D'après ce qui précède, la transmission du mouvement

re deux axes qui ne se rencontrent pas, et ne sont pas paral-

I, peat théoriquement avoir lieu comme dans le cas qui a

précédemment étudié, et la solution générale être appliquée,

adhérence au contact suffisait pour surmonter la résistance à

icre. Si elle ne peut suffire, on peut encore (au moins tfaéo-

lement, car les difficultés du tracé de ces engrenages les ren-

t pea admissibles dans la pratique) construire des engrenages

tittement de roulement dont les dents ne se touchent qn'en

point, d'après les principes déjà exposés pour d'autres posi-

18 des axes de rotation. Il faut pour cela enrouler sur les deux

lerbolôîdes une môme couii>e par la rotation de ces sorfaoes

dans le rapport de vitesse voulu , puis habiller ces courbes de manière qu'elles se trouvent sur des surfaces se touchant par ces courbes, de telle sorte que celles-ci ne puissent échapper.

Prenant pour la ligne à enrouler une ligne droite, la coari)e d'enroulement se rapproche de celles étudiées précédemment pour les autres cas. M. Olivier, en les réunissant par un mode de génération commun, les a classées en développantes plane , cylindrique, conique ou hyperboloidique , suivant qu'elles sont tracées sur un plan , un cylindre , un c^ne ou un hyperboloïde de révolution.

282. Soit A un axe vertical (fig. 247), P tfti phm perpendiculaire à cet axe le coupant en un i point 0, traçons dans le plan P un cercle de rayon p ayant son centre en o.

Soit F un fil enroulé sur ce cercle, et au point où le fil se sépare du cercle, imaginons un anneau glissant sur ce cercle et qui permet à l'extrémité libre du fil de prendre diverses direc- ^^** ^*^'

tions. Si l'on donne un mouvement de rotation autour de Taxe :

1*" La partie libre du fil restant dans le plan P et tangente an cercle, un point de ce fil tracera une développante du cercle.

2*^ La partie libre du fil restant dans le plan P et coupant le rayon qui passe par le point d'attache sous un angle constant, un point du fil tracera une développante du cercle qui a pour rayon la perpendiculaire abaissée du centre o, sur la direction du ûl.

3*" La partie libre du fil étant tendue le long de la génératrice d'un cône droit passant par le cercle, l'extrémité décrira une spirale hélicoïdale dont la projection sur le plan P est une spirale d'Archimède (p == a oi). La longueur du fil restant la même pour diaque tour, l'élément hélicoïdal sera d'autant plus incliné sur la génératrice que la section du c6ne sera moindre, que le point décrivant se rapprochera davantage du sommet. C'est bien Teffet que donneraient des roues d'angle considérées comme formées

CTRCULAIRE œNTns^U EN CIRCULAIRE CONTINU. 285

de plans superposés, si on les faisait tourner ceux-ci de quantités égales pour supprimer le glissement, en raisonnant comme précédemment.

4*" La partie libre du fil étant tendue le long de la génératrice d^un cylindre droit passant par le cercle, son extrémité décrira une hélice cylindrique.

S** Enfin si la surface sur laquelle se meut le fil est engendrée fMir la révolution d'une droite faisant avec la ligne A qu*clle ne rencontre pas un angle S, la surface sera un hyperboloïde de ■-évolution , et la ligne tracée par un point du fil appliqué sucsivement le long des génératrices rectilignes, une développante Jk^erboloïdique circulaire.

11 est évident que dans le cas des hyperboloïdes, cette ligne ne

pourrait plus être remplacée par une droite tracée dans un même

iplan tangent commun aux deux surfaces (puisque pour une gé-

xiératrice commune les deux plans sont distincts); le tracé des

^ents offrira par suite des dlfncultés, que Ton n'abordera guère

dans la pratique, surtout lorsque la solution indirecte par une

roue intermédiaire permet une solution facile du problème par

l'emploi des engrenages coniques, ainsi que Ta montré M. Pon-

celet.

