TT R

la vis ou w' = 1 , la roue aura tourné de — j— ou d'une divi-

a, celle-ci sera de longueur égale au pas de la vis. 894. Nous avons supposé que la roue se réduisait à un simple cle sans épaisseur; mais, dans la pratique, les dents devront )ir une certaine épaisseur, et leur face latérale, qui a pour le la développante du cercle de la roue, ne peut pas être peridiculaire au plan de la roue, à cause de Tinclinaison de la faœ de la vis sous laquelle doit se loger la dent. Il faudra mer à cette face latérale une inclinaison semblable à celle de surfhce de vis lors du contact, d'où résultera un contact suiit une ligne. De cette condition résulte, comme nous allons le r, rimpossibilité de la réciprocité du système dans tous les i de la pratique.

kipposons que la puissance soit une force P tangente à la ciriférencc du cylindre sur lequel est tracée Théllce extrême, it-à-dire à la circonférence qui a am pour rayon; et la résisice une force Q qui s'exerce, suivant la génératrice du cont, en m, de bas en haut. Si Ton fait abstraction du frottent, la relation entre la puissance et la résistance sera, pour [uilibre, comme sur le plan incliné , savoir P tang. « = Q , tant l'angle que la tangente à Thélice fait avec la direc- 1 de la force P.

f95. Quel que soit l'angle a , on pourra toujours , en augment la force P, faire fonctionner le système. On peut considérer ient de la roue comme une petite surface K (fig. 257) appliîe sar la surface de la vis et poussée verticalement de bas en it, et la vis comme un plan peu incliné qui ne peut avancer en :foisant descendre cette pièce K qui la presse , et qu'avec i force suffisante on fera toujours descendre. Mais si Ton veut conduire la vis par la roue, il faudra que la

force verticale Q qui presse la petite surface K sur la

DE de la vis comme sur un plan incliné, soit capable de piw^ .^

duire le glissement de cette surface sur le plan malgré le fro^^^

tement.

FIg. 2Ô7. 4

Or nous savons que la condition du glissement d'un corps t un plan, c'est que la direction de la force qui doit le produira fasse avec la normale au plan un angle plus grand que celui àxm^ frottement. Sur la figure, Tangle que la verticale mQ fait avecl^ normale mN est égal à Tangle que la tangente à Thélice , repré — sentée par DE, fait avec l'horizontale ml.

Il faut donc, pour que Tengrcnage soit réciproque, c'est-à-dire pour que la roue puisse conduire la vis, que Tinclinaison de Thélice sur le plan horizontal soit plus grande que l'angle de frottement ; ou en appelant/ le coctlicient de frottement, que l'on ait

Q Q •^' / tang. a

; et comme P/est la résistance duc

au frottement, croissante avec Q, on aura toujours, si cette condition n'est pas remplie, P/-f-P tang. a>Q, quelle que aoit la valeur que l'on donne à Q.

Cette propriété est fréquemment utilisée dans la pratique; presque toujours la vis conduit le pignon , tandis que oelui-d ne peut conduire la vis à cause de la faible inclinaison des fil^s. Elle permet d'employer avec sécurité cette transmission de mouvement dans les machines à élever les fardeaux , par exemr pie, parce qu'on est sûr que les poids soulevés ne pournmt le-

aRCULAIRE œNTINU EN CIRCULAIRE CONTINU. 299 descendre d'eux-mêmes, et en général pour éviter les réactions d"uDe résistance considérable sur une puissance bien moindre qui détermine un petit mouvement.

liOrsqu'au contraire on veut que la roue puisse mener la vis, il faut donner au filet une grande inclinaison qui ne peut être moindre de 45*, et qu'on fait souvent plus grande. La vis a alors plusieurs filets et cbaque tour de la vis fait tourner la roue d'un nombre de dents égal à celui des filets. Ce dispositif est quelquefois employé pour les régulateurs à ailettes des grosses horloges.

296. Frottement. — La vis et la roue dentée donnant exactement en coupe le système dit crémaillère^ que nous allons bientôt étudier, on peut prendre comme dans ce cas pour effort moyen

On frottement /Q-^ =^- — - , puisque a = = h pas de la

^^- Le chemin parcouru par ce frottement pour une division

^est plus a mais /=- — , a étant l'angle de l'hélice avec sin. a

I* ai

* *Xe. Le travail pour une division devient/Q — : — , et pour un

^Ur (en remplaçant o par 2 tu R , et comme Q X 2 ttR = Tr), égal

^/'itTr-: , quantité dont la valeur est d'autant plus grande

V^e a est moindre, étant une quantité plus grande que I,

sw.a

PUsque sin. « est toujours plus petit que 1.

On voit que ce système est peu propre à transmettre de grandes

f<^r<ces, et qu'il s'y produit un frottement qui occasionne une

perte de travail considérable.

