RAPPORT DE VITESSE VARIABLE

313. La transmission du mouvement entre deux axes non E^rallèles offre des difficultés plus grandes dans la pratique, lorsque le rapport des vitesses est variable suivant une loi dont^ée, que lorsqu'il est constant; Déjà, dans ce cas, nous avons vu C]u'on était obligé d'abandonner la solution théorique, à cause delà difficulté de son application. A plus forte raison dans le ^sas qui nous occupe en sera-t-il ainsi, et trouvera-t-on avantage À substituer à la solution directe, prenant son point de départ

dans denx surfaces coniques ou réglfes, détenniaées en rafsoii du j rapport des altesses, celle obtenue à Taide d*un organe intarmé- . diaire, en ramenant le problème à la communication du rnoo- « vement entre deux axes parallèles à Taide d*une roue d*an§^; ^ ainsi nous n'aurons pas à nous étendre beaucoup sur le cas actuel. «

OBGANES ÀGlSSA?îT PAR CONTACT IMlliOIAT.

314. P Axes qui se rencontrent. — Si Ton trace, dans dein^c plans perpendiculaires aux deux axes, deux ellipses se toncball^^ en un point et ayant les axes pour centres, qui se mtoeralen^Eï par roulement suivant le rapport de vitesse voulu ; que, de pin on décrive les deux cônes ayant pour base ces deux ellipses, i pour sommet le point de rencontre des axes; ces deux ctees, c se conduisant par roulement, feront mouvoir les deux axes ( les rapports de vitesse voulus. Si on veut les armer de dents, j faudra opérer d'après les principes établis en traitant des ] coniques à base circulaire qui s*appliqueront également à ce < mais Ton voit que la complication du problème devient trwp grande pour la pratique.

3 1 o. Nous rapporterons une ingénieuse disposition imaginéeptar Huyghens pour résoudre un cas particulier de la question qioe nous traitons, celui où les deux axes se rencontrent à angle drc^l^.

D est un arbre à Textrémité duquel est fixée une rouée de0^ (ûg. 268) , dont le centre de mouvement n*est pas au centre d0 ^

cireonffrence. Un long pignon LK est adapté à Taxe C qui fait

un angle droit avec Taxe B. On voit que le rayon p dn pignon

est constant et que celui de la roue, n*étant pas au •centre de

la figure, varie pour les divers points de la circonférence, depuis

sa moindre longueur r — e jusqu'à une longueur maximum

r-|-«, r étant le rayon de la circonférence, e la valeur de Tex-

centricité; il en résulte que le rapport des vitesses varie de

? P r-f-tf

— =— à —^, — , et le rapport du maximum au minimum est .

On peut, par un calcul analogue à celui de Fart. 269, établir

les rapports des vitesses pour on angle déterminé de l'axe du

pigBon et du rayon du cercle.

Baos la machine de Huyghens, c'est le pignon qui conduit

et se meut uniformément. On pourrait de même faire partir le

mouvement de la roue et aussi varier encore les rapports de

vitesse en lui donnant une autre forme qu'une circonférence de

Î16. 1" Axes qui ne se rencontrant pas. — On peut résoudre le P^^Wème dans toute sa généralité en raisonnant comme précé- •ïemmcnt. En effet, divisons la plus courte distance des deux •^cs en deux parties qui soient deux rayons vecteurs fie deux ^"^rbcs elliptiques tracées chacune dans un plan pcrpendicu- *^re à chacun des axes, et telles que si elles roulaient angulai- "^nient, les deux axes tourneraient dans les rapports des vitesses ^gulaires voulus. Menons, pour chaque angle de rotation, ^^^81 que nous l'avons ftiît, la droite, qui est le lieu des points ^^Ht les distances aux deux axes sont dans le même rapport 9^ celui des deux parties en lesquelles la plus courte distance ^ été divisée; ces droites disant toujours le même angle avec ^ plan perpendiculaire sur chaque axe et avec cet axe, en ^'^^vant chaque contour elliptique, engendreront deux hj-perbo- '^Wes ou deux surfaces régléc^^ analogues qui pourront se "^^^Der par contact, et qui auront toujours une génératrice ^^^itunune, passant par le point de contact situé sur la plus ^Urte distance.