283. En effet, soient Aa, B6 deux axes (fig. 248); prenez une ligne con- .venablement disposée qui rencontre les deux axes en C et en D, et servez- vouscn comme d*un troisième axe jouant le même rôle que les deux premiers.

Une paire de cônes de roulement e,/, ayant leur sommet en G, sans qu'il soit nécessaire qu'ils soient accolés, et une autre paire g^, A, ayant leur sommet en D, se mèneront par simple roulement, et finalement la rotation de B & sera communiquée kka par simple feulement.

Soient A, A., a les vitesses angulaires respectives des axes Bft,

Fi<. 248.

CD, Aa, et B,R,,r les rayons des bases de ces cènes on aura : A R, A. r ^. . A r

exactement comme si les cônes e et ^ pouvaimt agir par contact immédiat Tun sur l'autre.

OBGAINES AGISSANT PAB GOINTACT EX AVEC FBOTTBM£lfT DE GLISSEMENT.

284. La solution théorique, fondée sur les principes généraux que nous avons exposés, est toujours possible, et le premier hyperboloïde portant une dent d'une certaine forme, si le deuxième est muni d'une dent qui soit l'enveloppe de tontes les positions de la première, le mouvement aura lieu comme si les deux hyperboloîdes se mouvaient dans les conditions voulues, c'est-à-dire que les vitesses de rotation des deux axes seraient dans le rapport voulu.

Pratiquement, si l'on munit les cercles primitifs de dents de peu d'étendue dont les faces soient tracées suivant les génératrices des hyperboloîdes passant par un de leurs points, elles agiront Tune sur l'autre sensiblement dans les ^ '^' ^^^

conditions voulues; les génératrices qui agiront l'une sur l'autre ayant évidemment la direction convenable. Cette constructi<»i se retrouve dans quelques machines, mais l'exécution complète de répure qui donnerait le tracé exact des dents offrirait des difficultés trop grandes dans la pratique.

En réalité , la pratique emploie exclusivement des roues d'angles Intermédiaires donnant le système qui vient d'être décrit pour les cônes primitifs (fig. 248), soit son équivalent si les roues auxiliaires ne sont pas groupées, sont séparées.

Nul besoin de revenir sur cette application des systèmes pré^ cédents , au point de vue de la pratique.

aRCULAIRE CONTINU EN CIRCULAIRE CONTINU. «87 lis même aa point de vue de recherches théoriques, il n*y a l'intérêt à envisager le problème dans toute sa eomplicar M. Olivier a donné la solution de la question pour un me qui jouit de propriétés particulières importantes fonsur celles développantes. C'est le seul cas que nous examiis et qui, du reste, nous montrera clairement comment il ait opérer dans le cas général.

ns ce système, les dents de Tune des roues sont à déventes et ne difrèreut pas de celles d'un engrenage cylinle; celles de l'autre roue sont formées d'une surface hélile développabie, et le contact a toujours lieu suivant une droite.

5. Cherchons à donner Idée du principe fondamental de la mctlon de ce système et à exposer les données desquelles, à I des procédés de la géométrie descriptive, on peut déduire ticés nécessaires à l'exécution.

la propriété de l'engrenage plan à développantes , que le ict a toujours lieu sur la normale commune, qui est la tan- ! commune aux cercles qui portent les dents, il résulte que fait tourner une des roues autour de cette tangente , les engrenages mus avec la vitesse voulue se toucheront toupar un point situé sur cette tangente commune (1). La pre- ; roue restant la même , cherchons les modifications qu'il «ît faire subir aux dents de la seconde roue, quelle surface lit être engendrée par des génératrices passant par une secfeite au milieu de l'engrenage à développantes fournissant on point de contact, pour que le contact etUt lieu sul\*anl igné droite.

M. Olivier a encore fondé sur cette remarque la construction d'en- ^ à développantes fort curieux. Puisque Ton peut faire tourner une >aes autour de la tangente commune , rengreuage peut être oscillant , b-dlre qu'on peut donner à une des roues deux mouvements de rota- Pau autour de son axe , Pautre autour de la droite des contacts. Les Pts n'ajaut lieu que par un point , les roues doivent so réduire à des i sans épaisseur, ou les dents de la roue osdllante être terminées par ortee-canal.