297. Vis tangente. — On emploie assez fréquemment une dis- P<^tion désignée sous le nom de vis tangente y qui diffère de la ▼îa sans fin en ce que les dents de la roue sont remplacées par '■^ surfaces enveloppes, en contact avec le filet de la vis suivant mie ligne continue, sur toute la largeur de la couronne cy- »»<irtque.

I^^Uns cette disposition la denture du pignon , au lieu d'être

limitée extérieui*cinent par une surface cylindrique droite, se t:^f' mine par une gorge cylindrique qui épouse la forme de la -^^ sans fin.

Si Ton considère un plan mn perpendiculaire à l'axe du pignc^^'^i il coupera le filet hélicoïdal , dont la génération n'est d'aille^-^^^^^ nullement modifiée, suivant une courbe que Ton pourrait I jours déterminer par points successifs au moyen des méthodes la géométrie descriptive.

Fig. 253.

Fig. 269.

Relativement à ce plan mw, situé d'ailleurs d^une manl^^i* quelconque sur la largeur totale du pignon, cette courbe sct'^^ la dent d'une crémaillère destinée à agir contre la courbe lié^ * Taxe du pignon et dans le plan mn. Cette courbe devrait ô*re Fenveloppe de la première, et la série de courbes semblables ^^ terminerait la surface gauche des dents du pignon.

Sans qu'il soit besoin de recourir à de longs tracés difficiles^ ^ est un moyen d'exécution qui permet d'obtenir facilement !• denture du pignon. Nous verrons plus loin comment M. Oli^^* a généralisé et étendu cette méthode, et montré comment il *•* résultait des formes susceptibles de satisfaire à toutes les coB^^ tions des engrenages.

Après avoir exécuté sur le tour le disque à gorge dans letj^^ doivent être découpées les surfaces gauches qu'il s'agit d'obtenir,

GRCULAIRE CONTINU EN CIUCULAIUE CONTINU. 301

on installe ce disque sur un axe pouvant tourner librement et perpendiculaire à l'axe de la vis sans fin.

Une vis sans fin, en acier trempé, pareille à celle qui doit métier le pignon que Ton veut produire et montée sur un axe, invariablement maintenue dans le plan qui divise en deux parties ^ales la denture gauche, est placée de telle façon que le filet taillant de la vis, entaillée parallèlement à Taxe pour pouvoir souper, presse fortement contre la gorge du disque. On fait alors ^uner la vis d'une manière continue, et son filet se fraye un E^assage dans cette gorge. On continue la rotation de la vis en ^I^prochant successivement Taxe du pignon, au fur et à mesure le l'approfondissement graduel de Tentaille découpée par le filet ie lavis.

Si Ton réfléchit que la vis en travail imprime nécessairement *^ pignon qu'elle découpe un mouvement de rotation , en même '^^^ps qu^elle fait son passage propi-e dans l'épaisseur de ce dis- ^^^, on comprendra qu'après avoir prolongé suffisamment le ^^vail dans les conditions expliquées, le filet de vis doit arriver ^ ^e loger dans Tentaille qu'il pratique jusqu'à ce que son noyau ^i^nne s'appliquer contre la gorge du disque, les parois de Ten- ^^Ile ayant pris successivement la forme exacte des surfaces S^odies voulues.

Quand le pignon est achevé, la vis tailleuse est remplacée par la vis semblable destinée à conduire le pigùon obtenu.

Il est bon de remarquer que la première impression de la vis tailleuse snr le contour du pignon marque des divisions plus nombreuses que ne seront les divisions définitives, lorsqu'elle tFavaillera sur une partie du pignon moins éloignée du centre , lorsqu'elle aura pénétré dans celui-ci. Il faudrait commencer le travail avec une vis semblable à celle qui doit le terminer, sauf que le pas serait plus grand de la quantité dont nous venons de parler.

C'est surtout dans les machines à diviser qu'on emploie les vis tangentes. Comme il importe alors d'avoir beaucoup de dents en prise avec la vis, à ûlet triangulaire ou ûlet carré

(les deux peuvent s'employer), pour pouvoir les ftiire fines, on emploie en général des vis à plusieurs filets, dea trois spires étant également espacées entre les spires de la mière hélice.

298. Spirale. — Au lieu d'employer le filet d*une vis, on ; pour transmettre le mouvement entre deux axes ftdsant an i droit, engager les dents d'une roue dans une rainore tracA un plateau ou une spirale saillante (fig. 260), et telle qne p: (p longueur du rayon vecteur, a> angle décrit); c'est la ^ d'Archimède, qui s'obtient facilement dans les arts, co nous le verrons. Les dents de la roue seront entraînées pi rainures dans le mouvement de rotation du plateau, et écartement sera déterminé par la condition que deux < soient engagées en même temps. Le mouvement inverse ne rait avoir lieu, car il ne se produirait qu'une pression sor de la spirale qui est situé dans le plan moyen de la roue.

