Comme pour les engrenages plans, le problème à résoudre

pour transmettre des efforts un peu

considérables est d'armer les cônes

primitifs d'aspérités qui les fassent se

mouvoir, comme s'ils se conduisaient

par simple contact. Telle est la dispo-

Fig. 231. sition de l'engrcnngc conique ou rotit

'«t^fcque représente la lîg. 234. C'est par l'étude des mouve-

"*^t8 relatifs qu'on arrive à en déterminer les éléments.

266. Mouvements relatifs. — MS, SC (fig. 235) étant les deux axes de rotation qui se rencontrent en un point S, prenons œ point pour centre d'une sphère; elle renfermera les deux oûms droits déterminés comme nous venons de le dire, ayant leur sommet commun au centre de la sphère, et les coupera suivaiMt deux circonférences de cercle de leurs bases tangentes en m point A correspondant à un point de génératrice de contact des deux cônes.

D'après le mode de construction des cônes, ceux-ci, se conduisant par simple contact, tourneront en raison inverse du rapport des vitesses, et les deux circonférences placées sur la sphère se coQduiront absolument de même que dans le cas des engrenages cylindriques lorsqu'elles sont situées dans un même plan. Des longueurs égales passeront par le point de contact, et les rayons GA, MA, menés par des plans perpendiculaires à Taxe, toorneront en raison inverse des vitesses , comme les plans méridiens SG A, SM A.

La sphère jouant ici le même rôle que le plan fixe considéra dans les mouvements relatifs sur un plan , toutes les propriétés déjà trouvées devront se reproduire sur la splière.

Ainsi, à cause de la symétrie parfaite de la figure et de la nature de mouvement du roulement , on détermine la courl>e décrite par un point d'une des circonférences primitives, en faisant rouler un des cônes sur l'autre immobile; la courbe ainsi engendrée est Vépicydoide sphérique. Une semblable courbe, obtenue à Taidc d'une petite circonférence roulant sur chacune des circonférences primitives, sur l'une à l'intérieur et sur l'autre k l'extérieur, déterminera des épicycloïdes qui , jointes

au centre par des rayons, donneront des surfaces qui pouriontse conduire dans les conditions des engrenages En chaque imrtant

Fig, 235.

ORCDLAIRE œNTINU EN CIRCULAIRE CONTINU. 267 pâlira un point oomman aax deax épicycloîdes, et par suite i éléments de la surface en contact. C'est ce que nous allons montrer ci-après.

Une figure en perspective fait bien voir le mode de génération

épicycloîdes spbériques engendrées par les divers points d'une lératrice, courbes qui conduisent simplement au mode de coniction des dents des roues, et permettent d'obtenir en chaquq tant les surfaces enveloppes et enveloppées qui conduiront les II axes, comme si les deux cônes primitifs roulaient Tun sur itre.

t67. Remarquons que les engrenages coniques seront voisins i engrenages extérieurs si l'angle des plans sections des bases

obtus, et des engrenages intérieurs, et par suite inapplica- !8 souvent, si cet angle était aigu. Aussi l'angle droit est-il la dite inférieure adoptée dans la pratique, et, sauf ce cas, Ton Ht toujours, en prolongeant l'un des axes, s'il est nécessaire, ire foire aux plans des roues un angle obtus. Aj^iqaons les principes exposés aux solutions qui correspon- M à cdles adi^tées par la pratique pour les engrenages plans. >t8. Engrenage à/lafics. — Le flanc étant un plan diamétral cène primitif, la dent conductrice sera une surface conique it il (àut déterminer la forme.

soient SO, SO' (flg. 236) les axes des deux cônes qui doivent mer en se toucliant toujours, suivant une arête S M. Soient tNjMm'N' les circonférences des cercles provenant de l'intertion des deux cônes, par des plans menés perpendiculaiitent par le point M à leurs axes respectifs. 1^ sur le rayon MO' do cercle 0' comme diamètre on déve une circonférence O'', et que par son centre 0'' on élève te perpendiculaire sur son plan, cette perpendiculaire renconm Taxe OS en un point 2.

Si l'on considère ce point I, comme le sommet commun s deux cônes ayant pour bases les deux cercles O et 0'', et ^'<m lasse rouler le deuxième cône (20") sur le premier (20), ^ point de la circonférence 0" décrira une courbe à double

courbure mu/, une épicycUnde sphérique ^ située sur la sphè sur laquelle se meut le cercle 0^ lui-même, sphère ayanls* centre en ]t).

Fig. 236.