En raisonnant de même, on verrait que la forme des dei peut se déduire des principes posés , mais avec une trop gran diffleuité pour la pratique; aussi préfere-t-on toujours les solutions indirectes.

317. La vis sans fln , dans le cas où les angles sont à angle droit, fournit un moyen de varier le rapport des vitesses angulaires de la vis et de la i*oue; il suffit pour cela de faire varier l'inclinaison des filets de la vis. Le rap- Fig. sa», port des vitesses angulaires de la roue de rayon R et de la ^ (fig. 269), sera :

A. 2t:R R ^ (6 étant Tangle de Tinclinaison de Thélice sur les génératrli du cylindre , dont le rayon est r et A le pas variable, toojoc

r=tang. 0): si donc on donne à la vis deux inclinaisoi

27cr ^ "

comme sur la figure, on obtiendra deux vitesses.

Il est clair que le contact ne peut avoir lieu dans ce cas, po

deux inclinaisons successivement dififérentcs, suivant des i

ments plans.

ORGANES AGISSANT PAR INTERMÉDIAIRES

318. Flexibles. 1° Courroies, — Les courroies pouvant ser à transmettre le mouvement dans toutes les directions, poui qu'on les maintienne par des poulies-guides, comme n Tavons dit, toute la question se réduit h munir les axe» poulies de formes convenables pour que les axes soient A. le rapport de vitesse voulue, ce qui ramène la question à c que nous avons examinée art. 249, car la fusée peut avoir spires dans un plan quelconque.

319. Rigides. 2" Articulations, — Nous traiterons en détaila bielle dans le chapitre suivant, et nous nous bornerais i^

aRCULAIRE CONTINU EN CIRCULAIRE CONTINU. 324 % «DlQtfon la plot remarquable da problème* qoi nous occupe, feÉMme par one modification de la forme' de la bielle, ponr la andre propre à la tranaraiasion du monreraent circulaire entre Ica «X6S non parallèles. Nous voulons parler da> système appelé oint dé Cardan on de Hooke, ou encore Joint unlvèrseK

Le joint universel est un* mode d'assemblage de deux axes pà a» rencontrent, qui permet la- transmission da mouvement le rotation de Tun à l'autre; il Jooft de cette importante pro- Mriété de trannnettre ce monrement quand Tangte des deux axes ^ient à cbanger, même pendant la durée du mouvement.

Lafig. 270 représente le joint universel. Pour en concevoir le jea, il faut (remarquer que quand le mouvement de rotation est imprimé àflirbre A a, cet arbre entraîne avec lui la fourche ACc qui litttRiiiBey^ aÉMi que le croWHan Cr, dont les branches ont la faculté dft tourner sur leurs tourillons rcq^tifc placés aux extrémités de la fourche ACr; le^ système qui réunîvraxe F5 au croisillon Bd estSMriAIMe. Mais^ oiMMne les quatre branches du croisillon sant solidaires, ne forment qu'une seule pièce, il est évident que celles qui servent di* support aux branches de la fourche fixerai non Bi tournent et impriment à cet axe un mouvement de rotation pour tout mouvement de Taxe A a.

f: La propriété que nous avons indiqué appartenir à ce système ia tnmaroettre le mouvement de rotation, quand même Fanglc les axes vient à varier, résulte bien clairement de la disporition ^iw noua venons de décrire. En effet, un des axes peuts'inoliber avivant une direction queleonque, autour de l'autre axe

qae Ton peut toujours considérer comme fixe, par suite de la double rotation possible autour des tourillons, autour de deux axes rectangulaires entre eux, c'est-à-dire suivant une ligne quelconque tracëe dans un plan dont Tazimut est quelconque, ce qui permet d'obtenir toute inclinaison possible, propriété curieuse et caractéristique de cet assemblage.

Cest à Cause de cela que le joint de Cardan est souvent employé couime support, laissant une liberté absolue d'inclinaisons en tous sens à la pièce supportée autour du centre du croisillon.

FJg. 271.

