ORGANES AGISSAIT PAR COISTACT IMMEDIAT

^<So. Les courbes elliptiques que nous avons étudiées étant

'tnilées aux circonférences primitives roulant Tune sur l'autre

^^^ nous avons considérées dans le cas des engrenages, on

^-•^^idra le pi*oblème de transmettre sûrement le mouvement

^*^8 le même rapport de vitesse que si ces courbes roulaient

t52 ' LIVRE DEUXIÈME.

Tune sur i'aatre, en les armant de dents engrenant les unes avec les autres.

. Les dents devront être également espacées, pour que des longueurs égales des ellipses primitives passent au point de contact. Quant à leurs formes, elles se détermineront par les prin* cipes déjà posés, et un point d*une ellipse roulant sur une antre décrira une épicycloïde elliptique. En général une des courbes étant donnée, Tautre sera son enveloppée déterminée par ses positions successives, en raison de la nature du mouvement. Un point d'une courbe quelconque, roulant intérieurement sur une des circonférences primitives de rayon variable passant à cbaque instant par le point de contact des courbes, et extérienrement— sur Tautre, engendrera des profils de dents qui se mèneront^ avec frottement de glissement, et qui conduiront les axes absolument dans les mêmes rapports de vitesse que si les courbes roulaient Tune sur Fautre.

Si, dans le plan tangent aux deux cylindres ayant pour ] les deux courbes elliptiques, on trace une ligne, une droite ] exemple, inclinée sur les génératrices, qu*on enroule ce mên^^ plan autour des deux cylindres, il est évident que, pendant ^Lm roulement de ceux-ci, les divers points des lignes tracées sur 1^3^ deux cylindres viendront successivement en contact. Si docm.^ on met ces deux courbes en saillie, en faisant passer par leax~:s points des normales aux cylindres elliptiques qui forment le noya^a ^ qu'enfin on munisse ceux-ci de dents qui se touchent suivant œ^ courbes, le mouvement sera communiqué dans les conditions voulues et seulement avec un frottement de roulement.

261. Gomme nous Tavons dit, deux ellipses ne peuvent pa.2 se mener par simple contact; ainsi, dans la figure 219, la courir ^ supérieure marchant de droite à gauche , quand le point m aur*^ coïncidé avec M, le rayon vecteur de l'ellipse motrice tendant t à diminuer, le mouvement ne saurait être communiqué fcmi simple pression ; il faut alors nécessairement armer de dents Jftfl moitié du contour des deux ellipses^ comme le représente ^^ figure, pour que la transmission du mouvement ait lieu.

CIRCULAIRE CONTINU EN aRCULAlRE CONTINU. «53

mouvement est ainsi maintenu jasqu'à ce que a ait atteint A , ensuite la position des deux rouleaux rend les dents inutiles, si

Fîg. 219.

Fig. 220.

les pressions sont sufGsantes. Toutefois, comme il peut y avoir

gttssement dans la pratique, et qu'alors la reprise des dents

B^aorait plus lieu dans les rapports de position voulue, on fixe

fBdquefois la position respective des deux roues au moment de

l'engrènement, à l'aide du système représenté fig. 220. Une che-

^te p est fixée à Tune des roues et une fourche n à l'autre, et

^ prise des dents ne commence que lorsque la cheville est par-

^^oe exactement au fond de la fourche, c'est-à-dire lorsque les

^ux roues sont dans des positions convenables.

^^2. La difficulté d'obtenir une paire de courbes elliptiques

est quelquefois évitée par le système

représenté fig. 221. A est une roue

elliptique tournant autour de son

centre B, et dont le contour est garni

de dents; C est un pignon circulaire

garni de dents semblables à celles de

la roue. Le centre de ce pignon n'est

pas ûxe^ mais porté par un levier qui

tourne autour du centre D. Quand A

tourne, le levier s'élève avec le pignon

'"* tourne avec la vitesse correspondante à la longueur du

'•yon qui passe au point de contact. Pour que les dents restent

^'U^Urs dans la position la plus [convenable pour leur action,

*t>ue A porle une plaque qui lui est attachée , et l'axe de C

Fig. 221.

passe dans une rainure de pratiquée dans cette plaque. Gett

rainure est distante de Tellipse primitive de la roue elliptSqo

d'une longueur égale à celle du rayon primitif du pignon , me

surée sur la normale en chaque point. Quand donc la roue J

tourne, la rainure se meut aussi; les dents de la roue et di

pignon restent toujours en prise.