Fig. 200.

La largeur de la rainure doit être assez grande pour do

ge aax dents de la roue sous leurs diverses inclinaisons, en rqiiant qu'il doit y avoir au moins deux dents en prise. En int cette précaution, le mouvement peut conserv^er une régu-

saffisante mais non absolue, car pour un même mouveangulaire de la spirale , le mouvement de la roue dentée suivant la partie de la spirale où la dent de la roue est ç6ei mais la vitesse moyenne peut être suffisamment régiipour la pratique. En un tour du plateau une dent aura aé deTintervaile qui sépare deux rainures ou d'une division roue.

B dents de la roue étant des fuseaux cylindriques, les côtés

saillie sur lesquels agissent les dents doivent appartenir à sorfiice engendrée par une droite reposant sur un point de irale, et passant par le centre de la roue à fuseau quand ce ; de la spirale passe dans le plan moyen de celle-ci. Elles rticndront donc à une surface réglée dont la spirale sera rectrice, et dont les génératrices seront inclinées en raison grandeur de la spirale et du diamètre de la roue à fuseaux. Mmstruisant ainsi, le contact des dents et des rainures ra avoir lieu suivant une ligne.

t système, bien que d'une autre nature que la vis sans fin, revient en ce que la spirale d'Archimède a quelque analogie rhélice; elle est engendrée dans un plan comme celle-ci reement aux génératrices d'un cylindre, car l'outil qui la i doit progresser d'une quantité constante pour une même ion.

s firottement sera considérable dans un semblable système, e que pour cbaque tour de la spirale , faisant tourner la

dentée d'une division, le cbemin parcouru par le frotint sera égal au développement de toute la spirale. Cet ap- II na saurait donc servir pour transmettre des efforts connues.

19. Enyfhi de la vis sans fin et de la spirale. — La vis sans st la spirale jouissent toutes deux de la propriété de faire leer d*ane division seulement les dents de la roue pour un

tour entier de la vis ou du plateau. Cette propriété les rend très propres à être utilisées simultanément dans les compteurs don la construction repose sur remploi de systèmes qui peimetten d'obtenir un très-petit nombre de tours d*un axe pour un nom bre très-grand de tours d'un autre axe.

M. Saladin de Mulhouse a combiné le double emploi de œ systèmes pour simplifier la construction de ces compteurs, i cet efifet, il emploie une roue servant à la fois comme roui dentée d'un système et comme vis sans fin, ou comme plateai portant une spirale d'un autre système.

En principe, une roue de 60 dents, par exemple, avançan d'une division pour un tour d'un arbre portant une vis sans fin ou faisant un tour pour 50 du premier, agira de même si si face est entaillée en spirale sur la roue dentée d'un troiidènii axe. Si cette roue porte encore 50 dents, sou axe ne toomen que d'un tour pour 50 tours de la première roue dentée ou A 50 X 50 = 2500 tours du premier axe dont il s'agit d'enre" gistrer les révolutions.

300. Autres compteurs, — La vis sans fin exige, comme le engrenages, qu'on laisse un jeu variable à la roue qui engrëa avec la vis, mais il est à remarquer qu'on a fait de ce jeu u: moyen curieux de construction de compteui*s, au moyen de roua dentées et de vis sans fin, que nous devons .signaler ici. Get^ construction repose sur l'emploi de deux roues /^

qui diffèrent non en diamètre, mais par leur ^' nombre de dents.

Dd est un axe fixe (fig. 261), B une roue tournant autour de cet axe^ G une seconde roue de même diamètre tournant librement sur l'axe Dd, A est une vis sans fin qui engrène avec les deux roues. Figyîei.

Si celles-ci ont le môme nombre de dents, elles se meuvs^: comme une seule pièce; mais si l'une a une ou deux dents ^ plus ou de moins que l'autre (difTérence qui répartie égalemcr change seulement le jeu, et n'empêche pas l'action de la vis), ■

Bczil

ORCULAIRE CONTINU EN CIRCULAIRE CONTINU. 305 ^^■^"tr^itlons des deux roues seroDt différentes, car, comme les ré- "^^^liitions de la vis font traverser au plan des centres le même ^^^*iibre de dents de chaque roue dans le même temps, il faut* ^^^^, qaand Tune d'elles a fait une révolution complète, l'autre ^^t: fait plus ou moins d'une révolution, en raison du nombre ^^ï=^ dents manquantes ou excédantes.

% a N dents, G en a N + wiy pour un tour de la première il ^^■^sera N dents de chacune ces roues à travers le plan des cen- ^*^^s, et la différence des deux rotations, la rotation relative de ^ roue G sera N4-^ — N=wi.