Les axes du croisillon cc\ dd peuvent appartenir à une pièce M de forme quelconque (la forme spbérique (fig. 272) remplit les conditions de résistance convenable), pourvu que leur point d'intersection se confonde avec le point d'intersection des axes A et B prolongés.

320. Les deux axes étant réunis par ce système et tournant ensemble, si la vitesse de l'axe moteur, de A par exemple, est uniforme, quelle sera la vitesse de l'autre axe? Le nombre de tours en un certain intervalle de temps est bien le même pour les deux axes, puisque, après chaque tour, les pièces se retrouvent dans la même place; mais quelles sont les variations de vitesse dans chaque tour? c'est ce que nous allons examiner.

Soit l'arbre A conducteur, Taxe cd décrit un plan perpendiculaire à A, autour du centre de M. Pendant le même temps, tout point de l'axe dd solidaire avec ce' décrit un cercle autour du même centre dans un plan perpendiculaire à Tarbre B.

Ainsi les droites solidaires cc\ dd! se meuvent autour du centre commun, mais par Teffet des arbres A et B, en décrivant deux plans différents autour de ce centre, Tun perpendiculafte à Tarbre A, Tautre perpendiculaire à Tarbre B; si Ton projette le second cercle sur le plan du premier, il s'y projettera suivant une ellipse.

Soient aM, (Mies moitiés des deux axes perpendiculaires Fun ^ l'autre et solidaires, l'ellipse al&a' représentera la projection sur le plan décrit par la droite a M du chemin décrit par l'extrémité de la droite 6 M égale et perpendiculaire à aM. Lorsque la première a décrit un angle aMa" = a, la seconde a décrit dans le

ÊT^^'^i

plan qu'elle parcourt un angle ^ qui se projette en (M^''. Pour trouver la grandeur réelle de cet angle, il faut par B' élever la droite F B' D, elle donnera len F le rabattement du point projeté en B', en supposant que l'on ait rabattu sur ce plan de projection le cercle décrit par le point dont B' est la projection « et (MF représentera en vraie grandeur l'angle p que nous cherchons. Les deux angles simultanément décrits sont donc représentés en vraie grandeur (fig. 273).

L'un suivant aMa^ = 6M&'= a, les axes aM, &M étant toujours à angle droit.

L'autre suivant bM¥=p.

Abaissant des peint» F at F des perpendictilaires sur ^M,

ona :

B' G sin, a ^ ^ F H sin. 6

rr:7 = = tang. a et -77- = ^ =i tang. S:

M G eo6.a. ^ MH cos. p ^ ^'

tang, g B G Mtt

^^^ teSiT^^MG^FHl'

mais FH = B'G et oomme HM:;::FD et MG = B'DvOn peat

, . tang. a FD écrire -- -~^ = ^^7-=:.

tang. p B' D

Mais entre les ordonnés d'un cercle et d- une ellipse ayant son

diamètre pour grand axe, on a (voii- TraUéê de géoméL amdyl.) :

rp^^ = :5-— , ÔM étant le rayon du cercle décrit sur le grand B D B lit

axe, et B M le petit axo de Fellipse.

Appelant U Tangle des deux plans, le même que celui des deux

axes prolonges, on a ôlVf cos. 6 = BM ou r-- = = con-

*^ ° ' BM COS. 0

stante, donc enfin tang. ^ = tang. a cos. 0.

La figure montre que la position réelle de la droite conduite h^h' se confond avec sa projection en MB, M a', M ^ ctMa. Entre les deux positions Mo, Mo', la droite Mo a d'abord une vitesse moindre que celle delà droite conductrice, puis elle a une vitesse supérieure, et les vitesses angulaires redeviennent égales en a . Bans les trois auti*es quarts de révolution, les mêmes circonstances se reproduisent : en ordre inveise (comme Tindique le signe de la tangente) pour le parcours du quart a' M^'; en môme ordre pour le parcours du quart h'IAa^ eoroi'dre inverse pour celui du quart oWp. Ainsi les deux arbres dépendants font une révolution dans le môme temps, mais avec des vitesses angulaires différentes, sauf quatre positions pour les:[uelles ces vitesses sont égales; la variation dos vitesses dépendant de la valeur de Tanglc ô des deux arbres.

