1 2 COS. S

2 ir R

donc enfin, comme R : R' = n : n' et a = , la valeur do

travail du frottement pour un arc «, en faisant entrer dans soi

expression le noml)re de dents, peut se mettre sous la Corme :

T,=/0,Vi + i

Or, Qs est le travail dû à la résistance Q pendant le ment de la roue; représentons-le par Tr, on a enfin :

T T / i/^ r ^ 3 COS. a

Tf = Tr /tc V -J + -?T ■ ï •

CIRCULAIRE CONTINU EN QRCULAIRE CONTINU. 279 II. AXES NE SE RENCONTRANT PAS.

OBGANES AGISSANT PAB CONTACT IMSiÉDIAT AVEC FBOTTEMENT DE ROULEMENT.

277. Pour troaver les sffrfaces qui pourraient dans ce cas servir, adaptées aux axes, à les faire mouvoir Tun par Tautre, ^c telle sorte que le rapport des vitesses fût constant et qu*il ne s^ produisit pas de glissement, mais seulement un roulement, ^"MHis reprendrons les considérations relatives au roulement, exposés an début (art. 23 et suiv.).

Noos avons vu (art. 23) que les propositions relatives aux centres instantanés de rotation de courbes sur courbes situées ^^118 un même plan , s'appliquent à une figure sphérique mobile ^'iv la sphère où elle est placée, et qu'elle peut également être ^■nenée d'une quelconque de ses positions à une autre , par un ^OQTement de rotation autour d'un point de la sphère comme P^le, ou, ce qui est la même chose, par im mouvement de rotation *^tour d*un diamètre de la sphère comme axe ; qu'il en est de '^'^^iQe de tout mouvement élémentaire d'une figure sphérique ''"r la sphère, et que tout mouvement élémentaire d'un solide ^^^t un point reste immobile est une rotation autour d'un axe ^iisiantané passant par ce point.

Lorsqu'une courbe mobile roule sur une courbe immobile, soit ^e ces courbes existent seules , soit qu'elles se trouvent tracées '^f les surfaces de deux solides qui roulent l'un sur l'autre, il ^t clair que le point de contact des deux courbes, considéré ^nune appartenant à la courbe mobile, reste en repos pendant '^ Intervalle de temps infiniment petit ; le mouvement élémen- ^re de la courbe mobile ou du solide auquel elle appartient doit donc être une rotation autour d'un axe passant par ce point de contact. Il résulte de là que, si un solide en mouvement touche constamment un solide immobile par plusieurs points, tt s'il ne se produit qu'un roulement du premier solide sur le s«»ûd en chacun de ces points de contact , le mouvement élé-

nientairc du solide mobile est à chaque instant une rotalloa tour d'un axe passant par ses divers points de contact avei solide immobile; et que, par conséquent, tous ces points » nécessairement en ligne droite. Donc, pour qu un solide poj rouler d'une manière continue sur un autre solide immobile contact ayant lieu en un nombre^nfmi de points néceasa ment en ligne droite, il faut que les surfaces de ces deux soll soient des surfaces réglées.

Ce résultat obtenu en conûdérant le roulement absolu esl rectement applicable au cas du mouvement relatif, pnisqu pareil roulement peut toujours être ramené à un roulement solu des mêmes solides, en imprimant à tout le système desdi corps, un déplacement égal et directement opposé à celui de J' d'eux, ainsi mmené au repos.

278. Étant démontré que les surfaces qui peuvent convei sont des surfaces réglées, il est facile de voir que la solution problème, pour un rapport de vitesse constant, ne peut se tn ver que dans remploi de deux hyperboloîdes de révolution < gendres par une même droite tournant successivement autc de chacun des axes. On sait que cette surface est engendrée i une droite qui ne rencontre pas un axe autour duquel c tourne, et auquel elle n'est pas parallèle. Deux surfaces cette nature E, F (fig. 244) tournant autour de leurs axes Aa, I

Fig. 244.

se conduiront par simple contact; celui-ci a toujours lieu long d'une génératrice commune aux deux surfaces; le chan ment de contact correspond au déplacement de la générati

ORCULAIRE œNTINU EN aRCUL\IRE CONTINU. 284

commone lorsque chacun des axes décrit des rotations dans un rapport donné. Tont ceci va paraître très-clair en cherchant à oenstroire le système dont il s agit.

