On peut supposer le nombre des plaques infini, de ma

■Mfiière que les profils des roues forment une surface continue, qui

rtODeontran une surface cylindrique dont les génératrices se-

rcKient pirallèles à Taxe de la première roue, suivant une certaine

oourbc.

Les profils des dents de la deuxième roue formeront de même ^^ne surface continue ; ils rencontreront la seconde surface cylindrique primitive, suivant une deuxième courbe. Les points cor- '^pondants"des deux courbes viendront en contact dans le mouvement des deux roues.

On voit que, dans ce mouvement, les deux surfaces seront à **^que instant en contact par un seul point situé sur une ligne '^Pttisentant un profil de dent sans épaisseur; et après le plus P^it mouvement de rotation , elles seront en contact dans un *^tr^ plan sur un autre profil de dent, également sans épaisseur; ^ i^'y aura donc pas de frottement de glissement, comme Tin- ^^que la formule qui donne l'expression de ce frottement lorsque n ^t n' deviennent infinis, mais seulement un frottement de roul^iOent.

On peut prendre la ligne des contacts (fig. 203) sur le premier cylindre tout à fait arbitrairement; il faudra seulement que la ^gne correspondante sur le deuxième cylindre soit telle que dans te mouvement de rotation des deux cylindres les points de ces Aeia lignes viennent successivement en contact. Pour cela , la

Tig. 203.

première ligne étant prise à volonté , on la développera sur plan tangent au cylindre, puis on enroulera ce plan sur deuxième cylindre. La courbe se trouvera de la sorte couve blement tracée.

Il est plus simple de tracer une ligne dans le plan tangent aux deux cylindres, et d'enrouler successivement ce plan sur ceux-ci; on applique de la sorte la ligne tracée successivement sur le plan sur les deux cylindres, sur lesquels elle engendre deux courbes convenables, puisqu'elle viendront se superposer successivement lors de la rotation simultanée. F mettre ces courbes en saillie et les adapter à des cylindres d moindre diamèti*e que les précédents , on fait passer par celle des surfaces saillantes engendrées par les normales aux cyUné formant le noyau, menées par les divers points de la courbe.

Ces deux surfaces, suffisamment prolongées, repi^ésentent d< dents contmues qui ne se toucheront toujours qu*en un fc situé sur les courbes qui leur servent de base.

La solution la plus simple consiste évidemment à prendre i ligne droite dans le plan tangent, à considérer comme régal la progression des profils que nous avons supposés. La fig. : représente cette disposition de deux surfaces hélicoïdales.

Le contact ayant lieu par une arête , celle-ci s'émoussera Tusage (Ûg. 204 et 200), mais pour de petits efforts Taréte

Fig. 204. Fig. 206.

trouvera remplacée par une partie circulaire pour laquelU contact a lieu à peu près comme surTaréte vive. Gesengrena^

CIRCULAIRE CONTINU EN aRCULAIRE CONTINU. 343 aités par Hooke en 1674, et réinventés de nos jours par ite, sont dits de précision ; le contact n'ayant lieu que par un it, ils ne pourraient, sans s'user très-rapidement, transmettre efforts considérables. M. Bréguet les a utilisés avec succès - fiiire mouvoir des axes avec une vitesse extrêmement consi- ;ble, pour de petits appareils très-légers, de plus de deux e tours par seconde.

our des roues de peu d*épaisseur, les fractions d'hélices, vant se confondre avec de petites lignes droites inclinées 308), sont faciles à exécuter, et pourront s'employer avec ntage dans des machines construites avec soin, dans lesquelles [tetites forces sont en jeu.

jcs fig. 306 et 307 montrent la disposition de roues d'cngre-

Fig. 206. Fig. 207. Fig. 203.

9s plus épaisses construites ainsi que nous venons de Texplir, et en se reportant à ce que nous avons dit précédemment r les autres conditions à remplir par tout engrenage. La isîon oblique sur les pivots qui résulte de Tinclinaison des es des dents sur les axes dans ces roues d'engrenage, en fait âqnefols accoler deux inclinées en sens inverse sur un même e, cm taillées ainsi sur une même couronne. Il peut sembler que Ton eût dû étudier ces engrenages à frot- »w»t de roulement, en traitant dans la première section de

Ui LIVRE DEUXIÈME,

ce chapitre des organes agissant par contact immédiat et i frottement de roulement. Mais il faut remarquer qoe nous ne parlions que des sections planes de rouleaux et de dents cyitedriques; alors il est exact de dire, comme nous Tavons démMH tré , que des cercles peuvent seuls se conduire avee frottement de roulement.