331. Si Tanglo des deux axes approche de 90*, la rotation d'un axe tend à tordre les tourillons et nullement à faire tourner la

CffiCULAIRE CONTINU EN CIRCULAIRE CONTINU. 8:15

K, l'appareil ne peut plus servir. Bien avant cette limite, id l'angle n'est pas bien supérieur à Ofr", les frottemeBls et Disions qui se produisent dans cet appareil le rendent dtfec- X pour transmettre de grands efforts. On ne doit pas i'adtre quand Fangle d*un axe et de Tautre prolongé dépasse 46"* [ue l'angle mesuré entre les deux axes est inférieur à 136*". !3. Au moyen de deux joints (fig. ^ ^ b , on peut communiquer le mouent entre denx axes disposés l'un rapport à l'autre de manière à feire ingle inférieur à iZô"", et avec une ide variété de vitesses du mouvet, à Taide d'un axe intermédiaire tissant les deux premiers. ^** ^**

)ît AB Taxe conduisant, assemblé avec un second axe CB un Joint universel en B, lequel est réuni semblablement avec mtre axe CD; le plan ABC étant différent du plan BCD. nt a, p, 7, les rotations des trois axes AB, BC, CD, les angles essife étant de. grandeur convenable. Le mouvement du se- 1 Joint C résultera du mouvement du premier B, pour lequel {b étant Tangle des deux axes AB, CB) :

Tang.p = *?B?l^.

angle de rotation correspondant de CD étant y et 6, son naison sur BC, on a de même :

Tamr- Y = ^"^' ^ = Jtang^«, ^ COS. 6, eos.fteos.6,'

ifin pour des séries de Joints réuniseent des axes dont tes naisons mutuelles seraient 00»... 0>, tétant le chemin angument paroouru par le dernier, pour Uangle b parcouru par roBler, on aurait :

^ . tang.a

Tang. a = —^ r-

^ co6.0eos.0....0ta

BBS un système de ce genre, toute variation de vitesee peut

obtenue, quels que soient l'angle et la variation de direetion

du dernier, en employant des axes intermédiaires convenablement disposés.

Si le dernier axe était parallèle au premier, si par suite on a 0, =0 dans un système de trois axes semblable à celui qui est indiqué sur la figure 274 , on a d*abord :

Tang. ? = *???:-".

Pour la seconde relation , il faut remarquer que Fangle p est

mesuré à partir d'un rayon de Taxe conduisant qui sert de point

de départ, qui est écarté de 90*" du premier, la seconde relation

devient donc, en partant du même point initial :

Tang.,= ^°g-(i+P) ortang.g + p) = .

COS. 0 ' » / © r

COS. ô 1

donc enfin tang. y = = .

tang. a COS. 0 tang. a

C'est-à-dire que, dans ces conditions, les variations de mouvement se balancent de telle sorte que le rapport des vitesses angulaires des axes AB, CD' demeure constant.

323. Quand on ne peut disposer d'un axe intermédiaire, et que Tanglc des deux axes est inférieur à 130®, on anpiole b disposition dite double joint de Hooke.

Il se compose de deux joints dont la réunion permet la transmission du mouvement, quel que soit Tangle des deux axes (fig. 275).

Les relations ci-dessus se transforment en chaque instant. Taxe intermédiaire variant de position , et par ^s- 276. suite les valeurs 6, 6. . On peut, par ce système, diminuer beaocoup les écarts de la vitesse moyenne. Ainsi le double joint ecM»muniquera à deux axes parallèles, ou qui se rencontreront, une même rotation en chaque instant, comme l'indique la symétrie de figure, si Ton a soin de faire en sorte que les deux axes fassent le même angle avec la pièce intermédiaire.

aRCULAIRE œNTINU EN CIRCULAIRE CONTINU. 3«7

3S4. Si Ton analyse la forme élémentaire du joint universel, on reconnaîtra facilement que, si on l'emploie dans le cas d'axes parallèles, les deux branches de chaque axe ne servent qu'à la solidité, et qu'une seule paire de leviers fixés aux axes assemblés par une bielle produirait le même mouvement, par une disposition semblable à celle représentée fig. 228.