Que par cette épicycloîde on fasse passer un cône qui ait 1 point S pour sommet; ce cône sera la surface enveloppe «Toi plan diamétral du cône SO', et devra par conséquent être pri pour la surface des dents du cône SO'. Ce résultat parait évi dent d'après la similitude de la construction employée ave celle usitée pour les engrenages cylindriques; nous altoc prouver au reste que toutes les conditions du problème sont ss tisfaites.

Soit mm" Tare d'épicycloïde sphérique décrit par le point « du cercle 0", à partir du moment où il toucherait le cercle en w, de telle sorte que l'on ait ai*c Mm" = arc Mm,

Prenons sur le cercle 0' Tare Mm' r=arc Mm, je dis que plan SO'm',qui passe par le point m*, est tangent en ce polnf répicycloïde, d*où il suivra qu'il est tangent au cône qoi a point S pour sommet, et pour base l'épicycloïde.

Eu effet la droite xMm", passant par le centre de rotation i: stantanée M, est normale à l'épicycloïde en m*. La droite C • est perpendiculaire sur la droite Mm", car Tangle Mm*(y < ces deux droites est inscrit dans la demi - circonférence < cercle 0*.

aRCULAIRE CONTINU EN aRCULAIRE CONTINU. 269

I-a droite CS fait ua angle droit avec la droite Mm'\ puisqu'elle est perpendiculaire au plan du cercle 0".

Donc le plan S O'm" passe par deux droites SC et O'm*' perpendiculaires à la droite M m^, donc il est perpendiculaire à cette droite; or cette droite est une normale à répicycloïde.

Donc le plan SO' m" est tangent à répicycloïde, et par suite à la surface conique, qui a son sommet en S et qui s'appuie sur répicycloïde. Le plan Sm"M est le plan normal commun au cône SE et au plan diamétral SO'iw*.

Donc le plan normal commun aux deux dents en contact passe par Tarète de contact SM des deux cônes SO, SO'.

Il suit de là que, si cette surface que je désigne par SE est la dent du cône SO, cette dent poussera le plan diamétral S'O'm' da cône SO', et le fera tourner autour de l'axe SO'.

11 reste à prouver que la rotation de ce plan diamétral, et par ^nséquent du cône SO', est proportionnelle à la rotation du côneSO.

Cela résulte de ce que l'arc Mm' déterminé par la droite 0' w* ''ïr la circonférence 0 est égal à l'arc Mm.

£q effet la circonférence 0" ayant pour diamètre le rayon Mcy de la circonférence 0', on a, comme nous l'avons déjà vu ^ rengrenagc à flancs, arc M tn' == arc Mm". Donc arc iIm'=arcMf7i. Or les rotations des deux cônes sont mesurées

r^ ,, arc Mm arc Mm' ^„

'^ttpcctivement par — ~ — et — —, — . Elles sont en raison

averse des rayons R et R' des deux cercles 0 et 0', et conséqoeounent en raison inverse des sinus des angles au sommet des *nx cônes.

269. Engrenage conique à développantes, — En transportant ^cas qui nous occupe les raisonnements qui nous ont conduit i l'emploi des développantes pour le profil des engrenages cylin- ^'^^{Qes, on construira dans les mêmes conditions un engrenage ^Ique à développantes.

Etant donné l'angle de deux axes, OE, OF (fig. 237) se rencontrant au point 0 , imaginons autour de chacun d'eux une

t70 LIVRE DEUXIÈME,

surfoce coniqae dont le sommet soit au point 0, et petit cercle d'une sphère ayant ce même point pour c deux cônes seront représentés sur la figure par les triangles Isocèles AOB, COD; prenons ces bases en raison inverse des vitesses » et w', de manière qu'elles satisfassent k la condition R»=R'»'.

La communication du mouvement serait évidemment établie dans les conditions voulues, en supposant le frottement suffisant) par un grand cercle de la sphère tangent aux deux bases, renfermé dans un plan tangent aux deux cônes.

Si maintenant on suppose que ce grand cercle s*eE cessivement sur chacun des cercles des bases des de un point quelconque de ce grand cercle décrira sui deux courbes à double courbure dites développantes i Ces courbes, considérées comme des dents sans épaissi propres à transmettre le mouvement aux deux cerc par enroulement et déroulement d'un grand cercle, ner de Tépaisseor à ces dents, il sufdt d'Imaginer qi de la sphère parcourt leur coui*bure et de prendre h que Ton voudra de la surface conique ainsi engendrée loppemcnt de ces surfaces a lieu en même temps q leurs traces sur la sphère. Elles conviennent donc i duction du mouvement pendant lequel elles sont eng la pression s'exerce normalement aux surfaces de coni jours à la même distance de Taxe; en un mot Tengn de toutes les mêmes propriétés que l'engrenage cylind loppantes.