Bans le cas que nous considérons actuellement au contraire, et qui ne pouvait guère être compris qu'après ce que nous avons dit sur les engrenages à frottement de glissement, le contact change de plan à chaque instant, quitte le plan perpendienlaire à Taxe, en un point, pour entrer dans un plan parallèle passant par le point suivant.

Malgré Tavantage de la diminution des résistances passives, ces engrenages ne sauraient être substitués à ceux décrits précédemment, parce qu'ils ne peuvent servira transmettre des efforts un peu considérables, le contact n'ayant jamais lieu que par un point. Il est facile de démontrer que le contact entre les dents ne saurait avoir plus d'étendue, car s'il avait lieu suivant un» ligne, le lieu des contacts successifs engendrerait une surface e non plus une courbe. La section par un plan perpendiculaire Taxe déterminerait donc deux courbes planes, qui se conduiraiecr dans un l'apport de vitesse constant, et cependant ne seraient pa des cercles, ce que nous avons vu être impossible.

ORGANES ou l' ACTION A UEU A l'aIDE d'inTERMEDIAIBES RIGIDE

240. Le mouvement d'un axe à un autre se transmet à Ta^ d'intermédiaires rigides, en adaptant à deux organes du systè^ tour une barre, dite bielle, qui assemble deux points de ceux^en pouvant tourner autour d'eux.

Nous avons établi que (^ vitesses angulaires des deux rayo^m des deux bras des manivelles, sont entre elles^ à c/iaque ijuiaul^ * raison réciproque des segments de la ligne des centres, détermivm par la rencontre de cette droite avec la direction de la bielle.

Comme il évident, à priori^ que ce point se déplace sur la ligfl

CmCULAIRE œNTlNU EN CIRCULAIRE CONTINU. «45

centres, la bielle parait impropre à transmettre la vitesse d*im axe à un autre dans un rapport constant. Cela est vrai pcynr le cas général , mais si le point d'intersection C de la bielle et de la ligne des centimes (flg. 209) est placé à une distance infinie, oe qui aura lieu pour toutes les positions possibles du système, si la bielle dj est parallèle et égale à la ligne des centres B J>, alors les bras seront égaux, les vitesses angulaires deviendront elles-mêmes égales, et leur rapport sera dès loi*s constant. I>aDS tous les autres cas, le point C se déplaçant, le rapport des "Vitesses est constamment variable. Donc , le transport du mou- ▼ement drculaire à distance, par Tintermédiaire de bielles, ne s'effectue de manière que le rapport des vitesses angulaires soit ecHistant que pour des vitesses angulaires égales des axes.

241. La disposition dëgalité entre les rayons des deux cercles B et D répond à deux combinaisons, Tune pour laquelle le rapport des vitesses angulaires est constant, T)arce que la bielle et la ligne des centres sont parallèles; l'autre pour laquelle il est variable, suivant une loi que nous indiquerons plus loin, parce que la bielle et la ligne des centres se rencontrent.

11 arrivera en effet que, lorsque, par la rotation du point d, ce point passera par la ligne des centres, soit en a, soit en *, lextrémité/dc Tautre bras passera en même temps par la même droite aux points ;> ou i. A l'époque de ces deux phases du mouve- ^Ht, les deux positions possibles /rf, A rf de la bielle coïncident; ^ partant de chacune de ces phases, la bielle, abstraction faite ^ l'inertie et du poids des pièces, peut en quelque sorte choisir ^tre ces deux positions. Ainsi, par exemple, en partant de la ^tlon aBjn, le point a se mouvant vers rf, le point f peut ^ s'avancer vers/, cas pour lequel la bielle est parallèle à la

ligne des centres, ou reculer vers A , cas pour lequel la bicUe croisera la ligne des centres jusqu'à ce que le point d soit par* venu en s et le point A en t. A cet instant, le cas d'instabilité se présentera de nouveau, sans toutefois qu'il puisse jamais avoir lieu pour une position quelconque de Brf, prise entre les positions Ba, B«. Les deux phases d'instabilité, pour lesquelles les deux bras coïncident avec la ligne des centres, se nomment les points morts du système.

Lors donc qu'on emploiera ce mécanisme avec l'intention que le rapport des vitesses soit constant, il faudra faire en sorte qu'en passant aux points morts la bielle conserve son parallélisme avec la ligne des centres. Cela aura lieu lorsqu'une résistance considérable s'opposera au mouvement rétrograde de Tune des roues, par exemple dans le cas bien connu des roues couplées des locomotives (fig. 210).