Le Joint de Oldham, donné plus haut, devient le joint de Hooke si les deux axes, au lieu d'être parallèles, se rencontrent et se coupent au centre de la croix. Il n'y a plus alors glissement, mais seulement rotation autour des axes.

On voit qu'en résumé le mérite de la disposition du joint universel est de pouvoir être employée dans des cas d'axes non parallèles, dans lesquels l'assemblage de la bielle par des axes parallèles n'est plus possible.

325. Nous donnerons ici un curieux exemple de l'application du joint double pour fedre tourner de la même vitesse deux cercles parallèles dont les axes sont réunis par cet organe. Cette disposition est la base d'un système proposé par un ingénieur suédois pour maintenir constamment dans un plan vertical les palettes des roues des bateaux à vapeur. C'est au seul point de vue de l'élégance de la solution du problème , en tant que mécanisme, que nous en parlons, plutôt qu'à cause de l'importance de l'appUeation proposée, pour laquelle nous doutons qu'on puisse obtenir par ce système une solidité suffisante.

L'axe moteur fait tourner une circonférence; à celui-ci est assemblé par un Joint universel un arbre qui , par son autre eitrémité, est assemblé d'une manière identique avec l'axe d'un second cercle, parallèle au premier, mais placé plus bas.

Les deux axes tournant simultanément, si l'on assemble chaque palette par deux axes placés l'un à la partie supérieure, l'autre à la partie inférieure, entrant dans des coussinets placés dans chacun des deux cercles, il est évident que, si, partant de la palette placée à l'extrémité du diamètre vertical, et ellemême verticale, on place les autres axes en des points des deux circonférences également distantes des deux points de dé-

du dernier, en employant des axes intermédiaires convenablement disposés.

Si le dernier axe était parallèle au premier, si par suite on a 0. =0 dans un système de trois axes semblable à celui qui est indiqué sur la figure 274 , on a d*abord :

^ ^ COS. 6 Pour la seconde relation , il faut remarquer que Tangle p est mesuré à partir d'un rayon de Taxe conduisant qui sert de point de départ, qui est écarté de 90** du premier, la seconde relation devient donc, en partant du même point initial :

Tang.,= ^°g(i+P) ortang-g + p):

COS. 0 ' » / o r

donc enfin tanc. y = = .

° * tang. a COS. ô tang. a

C'est-à-dire que, dans ces conditions, les variations de mouvement se balancent de telle sorte que le rapport des vitesses angulaires des axes AB, Ciy demeure constant.

823. Quand on ne peut disposer d'un axe intermédiaire, et que Tangle des deux axes est inférieur à 130®, on emploie la disposition dite double joint de Hooke.

Il se compose de deux joints dont la réunion permet la transmission du mouvement, quel que soit Tangle des deux axes (fig. 275).

Les relations ci-dessus se transforment en chaque instant. Taxe intermédiaire variant de position , et par ^ig. 276. suite les valeurs 6, 0,. On peut, par ce système, diminuer beaucoup les écarts de la vitesse moyenne. Ainsi le double joint communiquera à deux axes parallèles, ou qui se rencontreront, une même rotation en chaque instant, comme Tindique la symétrie de figure, si Ton a soin de faire en sorte que les deux axes fossent Je même angle avec la pièce intermédiaire.

824. Si Ton analyse la forme élémentaire du joint universel, on reconnaîtra facilement que , si on remploie dans le cas d'axes parallèles, les deux branches de chaque axe ne servent qu'à la solidité, et qu'une seule paire de leviers fixés aux axes assemblés par une bielle produirait le même mouvement, par une disposition semblable à celle représentée fig. 228.

S25. Nous donnerons ici un curieux exemple de l'application du joint double pour fedre tourner de la même vitesse deux cercles parallèles dont les axes sont réunis par cet organe. Cette disposidon est la basé d*un système proposé par un ingénieur suédois Aoar maintenir constamment dans un plan vertical les palettes des roues des bateaux à vapeur. C'est au seul point de vue de ^'élégance de la solution du problème , en tant que mécanisme, ^e nous en parlons, plutôt qu*à cause de Timportance de l'ap* Micatkm proposée, pour laquelle nous doutons qu'on puisse obtenir par ce système une solidité suffisante.