Soit r le rayon de C, R ic rayon de A au point de contact

&>, oi les vitesses angulaires des deux axes, o Tangle de R et :

au point de contact, on a :

Vitesse angulaire de A m R

^7 ^^— r-: ;— ;; = -7 = - cos. 9 ;

Vitesse angulaire de C 0/ r

car r 0) = R 0/ cos. îp : puisque lors de chaque rofetion instantané

les longueurs qui passent au point de contact sont égales àui

arc d'ellipse dont la longueur est ro), et la direction fait Fangl

avec l'élément circulaire décrit du centre A. Ces systèmes, dan

lesquels entrent des axes mobiles, constituent des organes doué

de propriétés spéciales que nous étudierons plus loin en détail

Comme le centre de C fait des oscillations, il est nécessaire en général, de communiquer le mouvement à un axe fixe; poa cela, la roue E étant fixée au pignon C, on fait engrener celles avec une seconde roue F, concentrique au levier. Lorsque J tourne , la rotation de C est communiquée par la roue E à fc roue F, et c'est dans le mouvement de celle-ci que se combinent les oscillations du levier et la rotation du pignon qui lui communiquent exactement le mouvement de la roue elliptique.

253. A une roue elliptique l'on substitue quelquefois um roue circulaire A (fig. 222) se mouvant autour d'un point I durèrent de son centre; on maintient à l'aide d'une barre 1< centre K d'une roue mobile reposant sur la première à la dis tance convenable du centre C, comme dans l'exemple précé dent. Cette combinaison , formée exclusivement de roues ordi naires, est une des plus simples pour varier le rapport de vitesses angulaires.

Appelant e Texcentricité AD, r le rayon A, R le rayon K, 01

CIRCULAIRE CONTINU EN CIRCULAIRE CONTINU. 255 aura pour valeur des rapports extrêmes, maxima et minima des altesses angulaires, le rapport de R à r — e cXr-\-e,

mfiyi'T'

Fi-. 222.

2^4 . Rôties de Roëmer, — Ces roues avaient été proposées par 1 astronome Roëmer pour varier le mouvement dans les machines planétaires destinées à reproduire les mouvements des ^tres. Elles reposent sur le principe que, les roues d'engrena<;e étant en réalité des cylindres, il est facile d'obtenir un mouvement varié en accolant des séries d'engrenages différents, et variant progressivement.

Aa, B^ (flg. 223) sont deux axes parallèles dont l'inférieur est muni d'une roue conique, portant comme à l'ordinaire des flancs dans toute sa hauteur. A l'opposé un cône Dest fixé à Taxe Aa et son sommet d est à l'opposé de celui du premier cône; il est déterminé par la rencontre de l'axe Aa et d'une génératrice du cône C. Pla- Hg. 223. ç^jj^ gm» QQ cône ci^ chevilles, des dents

^'^ûgreuage de forme convenable pour la section par un plan

t56 LIVRE DEUXIÈME.

perpenâiculaire anx axes, à différentes distances du se

on obtiendra les rapports de vitesse que i*on voudra

limites -— et — , R et r étant les rayons des deux faces R. r.

et R. ceux des faces de CL Le premier est obtenu en pli cbevilles faisant fonctions des dents sur le bord de la face large de D , le second sur le bord de celle du plus gran Dans des positions intermédiaires, on obtiendra des ra] vitesses intermédiaires, et par des largeurs et inclinaisoi nables des génératrices, tous les rapports dont on aura 255. Secteurs dentés, — Si, an lieu de varier d*une continue, les vitesses des deux axes devaient être dans des rapports différents dans une partie de leur rota-

tion, on pourrait employer, à cet effet, ^ ^^

la combinaison d'engrenages repré- \^ Tr^^^

sentée figure 224. Deux roues sont ^^^

entaillées dans une partie de leur cir-

eonférence et remplacées par des seg- ^^- ^'

ments d'autres roues montées sur les mêmes arbres,

rayons sont en raison inverse des nouvelles vitesses qx

d'obtenir.

Le grand défaut de semblables systèmes, comprenant teurs d'un plus ou moins grand nombre de roues, rét la difficulté du passage d'une roue à Tautre. L'action « des divei"ses roues ne peut se succéder instantanément î se produise choc et de^ruction des dents, les vitesses rcspondant plus, au moment du changement, aux circonféi'cnces primitives.

256. Le cas le plus remarquable de variation instantanée de rapport de vitesse , et celui qui trouve le plus d'applications, est cdni du mouvement iulcrmiltent, lorsque ia roue

aRCULAIRE œNTINU EN CIRCULAIRE CONTINU. «57 Ksmcnée passe alternativement du repos au mouvement , et vite

On obtient cet effet à l'aide de deux roues dentées ordinaires (fl^. 325)^ en enlevant à la roue menante un certain nombre de de:iit5, comme le montre la figure. En proportionnant les longueurs des arcs garnis de dents à celles des ares qui n*en sont pas munis, on obtient toutes les intermittences voulues de la deuxième roue pour une révolution de la roue menante. Ainsi dans le «as de plusieurs macbines-outils, la roue conduite doit tourner dl*tJoedcnt pour un tour de la roue qui mène; celle-ci se réduit alors à une seule dent, à un crochet qui vient faire tourner la

roue conduite de - de tour, si elle porte n dents. n

Ces systèmes de dents espacées ont un inconvénient analogue

^ celui dont nous avons déjà parlé (art. 220). L'axe conduit ne

s' arrêtant pas instantanément, les dents de la roue B (fig. 226)

peuvent ne pas se trouver en prise avec celles de la roue A au

ïaoment voulu. On peut employer alors une fourche et une che-

^'^He comme précédemment, pour assurer la reprise des dents toujours au même point.

