ORGAWKS AGISSANT PAR CONTACT IMMÉDIAT

342. Les solutions trouvées pour le cas des engrenages entre deux axes disposés d'une manière quelconque dans Fespace doivent trouver encore leur application dans le cas où le rayon de Tune des roues devient infini.

Une des circonférences primitives, celle dont k rayon est infini, est donnée par la direction du mouvement rectiligne; si donc, comme dans la solution (art. 284), on arme cette ligne de développantes d'un rayon infini, c'est-à-dire de faces dont le profil est formé de lignes droites perpendiculaires à la direction du mouvement rectiligne , les dents de la roue dentée devront être formées par des surfaces hélicoïdales.

A mesure que la droite et l'axe du mouvement circulaire approchent du parallélisme , l'hélice s'incline et s'allonge de plus en plus, si les dents sont formées de plans perpendiculaires à la direction de la droite. On est alors naturellement conduit à

employer des surfaces inclinées, c'est-à-dire pour surface enveloppe et enveloppée (fig. 287), la vis et rentaille que celle-ci peut faire dans une barre quand elle est taillée en taraud , solution qui correspond à la vis à filets triangulaires, quand on part de Tengrenage à développantes, comme art. 337.

Cette disposition permet une direction oblique du mouvement rectiligne Fig. 287. et de l'axe du mouvement circulaire,

mais est surtout convenable pour des directions parallèles de Taxe et du mouvement rectiligne (correspondant au cas de deux axes de rotation à angle droit); dans ce cas il y a avantage, dans la pratique, à rendre le système plus complet, comme nous allons le voir.

343. Frottement de roulement. — Avant de passer à ce système qui constitue la solution , vraiment importante dans la pratique, du problème qui nous occupe, nous ferons remarquer que les systèmes à frottement de roulement pourraient aussi fournir des solutions pour la production du mouvement rectiligne. Ainsi, si on engendre un hyperboloïde par la rotation de la ligne qui doit se mouvoir, suivant sa longueur, autour de Taxe du mouvement circulaire, et qu'on trace (art. 281) sur la surface de celui-ci une développante hyperboloîdique à l'aide d'un fil faisant un angle ^ constant avec ses génératrices, il est clair que cette courbe poussera, en n^ faisant naitre qu'un frottement de roulement, une droite faisant un angle 6 avec la direction de la crémaillère; en chaque instant une génératrice de Thyperbololde viendra se confondre avec la direction du mouvement rectiligne, et les deux courbes conductrices se toucher en un point. Il n'y a pas lieu d'insister sur cette solution, qui n'offre qu'un intérêt purement théorique.

aCS LIVBE DEUXIÈME.

DERECTIOX DU MOUVEMENT CIRCULAIRE ET DU MOUVEMENT BECTIUGNE A ANGLE DROIT. — VIS ET ÉCROU.

344. Lorsque la direction du nHKiYement rectiligne est parallèle à Taxe du mouvement circulaire, on emploie la vis et son écrou (fig. 388), c'estfè*dire le système indiqué plus haut compMé. Il consiste al«rs en une saillie, contournée en hélice autour d'un noyau, qui pénètre dans une cavité correspondante à la Mdllie. La vis prend en même temps un mouvement de rotation antoitr de son axe et de translation rectiligne dans le sens de telui-ci, et se trouve* doublementgoidée par ks pièees mèBies.quâ déterminent la nature do son moaTenmit; elle opève seule la transfomuition demandée, Técrou de la vis étant fixe, mais en possédant un double mouvement. ^ f"^"^ Si , inversement , la vis est^ guidée dans y j

des collets de manière à ne pas pou- ^f^

TOir prendre de- mouvement de trans* i — ^..f^ -^

latîon, son écrou tendra à* touimera<vee ^^^.'2:

ella, et si on empêche cette rotalM»' ^^^^

par un arrêt passant dans un ginée 2(^^

reetiligne, ce sera alors Técrou qm se Fis- asa.

■K>nvra en ligne droite , ne possédant qu'un seul mouvement netttigne.