270. Nous ne nous arrêterons pas ici sur les engrena] ment épicydoidaux qui se construiraient comme les i en chaque Instant l'épicycloîde du cercle roulant ai

CIRCULAIRE CONTINU EN aUCULAIRE CONTINU. «74

oontact se confondant avec sa tangente en ce point, ce que nous ^venons d'établir précédemment, quand répicycloîde intérieure sw confond avec la tangente, est une droite, s^appliquant égalenrat à ce cas.

271. Construction pratique des engrenages coniq^us, — D'après oc qui précède, toutes les lignes qui entrent dans les engrenages CMmiques étant définies, ce n'est plus qu'une application des principes de la géométrie descriptive d'en déduire tous panneaux et les tracés nécessaires pour la construction. Mais il est inatiie d'entrer dans des détails étendus- à cet égard, vu que, « dans la pratique , on a adopté une méthode simple et suffisamment exacte. Nous ne parlerons en l'exposant que de Tcngrenagea flancs, mais tout ce que nous dirons peut s'appli([uer également aux autres engrenages.

Nous avons décrit Tépicycloïde sphérique par laquelle passe la

Fig. 238.

^**rtice conique qui doit former les dents de la roue 0. Dans la P^tique, ce n'est pas par cette courbe même qu'on termine cette ^^^rttec conique, car les arêtes du cône ainsi déterminées seraient ^inégale longueur (puisque le centre du cône qui décrit l'épicy- ^^ n'est pas au point de rencontre des deux axes; cela a lieu P^ l'engrenage à développantes : aussi la solution approchée

que nous allons exposer est moins inexacte dans ce cas). On termine cette surface conique par la courbe qui résulte de son intersection avec un deuxième cône avant son sommet S. sar l'axe OS (flg. 238) et passant par le cercle 0, le point S» étant déterminé par la rencontre de Taxe SO avec la perpendiculaire à Tarète SM au point M. Pareillement pour le cône SO'.

Les deux cônes (S.) (S\) ont une arête commune, la droite S.MS't et un pian tangent commun suivant cette droite. Us coupent respectivement les deux surfaces qui fonnent les daats des deux roues que j'appelle (SiE) (S'.K"). Si on détermine les deux courl>es d'intersection et qu*on développe les deux cônes S.S\ sur leur plan tangent commun, passant parSiMS',, les courbes d'intersection en question se développeront sur ce plan, et on obtiendra, en les relevant, les panneaux nécessaires pour la construction exacte des cônes (SE), (SE^.

272. Ainsi que nous l'avons déjà dit, on remplace cette construction par une méthode plus simple qui donne nne approximation suffisante.

Dans le développement du cône S, la circonférence 0 (flg. 236) deviendi un arc de cercle de même longueu "m que cette circonférence. La courbée provenant de rintersection du cône S .

par le cône épicycloïdal SE, si on te considère dans une faible étendue, sera dans le plan tangent au cône suivant rareté S» M.

Pareillement le cône S' , développé donnera un arc de cercle égal à la circonférence 0'; la courbe provenant de l'intersection de ce cône S', par le cône SE' qui forme la dent de la roue G', dans une petite longueur (qui sera presque leur longueur totale si le nombre des dents est très-grand, si par suite elles sont petites) sera dans le même plan; il s'ensuit que le tracé des parties qui traversent successivement la ligne de contact doit se rapprocher extrêmement de celui de profils de dents qui ap-

CIRCULAIRE CONTINU EN CIRCULAIRE CONTINU. 273 paitienâraient à un engrenage plan construit sur ces deux arcs comme eercies primitifs.

C*est cet engrenage plan que Ton trace sur une carte flexible que Ton applique ensuite sur les deux cônes S. S', pour former Tengrenage conique, dont le tracé se réduit ainsi à celui cl*uQ engrenage plan, sur les surfaces développées que la flexibilité du papier permet d'appliquer ensuite sur les cônCs; enfin, pour achever la construction, il suffit de faire passer par la courbe tracée des arêtes se dirigeant vers le sommet du cône.

273. Engrenages à lanterne, — Nous n'avons parlé dans ce ^|ui précède que de deux des solutions pratiques, traitons aussi l'autre solution du problème des engrenages que nous avons «étudiée précédemment, dans le cas où elle est possible, celui où les axes sont à angle droit.

