

M = - Pr sin. a 4 - 1 Pr sin. a 4 - - Pr sin. «

— - Pr (2 sin. a cos. a).

Pour «=0, sin. « = 0, cos. a= 1 ; on a M = - Pr.

Pour a a= 45°, on a : sin. « =cos. a == - 1/2 ’ 2

et M = -Prx-l/2=-Prl/'2 la variation est donc plus 3 2 3 1

grande que dans le cas précédent.

Une quatrième manivelle placée en H, les trois autres en E, E, G, n’aurait aucun effet à cause de la symétrie de la figure, la force divisée en quatre parties agirait absolument de la même manière que divisée en deux parties et agissant sur les deux premières manivelles. Il est nécessaire, pour obtenir une plus grande régularité, de mettre les bras de manivelle multiples en nombre impair, autrement l’effet est le même que pour les manivelles dont le nombre des bras est moitié moindre.

Si au lieu de disposer la manivelle triple ainsi que nous venons de le supposer, on en place les trois boutons à égale distaucc sur la

COMBINAISONS DE MOUVEMENTS

circonférence, c’est-à-dire sur les trois sommets du triangle équilatéral inscrit (fig. 339), alors les variations sont moindres que pour les manivelles doubles. En effet, dans ce cas, si la rotation d’un angle « se produit, il est facile d'évaluer la somme des mo-

ments des trois forces - P agissant sur

Fig. 339. j es manivelles, Cette quantité sera égale,

d’après la propriété du côté du triangle équilatéral d’étre la corde

d’un angle de = 120°, à

M = - Pr (sin. a) + sin. (60° — «) -{- sin. (GO"-}- a).

Or, le sinus du sommet placé seul d’un côté du diamètre est égal à la somme des deux autres.

En effet, on a :

Sin. (60° -}- «) = sin. 60° cos. «-}- sin. a cos. 60".

Or, cos. G0° = -, d’où sin. G0° = I / i — - = - l/i7 2 ’ V 4 2

Donc sin. ( 60 ° -}-«) = - l/ï cos « 4- - sin - “•

De même : Sin. (60° — a) = sin. 60° cos. a — sin. « cos. G0°

-:/3 COS. a — - sin. a.

En ajoutant sin. «, on retombe précisément sur la valeur de sin. (60° -}- «0 ; donc la somme des moments sera :

M = - Pr X 2 sin. (60** -}-«).

Le minimum correspond à a = 0, à la position indiquée sur la figure 339, qui est celle de la plus petite valeur de sin. (60 -j-a) ;

quand a = O et que le point A vient à passer du côté droit du dia-

mètre ; dans ce cas, la formule donne :

M = - Pr l/ÜT

Le maximum a lieu pour 60° 4 - « = 90° ou « = 30°, et alors un

des sommets (G par exemple) est sur le diamètre horizontal. Dans cette position, l’action étant au maximum pour ce sommet, a lieu utilement pour les deux autres. Alors sin. (60<> -j- a) = i,

et le rapport du minimum au maximum est -y— = 0,8GG.

On peut donc établir le tableau suivant pour le rapport du maximum au minimum dans chaque ca$ :

Minimum. Maximum .

Manivelle simple. . 0,000 I

Manivelle double 0,707 1

Manivelle triple 0,866 l

C’est-à-dire qu’à mesure qu’on fait croitre le nombre des manivelles, les variations diminuent.

415. La fig. 338 (considérée comme à échelle triple quant aux

ordonnées, puisque les trois efforts sont - P ) montre la courbe

des vitesses dont les ordonnées sont obtenues en ajoutant celles de la vitesse de choque manivelle ; elle fait apprécier toute la régularité du mouvement produit à l’aide de manivelles triples.

Le mouvement est presque aussi régulier avec des manivelles triples que si les puissances agissaient tangentielleraent à une roue. Mais, dans la pratique, ces manivelles sont inexécutables à cause de la difficulté de maintenir en ligne droite, sans.qu’il naisse des résistances considérables, les appuis d’un arbre quand il y en a plus de deux (et il en faut quatre au moins pour des manivelles triples enarbrées à un seul axe). Nous rapporterons, d’après M. Poncelet, la disposition suivante employée pour tourner cette difficulté d’exécution.

L’arbre des manivelles se compose de deux parties séparées , dont la première porte deux manivelles et l’autre une troisième, de manière que la projection de ces manivelles sur un même plan perpendiculaire à l’axe partage la circonférence abc e n trois parties égales. Un autre arbre AB, parallèle aux premiers axes, reçoit le mouvement du moteur, et le transmet au moyen de deux roues

COMBINAISONS DE MOUVEMENTS

égales qui en engrènent chacune avec deux autres roues aussi égales entre elles, et montées respectivement sur les deux parties de l’arbre de la manivelle triple. Il est évident que les roues mon-

tées sur l’arbre AB auront toujours la même vitesse, et que si, dans le principe, les trois bras de manivelle forment des angles égaux, cette position ne changera pas et les choses se passeront comme pour une manivelle triple ordinaire.

Second exemple. — Vitesse de l'axe pour que le mouvement transtnis par la manivelle soit uniforme.

416. Si la manivelle tourne avec une vitesse variable, si son axe est mené par un second axe qui tourne d’un mouvement uniforme, et que les deux axes soient mis en rapport par un des systèmes décrits pour obtenir des rapports de vitesse variables, les inégalités de vitesse dans la pièce mue d’un mouvement alternatif peuvent être entièrement effacées.

Supposons les deux axes réunis par deux courbes dentées, soit A, la vitesse angulaire constante du premier axe, A, celle du second auquel est Axée la manivelle, soit f> le rayon de celle-ci, 0 l’angle qu’elle fait avec la pièce à mouvement rectiligne alternatif mue par la manivelle, V la vitesse linéaire de cette pièce, on a (art. 294) : V = p sin. 0 A„ quantité constante par hypothèse.

Soient r, r, les rayons vecteurs au point de contact des courbes, par lesquelles les deux axes sont réunis.

^ = — = - — — , c étant la distance des axes;

d’où J- =

p sin. 0 = k rapport constant par hypothèse ;

d’où r, =

cp sin. 0

p sin. G-{- À; ’

équation de la courbe du second axe, d’où celle du premier se déduit comme nous l’avons vu (I).

(1) Comme cet exempta est curieux, cherchons à compléter cette solation.

Puisque V et A, sont constants, ils sont proportionnels aux espaces décrits par la pièce h mouvement alternatif, et par un point distaut de l’unité du premier axe, et comme uno révolution correspondant à une double oscillation, on ■ :

— = — = k, d ou r, = .

A, 7t p sia. 6

c p sin. 0 ir sin. 6

k ° iv sin. 8 -f- 2'

pour déterminer la deuxième courbe. Or, pour la première, nous avons l'équation (page 226) :

Çj jJ} sin.SdO = C — j cos. 8,

'Je — r, 2 J 2

quand 8 = 0 et ", 8,= 0 et respectivement,

donc C— ^ et 6, = î (4 — coa. 8) = £ sin. vers. 8 j enfin r, = c — r,,

ce qui donne la première courbe. Dans la table ci-après, nous donnons assez de valeurs des coordonnées polaires deux courbes, pour qu’on puisso les construire par points.