L^hélice Mt toujours un angle constant avec les génératrices dtt cylindife ; la distance constante entre deux spires de rbélice, mesurée sur une génératrice du cylindre, est le pas de la vis. Oïdinairemenit la tète de la vis est armée d'une roue, ou au moins chme barre perpendiculaire à son axe. Si Ton dé^gne par R le rayon de cette rose, ou la longueur de cette barre comptée à partir du centre, le chemin parcouru en un tour complet par l'extrémité d'un rayon sera 27rR; A étant le pas de la vis, cette quantité sera aussi celle dont la vis ou son écrou auront marché dans le même temps perpendiculairement à Taxe. Les chemins parcourus pendant une fraction de tour quelconque seront évi-

CIRCULAIRE CONTINU EN RBCTHJGNE CONTINU. 343 demmeiit dans le même rapport que ceax qui sost parcovrus peBdaot ia durée d*cm tour complet de la vis; en nommant Y la vitesBe à la circonférence de la roue ou à Textrémlté de iai barre , et V la vitesse de la vis ou ^ son éerou dans le sens de FaoBe, on aora donc :

'est-à-dîre la vitesse de r extrémité de la barre, dan$ vn plan perpendiculaire à Faxe, est à la vitesse de la vis ou de son écrmi parallèlement à cet axe, comme la circonférence décrite par l'ex-' trémité de cette harre^esi^mk pas de lavis, a étant T inclinaison de rhélice sur une perpoiriBHiiÉR aux génératrices, r étant le rayon du cylindre paHHMr jar un point de cette hélice, on a

pour un pomt quelrt^p»^^- = tang. a, pour rapport de

vitesse entre le mouvMHÉbitctiligne et circulaire, c*est-à-dire les mêmes relations que leplan ineflné, Thélice n*étant que la disposition autour rrnn rjiliarliaflliiaialir de ses éléments successifs. On voit, d'après le rappattaMMBoa^ que Ton peat facilement construire la vis de niarttw.^à.iMBire la vitesse du mouvement rectillgne très-petite relatUaHMHiLè la vitesse du mouvement circulaire, ce qui la rend CQnvc«HB.|aar développer de très-grands efforts, et la fait surtout employer dans les appareils qui doivent produire de grandes pressions, mais en occasionnant des pertes X| de travail considérables par les frottements.

945. Pour considérer la vis dans la réalité de son exécution, il* ftnit ne pas se borner à considérer mie seule ligne de rbéBce, la courbe engeadvée par une Ifgae dvote tracée dans te pfon tangent au eyiindre , lorsqu'ett emroufe ce plan autour du cyliiiAre, mais les snrûices hélicoïdales qui constiCueat la vis.

Sappesons que , cura» cylindfe et révalutfafty Fig. »^. on ait tracé ime hélice AfiCD; suppôt» «b^* suite qu'un polygone EFGB, dont le plan passe constamment

par Taxe X Y, se meuve en s'appuyant sur le cylindre par son côté EH, et de telle sorte que son sommet E parcoure i'héiice : le corps solide formé par Tensemble du cylindre et an filet saillant ainsi engendré sera ce qu'on appelle une vis.

Ordinairement, le polygone générateur est un carré ou un triangle isocèle, d*où résultent la vis à filet carré et la vis à filet triangulaire.

Les fig. 290 et 291 représentent les filets d'une vis du premier genre et la coupe de Técrou dans lequel ils s'engagent.

Fig. 291.

846. Frottement dans la vis à filet carré. — Il importe de prendre une idée exacte de la valeur des pertes de travail qui se produisent dans cet organe, pour ne pas appliquer la vis dans des cas où son emploi ne serait pas convenable, et proportionner rinclinaison du ûlet de la vis aux circonstances de son emploi.