Traçons Tengrenage plan comme à i*ordinaire, et dans-i: plan MM' (flg. 250) perpendiculaire au premier, traçons 0£ trace du plan de la seconde roue après qu'elle a effectué une rotation autour de la tangente commune. Soient O, o o", les projections des points de contact successifs m^7n\m'\ ils se projetteront sur 0 N, en des points PtP' tp"^ obtenus en décrivant des arcs de cercle du point O comme centre avec les ' fi... 2to.

rayons Oo', Oo". Si donc on prenait pour génératrices des mt faces des dents des deux roues les cordes /i'o% /^'o*, le contae aurait évidemment lieu suivant ces lignes qui passent par le points des deux roues qui viennent successivement en contact Ces lignes formant avec le plan de chaque roue un angle éga à la moitié du supplément de Tangle des deux plans, elles en gendreraient deux surfaces développables hélicoïdales, puisqu Tinclinaison de ces arêtes est constante, et comme elles sont si tuées, lors du contact, dans le pian vertical PP', leurs arêtes d rebroussement sont situées sur les surfaces des cylindres.

286. Insistons un instant sur cette solution, quin*est pas auss simple que celle que nous allons expliquer en détail, mais qui n manque pas d'intérêt. Elle peut être facilement exécutée dans i cas où, donnant peu de largeur aux couronnes des roues, k dents restent sensiblement rectilignes dans le sens de la loc gueur. Elles fournissent le double mouvement de rotation et c progression qui appartient à la vis, comme nous le verrons pis loin , et qui est nécessaire d'après les positions des axes.

Soit P, CQ, = 5 Tangle des deux roues construites comir nous venons de le dire, ou des deux axes des roues; Iok que le contact a lieu et que la dent LM (cachée dans la ' gure) met en mouvement la roue BBi, si nous appelons N pression au point de contact qui s'exerce suivant la norms CN, P la puissance exercée par la roue motrice C, perpendte^ laireinent à son axe, Q la résistance de la roue BB., on aura.

aRCULAIRE CONTINU EN CIRCULAIRE CONTINU. 289 ''état d*équilibre, le mouvement uniforme P = N cos. N G P. = N

sln. a,0=Ncos.NCQ. =Nsin. «., (x4-a. = S,ct- = ?|5liL.

Q sin. «1

M t>4 yii

Fig. 251.

Les lignes de la figure permettent encore de déterminer les ^^^eofs des comj[K>santes R et S qui agissent suivant les axes et ornent on fW)ttcment considérable, principal Inconvénient des ^olatloDS directes du problème des engrenages entre deux axes <|ui ne se rencontrent pas.

287. Revenons à la solution indiquée par M. Olivier. Ainsi que noas Favons dit, ce ne sont pas deux surfaces béliçoïdales qu'on emploie pour former les dents, on trouve plus avantageux de conserver à la première roue à développantes sa forme cylindrique et par suite d*une construction facile.

Dans ce cas, les projections des arêtes passant au point de

eontact deviennent les droites o' (f ^ o"q (fig. 260). Les points />',

JE»*, appartenant à la seconde roue, ne peuvent plus alors venir

eu contact avec les génératrices des dents cylindriques de la

première. Mais si on recule la roue G , si on la repousse sur le

S90 LIVRE DEUXIÈxME.

prolongement de son rayon en G''(déplaeement qui, dans ies engrenages à développante^, n'influe en rien, comme on le sait, sur la forme des dents ni sur le point de contact toujours placé sur le point de rencontre du profil de la dent de la roue qui ne <;hange pas avec la tangente commune) , et qu'on détermine ce pointe en projetant le centre G sur MM', prolongeant jusqu'en C et rabattant par un arc de cercle sur M M' et enfin la portant en C; on voit facilement que les points q\ q" deviennent alors les projections des points de contact /?', p" de la seconde roue, et que le contact des dents aura lieu suivant ces arêtes, qui sont des droites ayant deux points communs o et g sur les deux roues, si on les prend pour génératrices des dents •de la surface hélicoïdale de la seconde roue. Ces génératrices seront des droites inclinées sur le plan de cette roue d'un angle < ^gal au complément de l'angle des deux plans, et formeront une ^ surface hélicoïdale dont tous les éléments sont déterminés.