Soient deux roues inégales, et dont le^ axes se rencontrent à angle droit. Tune des roues portant des fuseaux cylindriques, l^autre doit porter des alluchons d'une forme particulière. Voyons comment on peut la déterminer.

Soit G le centre de la roue qui porte les fuseaux cylindriques et supposons d'abord les fuseaux réduits à leurs axes ; P A P. est la circonférence primitive qui passe par les centres des fuseaux, et pmA la projection du cercle primitif des allu- I chons de la grande roue que Ton voit en plan (flg. 241). Soient enfin P un fuseau et /m l'axe du solide de révolution avec lequel il est en prise, p Vf la courbe génératrice de ce solide de Fig. 240. révolution dont on voit une section

sor le plan au niveau de Pn.

Posant AC=r,a< = R,wiaf = ©= distance angulaire de /» sur le plan des centres, ACP= 0, wN = j;, NP=y, •/'=p, on a : y = r sin. vers, ô

a? = P n — A m = r sin. 0 — R slu. ç.

Les vitesses aux circonférences devant être égales et les poic^ p eiV coïucider en A , l\irc A P doit être égal , sur le plan v^ tical, à Tare tm sur le plan horizontal , augmenté du rayon i^ de la base, au moins à très-pcui près; donc

rO — p

et X = V sin 0 — R sîn,

Fig. 241.

Ces valeurs de a; et ^ permettront de tracer par points courl>c pVf, et, en rendant au fuseau son diamètre réel, courbe de Talluchon devra être reculée d'une distance égale ff rayon du fuseau cylindrique.

L'alluchon p Vf, en supposant qu il condaisc, ae meut née

sai renient dans la direction de la flèche et s*élofgne du plan

centres. Si Ton (^onsidèrc maintenant le fuseau P., et Talluc'

PiV^f, pendant leur approche de Tautre côté du plan descev

à une distance angulaire 0 égale à la première, la valeur

reste la même; mais on a 9^ étant égal k m,at,

.r, = R sm. 9. — r sm. 0 et 9. = — -p-i ,

on R 9, — rO =r p, au lieu de p = rO — n^.

D'après ces valeurs, comme on voit sur la figure que ou R sin, 9. — r sin. 0 <| r sin. 0 — R sin. 9 ; dès lors :

La courbe /i. P, /, n*est donc pas la même que/?P/, n

CmCULAIRE CONTINU EN CmCULAmE CONTINU. 275

lest bien voisine et est comprise dans ccIIchî. Elle doit étreadop- ^^^, mais alors Tactlon ne se produira régulièrement qu'autant cj^Mlefdseaa sera placé entre ralluchon et le plan des centres. Or «scxune il convient que Faction s'exerce plutôt après le plan des ^scntres qu'en deçà, il s'ensuit que c'est la roue conduite qui doit 'ftVDq'oars recevoir les alluchons, les fuseaux cylindriques devant "i^OQjoars être donnés à la roue qui mène. La fig. 241 montre c^uele lieu du contact des alluchons d'un côté du plan des cen- ■^»», comme en i», est compris à très-peu près dans la partie de l*ailachon qui est intérieure à la circonférence prinûtive, tandis ^Bede l'autre côté du plan des centres, comme en m, le lieu <l€ contact est compris dans la moitié qui est extérieure. On pourrait donc obtenir une action régulière de l'un et de l'autre ^àté du plan des centres en faisant la partie intérieure de l'allu- ^fcon, et la partie extérieure suivant les formes qui leur conviennent, ce qui montre la possibilité pour les roues de champ de transmettre leurs vitesses angulaires dans un rapport constant.

273. Si les deux roues sont égales r =: R , on voit qu'en déplaçant l'axe de la roue inférieure d'un rayon du fuseau adapté à la roue verticale, les valeurs de cp et 0 seront les mêmes , et x = rayon du fuseau sera une quantité constante égale à p, c'est-à-dire que deux séries de fuseaux cylindriques peuvent se conduire, système représenté fig. 242.

Ces systèmes ont le grave inconvénient que le contact n'a lieu qu'en un seul point, que le glisse- ^'^^^^tïi s'opère sur des arêtes ; aussi on ne les en)ploie plus aujourd'hui, ou tout au plus dans des machines où Ton ne transmet *IPe des forces minimes.