Soit AB (fig. 292) Taxe supposé vertical d'une vis à filet carré, destinée à soulever un poids Q par l'intermédiaire d'une force horizontale appliquée à l'extrémité du levier R, l'écrou ubcd étant fixe. On peut toujours supposer que la charge Q soit distribuée uniformément sur un certain filet héliçoïde de la vis

CIRCULAIRE CONTINU EN RECTIJLIGNE CONTINU. 345 et de l*écrou, qiie nous nommons yi/^f moyen, et s'y trouve posée comme sur un plan incliné formant avec Thorizon un angle égal à celui des plans tangents à ce filet. Pour le frottement, les choses se passent comme s*il en était ainsi ; la pression s'exerçant en plusieurs points, suivant une même génératrice de la surface,

causera le même frottement- que la somme des pressions sui* le filet moyen, le frottement étant proportionnel à la pression. Nommant donc :

r, le rayon du cylindre qui contient Thélice ou filet moyen dont il s'agit;

/?, la force horizontale tangente à ce cylindre, qui serait capable de soulever le poids Q et les frottements qui en résultent sur la surface du filet moyen ;

/i, la hauteur du pas de la vis ou de fécrou ;

7cr=3,14l5, le rapport de la circonférence au diamètre;

a , fangle de finclinaison constante du filet moyen à Thorizon ;

/, le coefficient de frottement pour les substances en contact;

On aura, d'après le n° 74 :

a46 LIVRE DEUXIÈME.

taM. a-4-/* A-|-2"7r/r

^~^ 1— /taag.oe ^ ^ 2itr—fh'^^ remplaçant tang. a par

sa valeur .

2Tcr

la valenr dep crott progressiTement aTee tang. « jusqu'à devenir

infinie quand tang. « = 7: 9 limite de la plus grande inclinaison

passé laquelle la puissance horizontale, quelque grande qu*ellc soit, ne peut plus faire raMivetr le poids à Taide de la vis en la faisant glisser le long des filets de i'écrou.

Il semblerait, d'après cela., qu'il devrait y avoir en général de l'avantage à diminuer l'angle d'inclinaison a des hélices; mais on arrivera à une conséquence tout opposée, si l'on remarque que le rapport de la quantité de travail utilisé, qui est Q r co tang. a,

à celle dépensée, Qrw ^ ^, peut être mis sous la forme :

tang. a(i — /tang. a) sin. 2 «--/(^ — ^^^' 2 a)

tang. «+/ an. 2 a4-/(i+cos. 2 «

sin. 2 a-|-/(l+COS. 2a)'

rapport dont le minimum répond à tang. 2 a == - , et montre

qu'il n'y a pas avantage, au point de vue du travail dépensé par le frottement (et non de son intensité seulement), à ne pas le faire le plus petit possible.

Tout ce que nous disons ici', en supposant que la vis soit employée à élever un poids, s'applique évidemment à la vis ayant à surmonter une résistance queleonque, dont la direction s*exerce dans le sens de son axe. ,

347. Pour apprécier le frottement, supposons^, par exemple, /= 0,12 , qui convient au cas où l'écrou serait en cuivre et la

vis en fer, les surfaces étant onctueuses; tang. a = — , comme

dans les pressoirs à vis, le rapport ci-dessos deviendra 0,^9. Dans ce cas, le travail dépensé par la puissance pour élever la

CraCULAIRE CONTINU EN RECTIUGNE CONTINU. W7

uge Q sendt 'donc quadruple de celui qui répond à l'effet k.

9 taug. a était égal à— , le même rapport deviendrait 0,655.

Ces résultats mettent en évidence rénorme inftaence exercée r le frottement des vis et des écrous.

M8. Oa eonekit aussi de ce qui a été dit pour le cas du plan Atté que, si tang. a est moindre que /, la vis non-seulement feiBdni pas à descendre d'elle-même ou à se desserrer sous fart qu'elle supporte, ttois encore exigera pour être entraînée la puissance, pour qu'un mouvement puisse se produire, un *t p agissant en sens contraire, ce qui doit faire changer son e dans Texpression de cet effort mesuré par :