288. Pour rendre ceci plus clair, proposons-nous de construirez  priori Tengrenage dont il s'agit.

Après avoir partagé la plus courte distance des deux axes qu~ ne se rencontrent pas, en raison inverse des vitesses à obtenir—, traçons avec ces longueurs ou des longueurs proportionnelles , comme rayons, deux cercles; la question se péduit à transmettnp le mouvement du premier au second, ou mieux aux cylindres ayant cea cercles pour base et des génératrices parallèles aux axes, avec la condition que les vitesses angulaires soient dans le rapport voulu.

Nous donnons aux dents de la roue menante pour profils des développantes de cercle ; les dents de la roue menée seront des portions de la surface développable formée par les tangentes à une certaine hélice tracée sur la surface cylindrique appartenant à cette deuxième roue.

Soient les deux cylindres construits comme nous venons de le dire, c'est-à-dire ainsi (fig. 352) : la plus courte distance entre les deux axes ayant été divisée en deux parties OK, O' K inversement proportionnelles aux vitesses des axes; prenons

CraCULAmE œNTINU EN CIRCULAIRE CONTINU. Î94

ocs parties OK,0'K pour rayons des deux cylindres primitifs. ILcsdeax génératrices des deux cylindres parallèles aux deux axes passant au point K, détermineront un plan P, tangent aux deux

cylindres. En effet, ce plan comprendra une génératrice de chacun des cylindres, c'est-à-dire deux perpendiculaires aux parties de la plus courte distance, qui sont les rayons des cercles de 1' w (L ^^^ ^^ cylindres, et qui seront par suite perpendiculaires à ce plan. Pla- Fig. 262. çons, pour simplifier, Taxe du pre-

mier cylindre vertical , et l'axe du deuxième incliné à Thorizon. Dans le plan P menons une droite verticale, enrouions-la sur le deuxième cylindre, de manière à former une hélice. Si Ton f^it tourner ce cylindre autour de son axe, les différents points de rhéliee viendront se placer dans le plan vertical P, et les tangentes à l'hélice viendront aussi successivement se placer dans ce plan ; elles auront alors une direction verticale, car elles feront toutes le même angle avec les génératrices du cylindre, et cet angle est précisément égal à celui que la verticale que nous avons enroulée sur le cylindre fait avec son axe.

Tontes ces tangentes forment une surface développablc, qui a pour arête de rebroussement, Thélice.

Tout plan tangent à cette surface développablc passe, comme on sait, par deux arêtes consécutives, c'est-à-dire par deux tangentes à l'hélice infiniment voisines ; c'est donc le plan osculateur de l'hélice au point commun aux deux tangentes (renfermant deux éléments de la courbe). Ce plan passe par la normale abaissée de ce point de l'hélice sur l'axe du cylindre, ce que nous démontrerons plus loin. Il s'ensuit que ce plan est perpendiealafre au plan tangent au cylindre mené par ce point do Tbé- Uee (1).

(1) Cette démonstration est empruntée aux cours de machines de TKcole Polytechnique, lorsqu^il était professé par M. Chasles (feuilles litliogralihlée»).

D*après cela, le plan osculateur à l'hélice en un point m, situé dans le plan vertical P, est normal à ce plan, puisque! passe par la perpendiculaire abaissée du point m sur Taxe du cylindre, laquelle est perpendiculaire au plan P tangent au cylindre. D*une autre part, ce plan osculateur passe par la tangente à rhélice au point m, laquelle est verticale; ce plan est donc le plan vertical normal au plan P. Or, ce plan osculateur est le plan tangent à la surface hélicoïdale. Donc, dans le mouvement du cylindre autour de son axe, tous les plans tangents à la surface développable hélicoïdale viennent se placer perpendiculairement au plan vertical P, qu'ils coupent suivant les droites verticales.