Pour on angle différent d'un angle droit, la construction pré- ^^nte ne serait plus suiïisaute, et ii faudrait déterminer directement l'enveloppe du fuseau. Il n'y a aucune raison, dans ce cas ,

Fig. 242.

de chercher une forme plus compliquée que celle qui aux engrenages épicycloïdaux.

275. Glissement, — La considération des axes insta] rotation employée pour Fétude du mouvement de dei comme celle des centres instantanés de rotation pont figures dans un plan (art. 23), permet d*arriver fhdlei: formule qui donne l'étendue du glissement (1). Pour t mouvement relatif élémentaire de la roue (V, par rap roue 0 (tig. 248), nous pouvons supposer qu*on appliqi semble des deux roues 0 , 0' un mouvement oomaiu] contraire au mouvement de la roue 0. Cette roue ser au repos, et la roue 0' sera animée à la fois d'une vi gulaire m autour de S N et d'une vitesse angulaire «^ a Taxe S K. Mais ces deux rotations simultanées équivfti rotation unique, qui se fera autour de la génératrice d des cônes primitifs (car Taxe instantané de rotation pas demment par le sommet S, qui n*est déplacé par aucune de ces rotations, et par le point A, centre instantané de la rotation de la courbe de la base).

II suit de là que la vitesse U de cette rotation résultante sera représentée par la diagonale SH, si les côtés SF, SG sont pris de manière à repi'ésenter les vitesses composan- p^ ^^

tes M et {a\

En effet, si nous menons du point G deux perpend 6T, GR sur les axes de rotation SN, SA, le déplacement taire du point G autour de SN sera GRx<o, et ce sera tion totale puisqu'il ne se déplace pas autour de S N'; d' côté, SA étant Taxe instantané de rotation et û la vites tante, le déplacement élémentaire de G aura aussi poni sionû xGT;donc: GR(i> = GTli.

(1) DeUoiiay, Mécanique,

ORCULAIRE œNTINU EN CIRCULAIRE CONTINU. 277

D'un autre côté, les triangles SF H et S G H sont égaux^ donc

leais sorfoces sont égales, ouSFxGR = SHxGT; donc

û S H enfin — = r-=, donc S F représentant o) , S H, ou la diagonale,

représentera Q.

Appelant a TangleOS A (l|2 angle du cône), a' Tangle O'SA, on aora :

S H = S F COS. a -|- S G COS. a', et aussi : (1 =mcos. a -|-co' COS. a', et la valeur de l'angle décrit pendnnt un temps extrêmement court dt, sera :

( W COS. a + 0/ COS. a' ) rf ^

Désignant par p la longueur de la perpendiculaire abaissée A*iin point M dont on veut évaluer le glissement, sur Taxe instantané de rotation S A , on aura :

p (w COS. ft + w' COS. OL ) di pour le glissement élémentaire de ce point M. Désignons par d$ l'arc inflniment petit de chacune des circonférences OA, Qf k qui traverse le plan NSN' pendant le temps dt et par r, r' les rayons O A, CA de ces circonférences, comme r(orf< = ro/c/^==e/* i" expression du glissement élémentaire du point M deviendra :

p (- COS. a+ ^ COS. a') d $,

27$. FroUement dans les engrenages coniques, — Dans les en- 9^^Qages coniques exécutés avec soin, on a toujours Tattention ^ faire les dents, et par suite le pas aussi petit que possible, de **rte que le mouvement et le glissement des dents Tune sur Tautre ^iit sensiblement lieu comme s^ils se passaient dans le plan tangent aux deux surfaces coniques et normalement à la longueur *adeDt8.

Q étant l'effort transmis à la circonférence de contact, /le ^^cient de fi'ottement, le glissement a été trouvé pour un

^dt: pi:- COS. « + ^ COS. a j ds

^ppdant a et à' les demi-angles au sommet des deux cônes K^\y on aura : a+*' = 180' — 8, 5 étant l'angle des deux

axes, ^expression du frottement pour un arc d^ et un cflb

agissant à une distance à partir du point de contact, dont

a valeur moyenne p est -, a étant le pas de Tengrenage, devii

donc: /Q-^-^+-^]rf,.

L'expression entre parenthèses revient à :

112 COS. a cos. a' sin. 'a sin. V

or COS. 180** — 5 = — COS. o = — cos. a cos. af + sin. a sin. as

de plus comme / est la génératrice du contact, / sin. a =BS

^/ . sin. a sin. a'

/ sin. a' = R' et que par suite — ^ S7~ = ^i ^ expre«lo«

ci - dessus revient à :