242. Trois moyens se présentent pour atteindre ce but : !• On peut introduire dans le système un troisième bras Ce (flg. 211) égal aux deux autres, dont l'axe sera en outre situés sur la ligne des centres, et dont l'extrémité c devra partager-^ la bielle dans le même rapport que le point C divise la ligne ( centres. Le nouvel axe C peut d'ailleui's être placé entre les ] miers A et B, ou en dehors de A et B et sur le prolongement da cette droite. Il assure toujours également le parallélisme constani de la bielle et de la ligne des centres.

Il n'est indispensable que les axes des trois bras égaux trouvent sur une même droite que si la bielle est rectiligne ^ autrement il suffît, quelle que soit sa forme, que les trois arti-*

CraCULAIRE CONTINU EN CIRCULAIRE CONTINU. 247 calations a,b^c forment un triangle égal à celui des trois ccutro de rotation et semblabiement placé.

et

Fig. 211. F^;. 212.

^-^S. 2» Le second moyen n'exige que deux axes, mais il y a

^^X systèmes de bras. La fig. 212 peut en donner une idée.

**> Rô sont deux axes parallèles portant à Tune de leurs extré-

^*tê5 deux bras égaux AP = BQ articulés avec la bielle PQ;

^ autres extrémités des deux axes portent un système semblable.

vUant à Tangle compris entre les directions AP et ap, il peut

^*^ quelconque, pourvu qu'il ne soit pas nul, mais sa valeur la

*^*'^ convenable est de 90«, afin qu'un système de bras soit aussi

loigné que possible des points morts lorsque l'autre système de

'^H passe lui-même par ces points. On voit, du reste, qu'il est

**^^ifércnt de donner telle ou telle autre forme aux pièces de

'station AP ou ap^ la longueur du bras n'étant mesurée que par

^ distance de Taxe à l'articulation dans le plan de rotation.

& les axes rencontrent le plan dans lequel la bielle se meut,

* i^tation ne peut Jamais être complète si elle n'est fixée à

'extrémité de l'axe, comme fig. 2 ï 2, ou si on n'emploie, comme

*^ te fidt souvent, des axes coudés.

^^4. 3* Le troisième moyen de faire effectuer aux bielles le pas-

sage des points morts est indiqué fig. 213 et 214. Ainsi que le précédent, il consiste dans l'emploi de deux ou plusieurs bras et d'un nombre égal de bielles, et s'applique au cas où les axes Aa, B& sont placés à la suite Tun de Fautre. Des disques de forme convenable, comme C, D, sont fixés à l'extrémité libre de chacun d'eux. Des chevilles sont implantées dans les faces de ces disques sur une même circonférence qu'elles divisent en parties égales; enfin des bielles s'articulent aux chevilles. Les plans de rotation des disques laissent entre eux une distance suffisante pour que les bielles prennent une position un peu oblique (]ui leur permette de passer par-dessus les chevilles d'attache des autres bielles. Le nombre des bielles est d'ailleurs indifférent, deux (à 90°) suffiraient.

245. Frottement. — Le frottement qui s'exerce sur le p<Ai» d'attache, appelé habituellement le bouton de la manivelle, cs=^ facile à évaluer. Si P est la force qui est transmise dans la direc — tion de la bielle, cette force fera toujours porter le bouton de h^ manivelle au fond du coussinet à l'extrémité de la course des- ^ cendante et à la partie supérieure à l'extrémité de la conne ^ ascendante. Dans chacune de ces courses le frottement se sera donc produit, par suite de la rotation, sur une demi-circonféreiioe du coussinet, c'est-à-dire que le chemin parcouru par le frottement sera Trr, r étant le rayon du bouton de la manivelle. Or, la valeur de ce frottement est P/, donc le travail du frottement pour un tour entier sera 27rrP/, valeur en général assez petite, r étant ^ petit.

246. Nous citerons encore une disposition curieuse, dïtejam^ de OdUiam^ que la figure représente, et qui permet de transmettre^-^

Fig. 213.

Fig. au.

Flg. 216.

CIRCULAIRE œNTINU EN CIRCULAIRE CONTINU. «49 pÊt une esj^èce d*artica]ation à glissement, une égale rotation

entn deux axes parallèles qui ne sont pas dans le prolongement roB de l'autre. ^ ^

A a, B 5 étant ces deux axes. Taxe A a

^ (fig. 216) est terminépar une pièce demi-

' circulaire CAc formantdcux branches,

terminées par deux trous forés dans la

direction d'une ligne perpendiculaire a

l'axe.