Maintenant, supposons que le premier cylindre soit armé d'une dent dont le profil soit une développante de cercle qui loi sert de base, cette dent sera elle-même un cylindre vertical; ce cylindre sera toujours normal au plan vertical P, parce qu'une développante de cercle est toujours normale à toute tangente au cercle. Donc, ce cylindre en tournant sera toujours tangent à la surface développable hélicoïdale, qu'il touchera suivant une de ses génératrices.

Ce cylindre poussera donc la surface hélicoïdale en s'appuyant sur elle dans toute l'étendue de sa génératrice, qui, au moment du contact, est dans une position verticale. Cette pression fera tourner le cylindre autour de son axe.

Après un mouvement infîniment petit, ce sera une autre arête de la surface hélicoïdale qui sera dans une position verticale et que le cylindre à base de développantes poussera.

Quand ce cylindre, qui forme une dent du premier cylindre, aura cessé de pousser la surface hélicoïdale qui fonnc une dent du deuxième cylindre, deux autres dents semblables commenceront à être en prise. De la sorte, la transmission du mouvement se fera d'une manière continue, comme dans les engrenages coniques.

289. Nous avons dit que le plan osculateur en un point d'un^ hélice tracée sur un cylindre circulaire passe par la perpeiidicu —

Fig. 253,

laire abaissée de ce point sur Taxe du cylindre. Voici la démonstration 4e cette proposition.

Le plan oscillateur passe par deux tangentes infiniment voisines mt, mH (fig. â53).Que Ton suppose que par le point m on on ait mené des droites parallèles à toutes les tangentes à Thélice, ces droites formeront un cône de révolution autour de l'arête mh du cylindre. Le plan des deux tangentes mt^tnf sera tangent a ce cône. Conséqucmment il sera perpendiculaire au plan qui contient la tangente mt et Taréte tnk^ car celui-ci sera le plan diamétral du cône; or ce plan est Jugent an cylindre. Donc le plan des deux tangentes mt^mtf^ €i*est-à-dire le plan osculateur de T hélice, est normal au plan langent an cylindre. Donc il passe par la normale à ce plan ^ngent, c'est-à-dire par la perpendiculaire abaissée du point m sur Taxe du cylindre.

990. La rotation du deuxième cylindre autour de son axe sera tOQjoui's dans un rapport constant avec la rotation du premier cylindre.

En effet (flg. 254), soit LL la tangente commune aux bases des deux cylindres. Soient n, nf les points où la développante du cercle qui forme la dent du premier cylindre rencontre cette

ZHi

l'ig. 2&4.

droite LL, dans deux positions successives; nn! égal à Tore aaf^ est proportionnel à la rotation du premier cylindre. EE' étant Tarètede contact du deuxième cylindre et du plan P, est rencontrée en m et m' par les perpendiculaires élevées en n et n', et Em

n'y mesarent les distances de deux points de Thélice, qui dans la >tation viennent se placer sur la droite E£', a la base circulaire iU cylindre. Le segment m m% différence de ces distances, est ^portionnel à la rotation du second cylindre; mais le s^* ment nn' est proportionnel kmm!. Nous avons dit que ce dernier était proportionnel à la rotation du premier cylindre. Donc les rotations des deux cylindres sont entre elles dans un rapport constant.

391. On peut, dans ce système d'engrenages, construire des engrenages intérieurs et extérieurs. Ni les uns ni les autres ne sont évidemment à retour ; cela résulte clairement de la forme des dents hélicoïdales. Au reste, cette surface hélicoïdale ayant deux nappes formées par Tenroulement d'une droite autour d'un cylindre sous un angle constant (à droite et à gauche), il sert facile de constniire un engrenage agissant dans un sens, cdoi agissant en sens inverse étant déterminé, et de les assemUer avec nn même axe pour en obtenir le mouvement dans les deux sens.