La meilleure disposition de ce genre est celle représentée dans la

'■gure 227. La partie m n de la seconde roue est formée par un arc ^^ cercle décrit du centre de la roue menante, et la circonférence ^e celle-ci est formée d'un cylindre auquel les dents sont inté- *^^ure8 dans la partie dentée qn.Là partie concave mn rencon- ^^^t le cylindre ne peut tourner jusqu'au moment précis où les

dents peuvent se mettre en contact. Cet effet est produit paru cheville adaptée à la roue menante, qui rencontre, au momei convenable, une partie saillante appartenant à la roue condoctrie

l-ig. 227.

disposition qui offre l'avantage de vaincre Tincrtie avant que dents entrent en contact, de reporter ses effets sur un fùseaci une dent de résistance suffisante.

ORGANES AGISSANT A l'aIDE d'INTEBMEDIAIBES RIGIDES.

257. Une bielle servant à la communication du mouvenr^ entre deux axes parallèles engendre un mouvement dans rapport de vitesse variable avec celle du mouvement mXî sauf le cas déjà examiné où la bielle, de longueur égale é distance des centres, et restant parallèle à cette ligne, est i blée à deux bras de levier égaux.

En effet, soient AB, CP (fig. 228) deux axes parallèles placés bout à bout, AP et CQ deux leviers reliés par une bielle PQ, montés à Textrémlté des deux axes. An et G n étant les perpendiculaires menées du centre du mouvement sur la bielle , on aura (art. 1 62) :

Vitesse angulaire de A P Cm Vitesse angulaire de C Q "^ A n' rapport variable en chaque instant, comme la distance d bielle aux axes de rotation et son inclinaison.

CmCULAffiE CONTINU EN CIRCULAIRE CONTINU. 259

iSS. Dans un système de ce genre, la rotation continue de l'un des bras peut communiquer au second bras soit le mouvement circulaire continu, soit le mouvement alternatif que nous •étudierons plus loin. Uun ou l'autre de ces mouvements prend naissance suivant les proportions des quatre côtés de la figure formée par la distance des centres, la bielle et les manivelles.

Nous renverrons pour cette discussion au cas du mouvement circulaire alternatif engendré presque toujours à Taide de la bielle. Nous discuterons alors tous les cas et mouvemer-ts possibles, et les limites dans lesquelles se produit la tr .^ smission do mouvement circulaire continu.

Je donnerai toutefois ici les deux cas suivants :

259. V Nous avons vu que, dans le cas de c!?ux manivelles égales réunies par une bielle de longueur égale à la distance des axes, les vitesses sont les mêmes quand la bielle reste toujours

Fig. 229.

*^^^^lète à la ligne des centres, et qu'au contraire elles sont dans ,^ ïapport variable lorsque, les manivelles tournant en sens ''^^^ne, la Ibielle vient rencontrer la ligne des centres en des

points également variables. Établissons la loi de ce moayemeni

AP, BQ étant ces deux manivelles, PQ la bielle, nous «Yùt\ vu que, lorsqu'elle arrive sur la ligne des centres, il faut un disposition qui assure la continuation du mouvement dans 1 sens voulu, car deux mouvements de sens opposé sont égak ment possibles. Le professeur Reuleaux (de Zurich), qui a fu bleu analysé cet organe de transmission, propose, pour assure la rotation en sens contraire des deux manivelles , de termine une extrémité de chacune d'elles par un fuseau cylindrique, et 1 prolongement de Tautre extrémité par un creux , de telle sort qu'il en résulte une dent d'engrenage en prise seulement ion que la bielle est parallèle à la ligne des centres, condition qi fixe la longueur de la somme des deux appendices.

Le rapport des vitesses dans cet organe est exactement ode qui résulterait de l'emploi de deux roues elliptiques égales , dis posées comme article 169, l'ellipse primitive ayant pour gran axe la distance des centres, et pour excentricité la moitié de i longueur des manivelles.