Cette disposition est employée pour compter les révolutions

^^ tm axe, en attachant une aiguille h à Taxe de B, et en traçant

^^ cadran sur la face de G. Cette aiguille B marche très-lente-

*^«iit par rapport à G , et peut par suite enregistrer un grand

^^nnbre de tours de À. Si, par exemple, B a lOO dents et G 101,

**«îgaine fait le tour du cadran pour le passage de 100X101

^ents des deux roues à travers le plan des centres, ou pour

1 0,100 tours de la vis.

E?tGBEKAGKS TAILLES PAR UNE VIS ET S0> ÉCROU.

Nous terminerons la théorie des engrenages par F indication d'un curieux système auquel Tétude de leur théorie générale a conduit M. Olivier, et qui est une généralisation du système de la vis tangente (art. 296).

Nous allons d'abord résumer, d'après lui, à un point de vue très^général , la théorie des engrenages.

301. Concevons deux axes A et A. placés arbitrairement dans Fespace fun par rapport à l'autre (fig. 262) (1). Ayant construit les cercles primitifs G et G. , imaginons un plan Q de position arbitraire dans l'espace, mais passant par le point x commun aux deux cercles, et traçons dans ce plan Q un cercle D, passant par ce même point rr, mais ayant pour centre un point quel-

(l) Cette théorie est extraite de l'ouvrage de M. Olivier, Théorie géométrique de» engrenages,

conque b du plan Q; imagiiMms enfin un axe B passant centre b du cercle D, et perpendiculaire au plan Q de ce

Fig. 982.

Cela fait , enroulons un fil sur le cercle du pœnt/josqu^'ai point X, puis sur le cercle D du p(^t x au point K.

Enroulons un second fil sur le cercle G. du point/, juum^ 'as point Xj puis sur le cercle D du point x au point K.

Il est évident que si je fais tourner le cercle D autour de sm axe B dans le sens indique par la flèche a,, les axes A et; A, tourneront sur eux-mêmes avec les vitesses convenables v et r. ; rouleront Tun sur Tautre en tournant, le premier dans le sens indiqué par la flèche n, et le second dans le sens indique park flèche n,. Et ces cercles rouleront directement l'un sur fautre, sMIs ont même tangente au point x, et rouleront angulairemeni Tun sur Tautre, s'ils ont en ce point x des tangentes difTérenla.

Cela posé, concevons une surface 2 fixée d'une manière invariable au cercle D, et concevons qu*à Taxe A soit fixée une masse de matière M, et qu'aussi se trouve fixée à Taxe A, one matière M,. Pendant que le cercle D tournera autour de son axe B, les masses M et M, tourneront autour des axes A et A„ le rapport de leurs vitesses angulaires étant constant et égtl

à — ; en même temps que la surface 2 se mouvra dans i'eqptee»

entraînée qu'elle est par le cercle D.

Et si Ton considère la surface 2 comme outil, cet outil S feit

sssivement son logement, soit dans la masse M, soit dans asae M. ; ces logements successifs que Ton obtiendra en feimouvoir le cercle D formeront une surface ^ fixée à l'axe A, De surface ^, fixée à Taxe A., et ces deux surfaces envers, qui évidemment auront l'une et Tautre la surface 2 pour ^,oppée commune, seront telles, que supprimant le cercle D surface 2, elles se conduiront uniformément.

1 surface 1 se met à chaque instant du mouvement en conavec la surface <P, par une caractéristique Ç , et cette sur-

2 se met aussi à chaque instant du mouvement en contact la surface 4>, par une caractéristique S. ; en général les

bes ; et 5. seront des lignes différentes et distinctes, et

me elles sont toutes deux tracées sur la surface 2, en gêné-

elles se couperont en un point; par conséquent, diaprés ce

e de construction , on peut dire que les dents de Tengrenage

î toucheront que par un point.

!8 engrenages sont dits de précision, et l'on voit qu'ils de»

Dent de force, dans le cas particulier qui n'eât autre que le

e de solution employé jusqu'ici, lors(|ue Ton suppose que le

le D se confond avec l'un des cercles C ou C.

s cette théorie tout à fait générale, nous pouvons descendre

cas particuliers, car la surface 2 pouvant être une surface conque, on peut prendre pour surface 1 un plan Xj et dès

comme l'enveloppe de l'espace parcouru par un plan est ours une surface développable, les deux surfaces 4^ et «t». Dt développableS) et dès lors d'une constroction plus facile i la pratique.

e plan Q, sur lequel est tracé le cercle D, peut faire avec le i du cercle C, un angle arbitraire a% et en même temps la e de ce plan Q sur le plan du cercle C peut faire avec le JXàoxde ce cercle € un angle arbitraire €\ on peut donner lacun des angles a et 6, suivant que l'on considère l'un des s cas axes parallèles^ axes qui se coupent, axes non situés dans même plan, une valeur particulière et telle qu'elle amène des iplifications dans la construction /^ro^ue de l'engrenage.