La savante solution du problème des engrenages entre deux^ axes qui ne sont pas dans un même plan que nous venons d'ex^ pliquer, est due à M. Olivier. Elle n'a pas encore reçu d'appli-cations pratiques importantes; on doit Tattribuer surtout à la difficulté de tracé, et aussi au frottement considérable qu'engea> drerait, sur les collets des tourillons et sur les dents, rinelinaison de la dent hélicoïdale. Aussi dans la pratique préfèret-on employer deux engrenages coniques.

292. Frottement. — On voit facilement que le travail du frottement ne sera plus calculable ici, de la même manière que pour les engrenages coniques ; le chemin parcouru par le frottement sera différent. En effet , le point de contact se meut sur une surface hélicoïdale dont les génératrices font un angle 90'' — d (S étant Tangle des plans des deux roues) avec le plan perpendiculaire au second axe. Le contact ne demeure plus sur une même tangente commune comme dans les engrenages coniques, il se déplace en outre sur un plan incliné représenté par mm'.

. 964. SI 1*011 compare ce qui se passe dans cet engrenage à qui a lieu dans un engrenage conique , où le contact parlirait la ligne nn', il existe donc la relation entre la valeur da min parcouru l par le contact et la rotation a, / sin. $ = a,

le longueur pour un tour devient - — i au lieu de 2 wR. Le ^ ^ sin. a

vail du frottement sera sensiblement celui des engrenages liques multiplié par - — :; , ou :

1^1. /^~~i î 2 cos. l\ 1

u s étant toujours plus petit que 1 , cette valeur du frottement t toujours plus grande que pour les engrenages coniques (indéndamment de celui considérable qui se produit sur les collets

s tourillons) ; pour 5= 30** sin. 8= | et -; — - = 2.

AXES A ANGLE DBOIT.

293. Vis sans fin. — Dans le cas particulier où les deux axes li Be se rencontrent pas forment un angle droit ou pea difrent d*un droit , la solution précédente ramène à un organe kpiemment employé, représenté (fig. 255), compose d'une œ dentée dont les dents sont des développantes de cercle enenant avec une vis à Alets rectangulaires, dite vb sans fin, es dents de la roue et les plans inclinés de la surface hélicoïdale servent à transmettre le mouvement d*un axe à Tautre; en général c'est la vis qui conduit.

Je suppose que Taxe de la vis soit vertical, Taxe de la roue sera horizontal, et la roue, que nous supposerons un instant être un cercle on disque sans épaisseur, sera dans un lan vertical passant par Taxe de la vis.

Ce plan coupe la surface inférieure de la vis (fig. 356) 8iiiv^:i plusieurs de ses génératrices, c'est-à-dire suivant des droites i^^

[tfmf et le cylindre sur lequel sont les hélices extrêmes d^

vis suivant une génératrice m m'.

Regardons cette droite m m' comme la directrice d'une c^""^ maillère (système dont nous parlons plus loin), c'est-à-dire com^^ portant des flancs m fx, m' fx'... perpendiculaires à sa directio,-^ et donnons à la roue des dents ayant pour profils des dévelo^^ pantes de cercle.

Si l'on fait tourner la vis dans le sens indiqué par la flèdi^^ ses génératrices telles que b n, inférieures à am, viendront 8U^=^ cessivement se placer dans le plan de la roue, et se trouvero^^ en contact avec sa dent tiim,; elles exerceront donc sur cet "^ dent une pression de haut en bas, qui fera tourner la roue.

Quand la dent mm, cessera d'être en prise, d'autres deik'^ fonctionneront; de sorte que le mouvement continu de la ir"^ produira un mouvement continu de la roue.

Si le premier est régulier, le deuxième le sera aussi, car Ka^^ parcouru par un point m, de la roue sera égal au segment inter-'^ cepté sur la verticale m w' par deux positions de la roue nmp^ ■■ Ce segment sera la distance, estimée verticalement, entre dec^ génératrices am, ôw de la vis; or cette distance est proportîo"^

QRCULAIRE CONTINU EN aRCULAIRE CONTINU. 297

le à la rotation de la vis; donc la rotation de la rone sera -même proportionnelle à la rotation de la vis, ou

w' : w = A : 2TrR, aatear du pas de la vis, R rayon de la roue; pour un tour