En effet, nous reportant à la figure 156 de l'article cité, oi voit que, S H étant la distance des centres, foyers des deux ellipses S A = «H , à cause de la symétrie parfaite autour de la tangent qui résulte de la nature de l'ellipse, c'est-à-dire que la longoeui de la ligne qui joint les foyei*s mobiles est toujours égale à h distance des centres, et par suite constante. Si donc cette ligni devient une bielle, et si Ton établit deux manivelles de longueu égale à l'écartement des foyers, on aura nécessairement le mêm< mouvement qu'avec deux ellipses, dont le grand axe Serait éga à la distance des centres, et l'excentricité e = {/a^ — 6^, a et < étant les deux demi-grands axes, égale à la moitié de la Ion gueur des manivelles.

La variation des vitesses s'étendra donc, comme dans le ca cité , de fl -|- c à fl — f, et inversement , donnant un maximun et un minimum , et le rapport s'obtiendra en chaque instant ave facilité, en relevant le point d'intersection sur la ligne des cen très, ou sur la bielle, dont les deux parties seront toujours le

aRCULAlRE œNTINU EX CIRCULAIRE CONTINU. «64

dmx rayoDs vecteurs menés des deux foyci*s au point commun

aox deux ellipses (ftg. 156). La variation de vitesse dans cet

oigaoe montre qu*on ne saurait employer une bielle coupant la

ligne des centres pour rendre solidaires deux mouvements de

ix^tion uniformes, comme on l'a à tort essayé quelquefois.

Quant à la forme à donner aux fourchettes, comme le mouvement relatif des manivelles est celui de rayons de roues elliptiques, elles devront être formées d^arcs d'épicycloîdes elliptiques, obtenus par le roulement d'une des ellipses sur Tautre, I>our les deux points qui répondent au maximum et au minimum. Comme dans ces deux points les rayons vecteurs sont normaux ^lUL éléments de la courbe, il y aura peu de difréi*ence, pour une seule dent, avec un petit arc d'épicycloïde circulaire.

260. 2*" Si, au lieu de réunir par des axes et des tourillons les doux extrémités de la bielle, on rendait un des assemblages mobile, on aurait un système pouvant être disposé de manière que le rapport des vitesses fût astreint à suivre une loi donnée, mais dans lequel le frottement de glissement serait trop grand pour être adopté pour la transmission de forces un peu considérables. Un moJe simple de disposition de ce genre consiste dans remploi d*unc cbeville adaptée à une manivelle et d'une rainure adaptée à l'autre.

Fig. 230. Ijg. 231.

^lent Afl, Bô (fig. 230), deux axes parallèles en direction, ''^^ dont les extrémités sont opposées l'une à Tautre.

A a porte un bras auquel est assemblée une cbeville (/, qui

^^ï'e dans une longue rainure traversant un bras adapté à Tex-

'^^îté de hb. Quand l'un des axes tourne, il communique sa

rotatkm à Taotre, et le rapport des vitesses change sans cesse

avec le changement de la distance de la cheville dh l'axe B 6,

avec le bras de longueur variable de la seconde manivelle.

Soit G le centre de rotation du bras à cheville (flg. 231 ), K le

centre de rotation du bras à rainure, P la cheville, R le rayon

constant du cercle que la cheville décrit autour de G, r le rayon

du cercle K; P se mouvant d*un petit angle de P en/i, traçons

pm perpendiculaire à P K.

Pp 1

La vitesse angulaire de la cheville pc r

La vitesse angulaire de la rainure ~" ^ ce^^^PK,

pK r

car /? m = Vp cos. Vpm :=iVp cos. G P K.

Si donc GP tourne d'une vitesse uniforme, la vitesse de VK.

COS. GPK ^. ^,, .

varie comme . Si G K est petit par rapport à R, oa

peut poser cos. G P K == i ; alors les centres de mouvement étant

proches, le rapport des vitesses se trouve voisin de -•.

G K étant Texcentricité e, le^ plus grandes et plus petites longueurs seront R = r-|-«etR=r — e,\e maximum et le mini-

mum de vitesse correspondront aux rapports , -— r — .

R — € R -|- tf

On peut calculer directement la valeur de l'angle GPK, qui correspond à une position déterminée de G P. En effet :

Posons PGD = 6, PKD = p, GK = c, on a :

R sin. 0

R sin. 0 = (R cos. 6 — «) tang. B ou tang. B = .

R COS. 6 — e

£n altérant la direction de la rainure, ou la faisant courbe, on peut obtenir d'autres rapports de vitesse qui varient évidemment avec la forme de la rainure.

261. Ge n'est pas le plus souvent pour obtenir une loi variable de mouvement en raison des positions de la bielle qu'on emploie ce genre d'organes, c'est au contraire dans les cas où, les variations de vitesse n'étant pas nuisibles, on peut profiter sans inconvénient de l'avantage de la bielle de transmettre le moayement circulaire, en ne consommant pour le frottement qn'one portion minime du travail moteur.

aRCULAIRE œNTINU EN CIRCULAIRE CONTINU. 263

DEUXIÈME SECTION

AjLmê non parallèle».— Rapport de vlte»»e constant.