On peut en dire autant du cercle D , car on peut prendre i centre h partout où Ton veut sur le plan Q, on pourra donc donner une position particulière et telle qu'elle permette m. plus de simplicité Vépure qui doit servir à construire le relifj

Fig. 263.

On peut aussi tracer le cercle D avec un nivon plus ou mc^:^^'» grand, le rayon du cercle D peut même être infini, et dès ^fon te cercle devient une ligne droite L (fig. 263) passant par'*' '^ point j*, et pouvant avoir dans Tespace une position arbitra'**''* par rapport aux axes A et A.. C'est ce que nous supposer^^*** dans ce qui va suivre.

302. J)e r exécution mécanique d'un nouveau genre éffiijr^*' nage. — Nous allons voir comment la considération d'une s^ face, qui par ses deux enveloppées détermine les formes dents, va nous permettre de construire un genre toutnouvc d'engrenage auquel il eût été bien difficile d'arriver par toi autre considération. Étant donnés Taxe A et Taxe A, leur pr***** courte distance /, et la droite L faisant un angle a avec Taxe -^^ concevons qu'une surface 2, s'étant mue parallèlement à e^ même le long de la droite L, ait pris les positions S 1' S" . équidistantes entre elles; la distance entre deux positions et mesurée parallèlement à la droite et égale à une quantité *.

Le cercle C de rayon p aura sa circonférence 2 tt p égale à f^"* ' et nous supposerons que h soit tel que m se trouve un nonfc*-^'* entier.

Cela posé, chaque surface 2 2' 2*1" engendrera une sur<^^^

Ll«-

Circulaire continu en aRcuLAiRE continu. 309

F-eloppe 4^^*^"^" dans le mouvement déjà décrit, et l'on

"a ainsi m surfaces enveloppes placées sur le contour du cer-

C et angnlairement équidistantes.

Le cercle C, du rayon p., aura sa circonférence 3 7rp. égale

0 V lA, et n sera un nombre entier, en admettant que — = — *

P- V t un nombre commensurable.

Cela posé, chaque surface 22' 2" 2'", engendrera de même e surface enveloppe <1>. <!>/ ^/\ et Ton aura ainsi n surfaces ^eloppes placées sur le pourtour du cercle C, et angulairesnt équidistantes.

Et si nous adnlettons que le système étant en repos, les coues de surfaces <l> et <l>. , <!>' et */, <I> et ^'\ se trouvent en con- Gt, il s'eni^uivra qu'en faisant mouvoir les axes A et A. avec » vitesses respectives V et V, les surfaces «ï> et 4>, , O et ^/, **et 4>.% se conduiront uniformément en restant en contact sndant un trajet plus ou moins long, et que loi^que 4> et 4>. ' quitteront (immédiatement après, ou un peu après, ou un peu i^tat, suivant la longueur du trajet pendant lequel <I> et 4). *ovent être en contact), les surfaces <!>' et «!>/ se mettront en ntact et ainsi de suite.

On voit évidemment que nous obtenons ainsi un véritable engage composé de deux roues dentées et dans lequel les deux es ne sont pas situés dans le même plan. n s'agit de réaliser ces conceptions théoriques. ^ur cela il faut remarquer que si nous engendrons la surface iiQ moyen d*un outil V terminé par la face convexe de la sur- ^ £ (supposée jusquHci sans épaisseur), nous devrons engen- ^r la surfoce <l>, au moyen d*un outil V., terminé par la face ^eavede 2; en d'autres termes, Toutil Y sera Tépreuve dont Util V, sera la contre-épreuve^ ou Toutll V sera le relief dont Util V. sera le cretuc,

Xjbl vis et récrou de cette vis nous oiri*ent dans les arts les seuls tils dans lesquels ces deux surfaces se rencontrent; la vis ^gulaire notamment va nous fournir une solution facile.

ZiO LIVRE DEUXIÈME.

Nous placerons Taxe de ia vis V dans la direction de la drc^-f Mte L, et cette vis Y taillera sur le pourtour de la rondelle les verses surfaces <t<l>'il>"<l>'". Ensuite nous placerons Taxe récrou dans la direction de la droite L, et cet écrou Vi tailleir^ ^^ sur le pourtour de la rondelle cylindrique C. les diverses surr^ *'* faces 4>,a>/,4>/',a>.'.

303. En efifet une vis se trouve composée d'un certain Dombr^**^**^ de spires équidistantes entre elles; de plus, nous savons par lcs>^ '^ pratique des arts, qu'une vis triangulaire, transformée en u!C3K*^^^ outil propre à tailler, dit taraud, au moyen d'entailles faites snrv^^^^ les surfaces supérieures et inférieures de chaque filet, taille par— '■»^^faitement une rondelle métallique: c'est par ce moyen qae l'oncKOon construit V engrenage à vis sans fin.