279. Soient Afi^ CD deux axes de rotation (flg. 246), ah^cd leurs projections sur un plan parallèle à tous deux ; g h leur perpendieulaire commune (leur plus courte distance) projetée en M; EF une ligne qui coupe gk tu li^ parallèle au plan sur lequel elle est projetée suivant ef, La ligne E F en tournant autour de AB engendrera un hyperboloïde, et en tournant autour de CD un autre hyperboloide; KF sera par suite une ligne commflbe à ces deux surfaces.

D'an point quelconque Ë de cette ligne, abaissons les perpendiculaires E A, EC sur AB et sur CD, les lignes AË, EC, qui se projetteront suivant ae, re, seront les rayons de deux cercles des deux hyperboloïdes ayant un point E commun.

Fig. 245.

Menant Cp parallèle à c e, on aura E/? = A A* et Cp == re,

d'où EC = Ef + C/i = A A + ce.

On trouverait de même : A E* = gh^ -^ ae^; %\ donc on a tracé la projection efàt telle sorte que Ton ait — =^ -^, on

aura encore d après les égalités ei-dessus -— = —7 , par conséquent les distances de tout point de la ligne E F aux deox ax€S seront dans un rapport constant, et par suite pour une rotation de chacun d'eux en rapport inverse des rayons, des longueurs égales des deux circonférences, dont ces distances sont les rayons, passeront à tous les points communs. Il n'y aura donc que

changement de génératrice commune, et la vitesse angulaire = -,

r et R correspondant aux rayons des cercles de gorge des hyper^ boloïdes. On pourra donc facilement déterminer la projection*!^/ et par suite la position d'une ligne Ë F pour un rapport de vitesses donné ; et les deux axes qui porteront les deux hyperboloïdes qu'elle engendre pourront se mouvoir par contact dans ce rapport de vitesses.

Mais tandis que pour le cas des cônes , les circonférences de chaque paire de cercles qui se correspondent, bien que n'étant pas dans le même plan, se meuvent de telle sorte que les rayons qui passent par le point de contact soient perpendiculaires à la ligne d'intersection des deux plans qui renferment les cercles, et que par suite les deux tangentes au point de contact coïncident avec cette ligne, il n'en est plus ainsi dans le cas des hyperboloïdes.

Les cercles dont les rayons sont C E . A Ë se trouvent dans des plans dont l'intersection est la ligne Ëey les tangentes à ces cercles au point E ne coïncident nullement avec cette ligne ni avec aucune autre, elles sont distinctes; il n'y a plus en réalité roulement, mais rencontre de point successifs des cercles. Si la distance gk est petite, les hyperboloïdes se rapprochent beaucoup d'une paire de cônes dont le sommet commun serait en h.

280. Dans la pratique, dit encore M. Willis, dans le cas qui nous occupe, comme dans celui des cônes, on n'a besoin qae de petites parties de la surface de chaque hyperboloïde , et on peut sans erreur sensible leur substituer une partie de la

CmqjLAIRE CONTINU EN ORCULAIRE œNTINU. S83

dn cône langent an point milieu , qui peut être déterminé

I manière suivante :

►it C K l'axe de Thypcrboloïde, CK = NP = yla moyenne distance au plan G passant par le centre de la partie considérée; KP = CN, la distance à Taxe C K, le rayon ; G A = a le rayon du centre de gorge de l'hyperboloïde et le demi-axe de Vhyperbole génératrice PAF, éléments déterminés par la construction précédente, dans laquelle A E, EG représenteront le rayon moyen, 9, k les centres des hyperboles génératrices, et gh^ hk leurs demiaxes.

loit PTE la tangente en P, on a, d*après les propriétés con-

s de l'hyperbole ,

Fif . 246.

te valeur de C E = ^ donne le sommet E du cône dont sc^ — a

laseestKP.