L'axe moteur feit tourner une circonférence; à celui-ci est «issemblé par un Joint universel un arbre qui , par son autre ^^trémlté, est assemblé d'une manière identique avec l'axe d*un Second cercle, parallèle au premier, mais placé plus bas.

Les deux axes tournant simultanément, si l'on assemble chacjae palette par deux axes placés Tun à la partie supérieure, Vautre à la partie inférieure, entrant dans des coussinets placés ^ians chacun des deux cercles, il est évident que, si, partant ^e la palette placée à l'extrémité du diamètre vertical, et ellemême verticale, on place les autres axes en des points des f^teox circonférences également distantes des deux points de dé-

3tS LITRE DEUXIÈME.

ptrt, tous ce» aixcs seront parallèles, et par saîte les palettes qui étneorent igalement verticales. G*cst m système qui, ûis^OBé

Flg. 276.

sur des circonférences , a quelque analogie avee .celui des règles parallèles dont il a été parlé. Formé essentieUemait d'axes parallèles entre eux, les règles peuvent évidemment ètie oourbes, comme dans le cas actuel.

au. Les articulations des crustacés et de divers inseelts pouveat être citées comme un exemple ewkux des principes pnicédènts.

Xandis que les vertébrés ont, à Tintérieur, un système osseux composé essentiellement de leviers et d'articulations, de parties analogues aux crapaudines et à des parties de eouseineis des machines, recevant des axes, il est curieux de voir ce que ce ^stème devient dans des animaux qui imt le système osseux à rextérieur, et bien intéressant de ar^rouver des organes, qui Dr'ont été décottverta par les méoaaieiens ^ue depuis un petit nombre d'années.

Les articulations de ces «nimanx sont^ en général, des espèces de charnières n'ayant.qn'u& axe de flexion ; mais ees joints sont souvent groupés de manière à produire* des j(^ls composés, ayant deux ou trois axes de flexion, et formant .par suite des joints universels analogues aux précédents.

Comme exemple nou&déecivons, d'après Willi$,.ia patte i risve du crabe commun.

aRCULAIRE CONTINU EN OICDLAIRE œNTDsU. 329

Elle consiste en réalité en cinq pièces séparées A , B, G, D, £ (en négligeant le joint de la pince F), chaque i»aoe étant Jointe à la précédente par une charnière. Mais on peut également la considérer comme consistant en deux parties G et £, dont la première est réunie au corps de Tanimal par un joint universel qui a trois axes de flexion , et le second réuni au premier par un joint à deux axes ou joint de Hooke.

Gette pièce G est réunie à la pince E par la pièce intermédiaire D, et les axes des joints qui forment cette réunion sont représentés par les lignes 5, 5, entre D et E, et 4, 4, entre G et D. Ges axes se coupent en un point K, et par suite, d'après ce qui précède, E se meut, par rapport à G, autour de ce point et peut se mouvoir autour de tout axe de flexion passant par ce point et situé dans le plan 5 K 4.

Le joint composé qui réunit la pièce G au corps de Tanimal est plus compliqué, et, iponr montrer sa disposition , nous em-

Fig. 277.

Pig. 278.

plc^erons deux plans perpendiculaires entre eux, se coupant suivant la ligne mn. La flgure 277 étant le plan, la figure 276 est rélévation.

L'anneau A est réuni au corps de Tanimal par un joint dont Taxe est en 1 , 1 , dans le plan et en l , 1 , dans rélévation. Celui-ci

est joint au second anneau B ou 6 par un axe 22, et B est réuni à C par un troisième axe vertical 3, 3 dans l*élévatien qui sur le plan se projette sur le point 3. C est donc réuni au corjis de ranimai par uil joint à trois axes dont les directions ne se rencontrent pas et ne sont pas comprises dans des plans parallèles. Cette pièce a donc la liberté de se mouvoir autour d'un axe faisant un angle quelconque avec le corps, et ces mouvements ne sont limités que par Tangle que peut faire chaque charnière.