De plus, on sait que pour que la vis puisse tailler.la rondelle^ ^^le, il n'est pas nécessaire que Taxe A de la rondelle et Taxe de la visf ^^^ifk soient à angle droit; ces deux axes peuvent faire entre eux udt^uub angle aigu. Seulement il faudrait, par l'expérience, détermine <^».ier la limite de Tangle aigu sous lequel la vis peut encore tallle^^» et avec facilité, car il est clair que lorsque Taxe de la vis est i rallèle à Taxe A de la rondelle, celle-ci ne peut plus être tailk par la vis.

Voyons maintenant à nous servir de l'écrou de la vis denter la rondelle.

Si le diamètre de G. est plus grand que le diamètre de récroc=3« il faudra évidcr la rondelle C, et lui donner la forme d'on neau; ensuite envelopper cet auneau par l'écrou, et en ; l'écrou contre la surface extérieure de cet anneau , on] à tailler et denter cette surface extérieure.

Il faudra ensuite monter Tanneau sur l'axe A pour fermer ^' roue G,. Gettc opération auxiliaire est évidemment inatilesi ^^ diamètre de la rondelle est plus petit que le diamètre intérieur ^'* récrou. Le rayon de la rondelle C. devra être égal à p, -}- î, a» |p • étant égal à n//, n ét<mt le nombre de dents que la roue C, d^^' ^ porter, h le pas du lilet de 1 écrou, et li la profondeur de ^^^

SM. L'exëcutkm mécanique de cette idée constituera une ma-

chfaiie Aoavdle et destinée k tailler un engrenage; Time des roues

Aaiit dentée au moyen d'un Tis triangulaire, Vautre roue étant

dentée an moyen de Fécrou de cette vis.

Éyidemment Fexécution d*une telle machine est possible ( 1 ).

Examinons maintenant comment on devra mettre en présence

les roues G et Ci, taillées et dentées au moyen de cette machine,

pour former un engrenage.

Li*axe de la vis pourra fai^ avec A de la rondelle à tailler C iMn angle aii>itraire a. Cet angle une fois choisi, Taxe de Técron clevra fidre avec Taxe A. de la rondelle à dent C. un angle égal À (a — ^)j ^ étant Tangle que les deux axes A et A. doivent faire ^antreeox.

Ainsi les deux axes devant être parallèles, Tangle € sera nul, ^t Taxe de Fécrou devra faire avec Faxc A. le même angle « que 1 ''axe de la vis feit avec Faxe A.

On pourra donc construire un engrenage extérieur composé ^e deux roues dentées et aptes k transmettre le mouvement de cotation entre deux axes parallèles, ou entre deux axes faisant «itre eux un angle ê, lequel pourra varier de 0 à 90*.

On Yott aussi qu'ayant construit une roue dentée C , on pourra «Kqpoaer antour de cette roue une suite de pignons G. C, C3, de rayons différents, ou, en d'autres termes, portant un nombre différent de dents; ainsi G. un nombre m. , G, un nombre m., Cl un nombre «13, tels que leurs axes A. , A, A3 ne soient pas litoés dans un même plan avec Faxe A de la roue centrale G, et telles encore que les axes A et A. feisant un angle ^.; A et A, on angle €. ; A et A3 , un angle €3, les angles 6. 6, €3 étant égaux ou Inégaux.

S06. Noos <ri>tenons donc ainsi un engrenage dans lequel une raoe dentée G pourra conduire en même temps une roue dentée conique G, , une roue dentée cylindrique G, , et une roue dentée

(1) On peot voir cette macliine au Conservatoire des Arts et Métiers, poor lequel M. Olivier l*a fait exécuter diaprés ces principes.

hyperboloïdique C3, car tout ce que nous avons dit est indépe dant des positions particulières des axes et tout à fait génén Dans ce système : 1° Taxe A, de la roue catiiqueC» pourra coup l*axe A de la roue C. sous un angle \aria])le et en un point ¥ riable; 2° l'axe A, de la roue cylindrique Ca ne pourra pas et plus ou moins éloigné ou rapproché de l'axe A de la roue i mais, 3*" Taxe A3 de la roue hyperboloïdique C3 pourra être pi' ou moins rapproché ou éloigné de Taxe A et de la roue C, pourra faire avec cet axe un angfe variable; cela a lieu par que dans le premier et le troisième cas on peut faire tourner roue Cl ou la roue C3 autour de Taxe de Fécrou ou de l*aze < la vis dont on s'est servi pour tailler cette roue C. , puisque forme des dents, qui ne dépend que du rayon du cercle primil et de la forme de la vis, ne sera en rien changée par cette r tation.

On doit ajouter que les variations qui peuvent avdr Ui l*" quant à l'amplitude des angles que ces actes peuvent M entre eux , et 2<* quant h la grandeur de la plus courte distan qui peut exister entre ces mêmes axes, ne peuvent avoir 11 qu entre certaines limites; mais quelque restreintes que c limites puissent être, suivant les cas particuliers, les variaUa permises offriront toujours, dans la pratique, une grande faciL pour la pose des axes et la disposition des mécanismes.