"^ 1 +/tang. Qt -^ "^ 1 +/tang. a "^ ^ ^ cas est précisément celui des boulons d'assemblage qui doimaintenir Féiat de compression de certains corps , après que aissance a exercé son action sur la vis ou l'écrou, et dont les les filetées sont formées de filets très-inelinés sur Taxe. D sait quMl en est tout autrement des vis de balancier à déifr ou à battre la monnaie, qui portent des filets doubles ou tes, aAn de leur procurer une résistance suffisante, tout en BMit à leurs hélices moyennes une grande inclinaison sur e, afin de donner de grandes vitesses à la descente du

*méqiaekàs d'ailleurs il arrive, même pour des vis où la rcla- .tang. a </esit satisfaite, que les secousses ou vibrations cuvées par les boulons d'assemblage font desserrer les écrous, |8i exige qu'on s'oppose à cet effet en plaçant deux écrous L'Sar Tautre, eu mettant directement obstacle au mouvement L'écrou simple par vm moyen facile à imaginer. U9. Emphi de la vis pour diviser, — La propriété de Théllce fournir des abcisses circulaires proportionnelles aux ordonnées Hlignes du mouvement en ligne droite, et de grandeur bien •considérable, raid la vis extrêmement précieuse pour appré-

cier de petites longueurs ; aussi est-cllc la base des organes servant à opérer des divisions. Le pas de la vis pouvant être très-fin et correspondant à un tour entier de la couronne circulaire qu*on peut monter sur sa tête, on peut, pour un très-petit mouvement dans le sens de l'axe , obtenir un mouvement de rotation trèssensible sur cette couronne.

C*est sur ce principe que reposent le sphéromètre, qui sert à mesurer les épaisseurs, représenté figure 293, et la machine à diviser les lignes droites dans lesquelles la vis pousse un traçoir.

Nous avons déjà indiqué l'emploi de la vis tangente pour diviser les couronnes circulaires, en transformant le mouvement circulaire en circulaire.

^^vî;:

Fig. 203. Fig. 294.

Nous insisterons ici d'une manière générale sur cette propriété de la vis pour diviser soit la ligne droite, soit le cercle.

La vis conduit un plateau dont la circonférence est divisée en un grand nombre de dents; chaque tour de la vis faisant tourner le plateau d'une dent, comme on peut facilement mesurer la centième partie de la circonférence de la couronne montée sur la tète delà vis, on voit que, si le pas de la roue est de 1 millimètre, on pourra apprécier facilement le 1/1 00* de millimètre.

Il est facile de voir que Ton peut, au moyen de semblables dispositions, soit tracer sur une règle des divisions également espacées, soit tracer les rayons d'un cercle divisé.

Soit à tracer la division en 101 parties d'une circonférence, supposons que la roue porte 10000 dents et la couronne placée sur la tête de la vis 100 divisions; divisant 1000000 par le nombre toi , on trouve 9901. Chaque division correspond donc

à 99 toui*s de la couronne circulaire montée sur la tête de la vis, plus 0,01 de tour ou une division qui s'appréciera avec In plus grande facilité.

IKTEBMÉniAIIlES FLEXIBLES.

350. Les cordes ne pouvant s'enrouler convenablement sur le treuil qu*autant que leur direction est sensiblement perpendicu* laire à Taxe de rotation , on voit que pour toute autre direction ce système exigera remploi bien simple d'une poulie-guide, pour ramener dans cette direction ia corde qui joindrait le point d'enroulement à la résistance à surmonter.

DEUXIÈME SECTION

Rapport «le vlteMC varlaMe.

35 i. Si le rapport de la vitesse du mouvement rectiligne et de la vitesse angulaire du mouvement de rotation ne doit pas être constant, comment devront être modifiés les systèmes que nous venons d'exposer? Nous avons vu que, r étant constant et par suite r u>, une circonférence de cercle pouvait seule conduire une droite sans glissement. Mais si r augmente, rta augmente aussi, le contact peut rester sur la perpendiculaire , bien que le rapport des vitesses varie aussi, mais dans des limites toutefois bien étroites dans la pratique. On peut combiner, au lieu d'une crémaillère semblable à celles décrites, une crémaillère en échelons ayant des dents formées par des arcs successifs de cycloïde menée par une roue elliptique , ayant des dents formées par des développantes de rayon croissant; les vitesses seraient en raison des rayons vecteurs au point de contact toujours sur la perpendiculaire.