L'axe B^ est muni d'une pièce semblable DBdj et tout est ajusté de manière que les quatre trous se trouvent dans un plan perpendiculaire aux deux ^"^«s. Une croix à quatre branches polies passe dans ces trous, ^^^nxme l'indique la figure, et ces branches sont de diamètre ^^nvenable pour pouvoir chacune glisser dans les trous qu'elles **^versent. Lorsqu'un des axes tourne, il communique à l'autre Pï^isément la même rotation.

Les glissements (égaux pour chaque demi-tour à la distance des ^Ux axes) le long des branches de la croix , c'est-à-dire norma- ^•ïiaent au mouvement circulaire, ne modifient en rien celui-ci, et ^ deux axes tournent comme s'ils étaient dans le prolonge- ^ent l'un de l'autre et assemblés ensemble. Il n'est pas besoin ^ dire que cet organe n'est que curieux , et que les frottements ^ les torsions qui s'y produisent le rendent tout à fait défec- *^>cnx dans la pratique.

%** Rapport de vlteftwe variable.

Passons en revue les divers systèmes propres à fournir la trans- **^S8ion du mouvement circulaire continu entre axes parallèles ^*iis un rapport de vitesse variable. Les solutions appliquées ™i» le cas d'un rapport de vitesse constant doivent toutes trou- ^'^ici leur application, en modifiant leur tracé par la substitution des courbes de nature elliptique aux circonférences prlmi- "Veg employées dans le premier cas.

247. Tambours elliptiques. — Il semble â priori que dei bours elliptiques pourraient conduire des axes par oo de la même manière que des rouleaux cylindriques. Cela effet possible tant que le rayon du tambour moteur qui par le point de contact va en augmentant; mais quand il nue, il ne peut plus agir par seule pression.

248. Courroies. — Si Ton fait passer autour de cour formes convenables, elliptiques par exemple comme cell nous avons déterminées, une courroie sans fin, on condu deux axes dans les mêmes rapports de vitesse que si les courbes se menaient par roulement.

Il faut remarquer que, la figure formée par la courr restant pas toujours la même, il faut que celle-ci ait ub gueur suffisante et qu*un rouleau de tension mobile ass possibilité de toutes les figures en même temps que Tadhé

Pour les courbes â plusieurs ventres, il faudrait de que la courroie fût astreinte à quitter successivement e soubresauts les divers points de la courbe, et notamme parties rentrantes, ce qu'il serait difficile d'obtenir simpk De semblables systèmes ne sont pas employés dans la prc

Ce genre de communication de mouvement n'est guèr ployé que pour obtenir un grand nombre de révolutio vitesses variables d'un axe pour un tour de l'autre axe, c dans le système ci-après.

A est la poulie motrice (flg. 216), dont le contour est d pour recevoir une corde sans fin. 11 en est de même de la poulie conduiteC. Une poulie mobile D portant un poids ou un rouleau déterminant toujours une tension suffisante, le mouvement sera transmis entre les deux axes sans glissement , et dans des rapports de vitesse variables. En effet, abaissant des deux centres A et C les perpen- ^* '

diculaires A/i, C^ sur la direction de la courroie, le mouv<

prodait est pour chaque instant pendant lequel rien ne se change dans la figure (art. 1 55).

Vitesse angulaire de A Cq r

Vitesse angulaire de C Ap A/i' si une des poulies est circulaire et de rayon r.

249. On obtiendra tous les rapports voulus de vitesse angu* iairede deux arbres par des formes de poulies convenables, en Casant varier les perpendiculaires A/», Cq suivant la loi donnée. T^leest la disposition employée dans les montres, et connue sous le nom de fusée.

I'd des axes porte un tronc de C4)ne entaillé en spirale sur tonte sa hauteur, l'autre, parallèle au premier, un cylindre (fig. 317). Une chaîne qui est enroulée en partie sur chacune des surfaces est fixée par une de ses extrémités à chacune ^"61168. La chaîne enroulée sur le cône, se déroulant de celui-ci pour s*enrouler sur le cylindre, produira un mouvement dont la ^^teise angulaire variera en raison du tracé des spirales.

Fig. 217.

Fig. 218.

^11 peut de même employer deux fusées coniques, au lieu ^iie fusée et d'un cylindre, comme fig. 218.