Remarquons encore que ces engrenages sont à retour. En éB* le filet de vis étant terminé par deux surfaces, si nous désigna la nappe supérieure par x et la nappe inférieure par 2, les vei*ses spires ^x j'^l^^^c'^^^ût naissance, sur la rondelle, a surfaces enveloppes 4>, <!>' «K, et les spires £ If ^L*' aux snrft* enveloppes H, II', U", Comme il en sera de même de la roueden. au moyeu de 1 ecrou, suivant le sens du mouvement, ce sers les surfaces 4>,4>',<I>^ ou les surfaces II, n',ir qui agirai mais toujours dans les conditions voulues.

306. Engrenage intérieur. — A première vue, il semblés que l'engrenage intérieur doit être construit par les mêmes p cédés mécaniques que ceux au moyen desquels l'engrenage em

CIRCULAffiE CONTINU EN CIRCULAIRE CONTINU. 343

eur a été obtenu, et qu'ainsi ii suffira de denter la surface itérieure de l'anneau au moyen de récrou , ainsi qu'on avait snté sa surfoce extérieure lorsqu'on voulait obtenir l'engrenage ctérieur.

Mais avec un peu de réflexion, on voit que dans ce cas. Téx>u ne pourrait tailler des dents; car à mesure qu*il travaillelit et qu'on renfoncerait dans l'anneau , il détruirait le travail recèdent, et, en définitive, on n'obtiendrait qu'une surface cyndrique concave et non pas une suite de dents. Un exemple rès-simple peut faire concevoir qu'il doit en effet en être ainsi.

Supposons que l'on veuille construire en relief deux surfaces yltndriqoes, Tune convexe et l'autre concave. On pourra touvars considérer la surface convexe comme l'enveloppe d'un outil }lan d'une largeur arbitraire; mais la surface concave ne pourra ttre considérée que comme l'enveloppe d'un outil plan d'une argeur infiniment petite, en d'autres tenues, que comme en- ^drée par une ligne droite. De sorte que si la surface con- »ve ne peut pas être engendrée mécaniquement par une ligne Iroitè, et que l'on ne puisse employer comme outil qu'un plan i'une largeur donnée, il faudra, pour obtenir cette surface conave, construire la surface convexe et prendre la contre-épreuve de cette surface pour obtenir la surface concave demandée.

Tel est, en effet, le moyen qu'il faudra employer pour obtenir l'engrenage intérieur destiné à transmettre le mouvement de rotation entre deux axes non situés dans le même plan , du moment qu'on veut employer comme outils une vis triangulaire et son écrou.

Il est évident que si l'écrou ou la vis, en travaillant la surface intérieure d'un anneau , pouvaient denter cette surface, la forme de la surface de la dent obtenue serait la face concave de la sur- Cmc 4», ou ^, dont on obtient la surface convexe en dentant la sarfoce extérieure du même anneau au moyen de l'écrou ou de la vis.

On devra donc, pour construire l'engrenage intérieur, employer l'un des procédés suivants :

V Dentcr la surface extérieure de la petite roue intérieure C au moyen de la vis; puis denter la surface extérieure de la roue G a au moyen de Técrou, tout comme si Ton voulait exécuter un engrenage extérieur; et enfin prendre la contre-épreuve C« de la roue C; retourner sens dessus dessous la roue C, et la présenter à la roue C ;

2"* Ou denter la surface extérieure de la petite roue intérieure C au moyen de l'écrou; puis denter la surface extérieure de la roue C. au moyen de la vis; prendre la contre-épreiwe G, de la roue Cl ; retourner sens dessus dessous la roue C. et la présenter à la roue C.

Ce retournement est évidemment nécessaire, puisque la surface des dents prend naissance autour d'une roue dentée, obtenue en faisant tourner de 180<* la roue intérieure autour de Taxe de la vis (c'est à cela que revient la construction indiquée), fl faudra donc répéter eu sens inverse cette opération en retournant la roue.

307. Si après avoir denté une roue C au moyen d'une vis V, on suppose que la vis V tourne sur son axe B, elle aitrainera la roue dentée C et la forcera à tourner autour de son axe A; on aura alors l'engrenage à vis sans fin, la \is tangente donnée plus haut; les angles des deux axes pourront différer d'un angle droit.

308. Du frottement dans cet engrenage. — Les dents sont) comme nous l'avons dit, toujours en contact par un point dans le système d'engrenage qui vient d'être décrit. Ce sont donc des engrenages de précision et non de force, se touchant par une ligne.