Des parties de vis et d'écrous à diamètres croissants pourraient aussi fournir certaines variations de vitesse; mais ces dispositions sont peu applicables, puisque les écrous doivent, s'ils sont con-

350 LIVRB DEUXIÈME.

tinos, servir successivement aax divers spires d'une même lice et -par suite ne pas varier.

352. Les cordes et courroies, à i'aide du système trenU , Dissent d*excellentcs solutions de la transmission du mouveme^^r circulaire en mouvement rectiligne avec variation dans ie rappc^^ H des vitesses.

Il est clair qno, si on entaiile sur lecyilndre une spirale, si c^^iO remplace la surface cylindrique par une surface quelconque, par exemple par une surfece conique comme fig. 2f 4 , la longueur de la corde enroulée sera, pour chaque tour, égale à celle d*une section de la surface et variera avec ccUe-cl. Inversement, la vitesse uni* forme de la corde produirait une vitesse variable de rotati<m de Taxe.

Ce système peut permettre de faire mouvoir en même tem m'M' mj deux points en ligne droite svec des vitesses différentes et n^^ i^, riables.

A a est Taxe de la fusée (fig» 296) (car ce système est évIdgt-L'— <^ ment de la même nature que celui exposé sous ce nom) laquelle sont assemblées les extrémités de deux cordes qui, s'être enroulées sur sa surface, sortent toutes deux dans des dif.

rei

Fig. 295.

rections opposées et parallèles. Quand la fusée tourne, l*mie des cordes s'enroule pendant que Tautre se déroule. Si donc Vnt tourne avec une vitesse constante pour chaque tour, et, par suite, en un même temps , Tenroulemcnt est 2 ir R pour l*une, le déroulement 2 tc r pour l'autre. Le mouvement de chaque extré^

CIRCUIAIRË œNTlNU EN RECTIUGNE CONTINU. 3M é4e la oQffde, pour un aogle oj4écrit ftLr l'axe, est donc 2 s R oi T Tune, 2 w r oj pour l'autre, c'est-è-dire variable avec les ans dee teetiotts-du céue spiral.

(•«s «ujpipesons que les cordoos sont parallèles à la'direetloii niottveiiieat rectiligne; s ils étaient obliques, il faudrait i|HMrer les prcfeettons des cordons sur la direction du mouve- At rectiligne que permettent les guides de la pAèee avec la- 11e le cordon est réuni , multiplier les longueurs réelles par les inus de Tangle qu'elles forment avec cette directioa.

GllAPlTEE ni.

reetillSiie cMiiiiiii en rermi^wc*

liS^ Le mouvement rectiligne étant prodoit par le système n, Bo pouvant naître qu'avec des guides plans, les organes ivant fournir la traastbrmatton indiquée consistent dans des ^tioBS permettant Taction mutuelle de systèmes de cette ;ure.

}omme il n'y a pas de roulement possible entre des systèmes louvement rectiligne, on voit que les organes à contact imdiat seront tous à glissement, qu'il ne peut exister de transmation directe à frottement de roulement. C'est à cause des ttements considérables qui se produisent dans ces moyens îcts de transformation qu'on préfère presque toujours les Qsformations indirectes, c'est-à-dire en passant par des transoiations intermédiaires, et notamment par le mouvement ciraire eontinu , dont nous avons reconnu les avantages. Jes siystèmes qui agissent à l'aide d'organes intermédiaires se oisent aux cordes et courroies, les articulations ne pouvant mir qu'un moyen d'assemblage entre deux mouvements rectiles indéfinis et ne pouvant fournir de v^table transforma-

tion que lorsqu'on considère les mouvements rcctilignes alternatifs. C'est alors que nous les étudierons.

Nous ne nous occuperons guère dans ce qui va suivre que des organes qui transforment le mouvement dans un rapport de vitesse constant, les seuls qu'on rencontre dans les machines; nous indiquerons toutefois comment ceux-ci devraient être modifiés pour fournir un rapport de vitesse variable.