Le frottement développé par le travail de l'engrenage sera on frottement de glissement angulaire, lorsque les axes A et A, ne seront pas situés dans un même plan, et feront entre eux un angle é plus ou moins aigu, et un frottement de glissement es — rect, lorsque les axes A et A. seront parallèles ou se eouperoD^^ sous un angle 6 aigu ou droit; en d'autres termes, lorsque ce^H deux axes seront situés dans le même plan.

Le frottement ne sera pas de roulement, car les eonditkHC^^

pour que le ûrotteoient soit de cette nature ne sont pas satisfaites.

OBGANES AGISSANT A l'aIDE d'iINTERMÉDIAIBES FLEXIBLES.

309. Les courroies servent à transmettre le mouvement dans an rapport de vitesse constant entre deux axes disposés d*une manière qnélconquc^ns Tespace. Nous avons vu la disposition qui convenait dans le cas de deux axes parallèles; elle conviendraif évidemment encore dans le cas d'une disposition quelconque des axes, si les courroies pouvaient passer du plan d'une poulie perpendiculaire à Tun des axes à cçlui d'une deuxième poulie disposée semblablenïent pour l'autre axe, sans écliapper, quand l'obliquité de la traction devient sensible, de la gorge des poulies. C'est ce qu'on empêche, grâce à la flexibilité des courroies, à l'aide de poulies-guides, employées acoessoiremmt k celles montées sur les axes de rotation , et qui permettent à la courroie d'exercer son action sur les poulies dans le plan de cellesci, et, par suite, sans tendi'e à l'abandonner.

SIO. Ainsi une oourroie exerçant son action suivant la ligne À/(fig. 264), si Ton veut que cette action se continue suivant une ligne B ^, disposée d'une manière quelconque dans l'espace, par rapport à A/; il suffira de joindre deux points /et </, et dans les deux plans A/^r, Bgf de placer aux points /et </ deux poulies-guides. Il est clair que la courroie, suivant la direction \f(j B transmettra son action de A/ en B^; les deux brins sortant de chaque poulie seront toujours dans le plan de celle-ci, et, par suite, ne tendront Fig. 261. nullement à l'abandonner.

Best, d'après cela, toujours facile de transmettre, à l'aide d* nue courroie sans fin, le mouvement entre ^eux axes disposés ^*uae manière quelconque dans l'espace.

'^optons perpendiculairement à chacun des deux axes deux

cercles (fig. 265), dont -les rayons soient dans le rapport do^ des vitesses. Soit c(/ la ligne d'intersection des plans de ces deux cercles; prenez sur cette ligne deux points c et d, et de chacun de ces points, menez udc tangente à chaque poulie.

L'ensemble ecghdf indiquera la disposition qu on devra donner à une courroie sans fin , qui n'éprouvera que des tractions toujours exercées dans le plan des poulies, pourvu qu'on place en c et en Jdeux poulies-guides, Tune dans lie plan d/h, Tautre dans le plan egc.

Il est clair encore qu'en prenant pour une des poulies les t^^ gentes menées des deux points c etd, autres que celles indkpi sur la figure, on changerait le sens du mouvement de raxec**^ respondant.

311. Si Ton veut que le système occupe le moins déplace p^sible, il faut prendre pour point de départ, au lieu d* une Int^ section quelconque de plans [Kîrpendiculaires aux deux leur plus courte distance.

Fig. 266.

Fig. S66.

Fi^r. 267.

Soit OZ la projection de cette plus courte distance sut mené \^àr les plans A et B des couronnes placées à la

CraCULAIRE œNTINU EN CIRCULAIRE CONTINU. 347 M plus convenable des points de rencontre de cette ligne avec ?!S deax axes, il suffira, pour que le système soit complet, de ^cer deux poulies-guides en deux points E et F de la ligne 3Z, dont les plateaux seront dans les plans déterminés par es tangentes EA, E£ et FD, FC.

Si les plans des couronnes sont réciproquement tangents aux contours de celles-ci, et Ton peut toujours obtenir cette position pour des axes qui ne se rencontrent pas en faisant glisser une aies poulies sur son axe, il n'est plus nécessaire, en général, d'employer des poulies-guides , la courroie ne tendant à abandonner la poulie que par une action oblique à Tarrivéc sur la poulie, y étant maintenue par le frottement, mais non par une semblable action à la séparation; il se produit une torsion à laquelle se prête sa flexibilité.

SI 3. Organes agissant à 4* aide d'intermédiaires rigides. — Nous avons dit que la bielle ne pouvait servir à transmettre des rotations dans un rapport de vitesse constant, qu'autant qu'elle reste toujours parallèle à la ligne des centres, c'est-à-dire que les bras des manivelles soient égaux et les axes parallèles. Nous alkms bientôt rencontrer la bielle appliquée à transmettre le mouvement circulaire continu entre des axes non parallèles, et nous vérifierons que la condition de parallélisme n'étant pas satisfaite, le rapport des vitesses est alors variable.

II» Axe» non parallèle».