A^ ^ V. V OD

ment circulaire, d ou : w = — et -- = — .

Les limites de vitesse sont zéro lorsque la direction delà bM passe par le centre, et V = V, lorsqu'elle passe par Textri mité des rayons perpendiculaires à la direction du mouvemei rectiligne.

889. — Il serait facile de construire la courbe des espaces paito< rus en raisonnant absolument de même que précédemmeiit. fi considérant le cas d'une bielle suffisamment longue pour qu*o puisse la considérer comme demeurant toujours parallèle à I direction du mouvement rectiligne, ie bras de la manivelle étai relativement très-petit, OD devient égal à r sin. 0, 6 état Tangle décrit par la manivelle à partir de la position moyenne, <

—- = sin. 6. La courbe des espaces devient un arc de sinusoïde

le chemin parcouru pour un angle 0 devient r — r cos. 0 = (1 — cos. ô)=rsin. vers 0.

Le mouvement circulaire continu produit toujoui^ le mouvi ment rectiligne alternatif, pourvu que la bielle soit plus gran^ que la distance du centre de rotation à la direction du mouv( ment rectiligne. C'est à cela que reviennent les conditions prt cédemment établies. Nous verrons ci-après les rapports de grai deur nécessaires pour que la réciproque puisse avoir lieu.

390. Travail de la bielle. — De ce que la vitesse de la bidi passe par zéro, aux points morts, lors du changement de sei du mouvement, on en conclut que son emploi est à l'abri d toute destruction de travail par refiet du changement du sa du mouvement.

Bien que la question dynamique ne soit pas Tobjet de cet ouvrage, toutefois les effets produits ont ici des relations avec les éléments géométriques trop importantes pour que nous ne devions pas indiquer les résultats de la science mécanique. '

391. — Occupons-nous d*abord du cas le plus simple, de celui dans lequel la bielle peut être considérée comme restant toi^jours parallèle à elle-même. En faisant la construction représentée sur la figure 324 , qui revient à porter pour un rayon r = i sur une ligne d'abscisses dont la longueur totale est 2 ic=6, 283^ des ordonnées égales à sin. 0, sin.6,...; ces angles 0. 6..... correspondant aux divisions de la circonférence en n parties égales.

L*aire de ces courbes représentera à une certaine édielle le travail engendré par l'action d'une force F constante, agis-

yr •

KXl

L 2 3 4 5 6 7 8 9 iO il la 13 14 15 16 17 18 IQ ao 21 Fig. 324.

sant à Taide de la bielle sur le bouton de la manivelle. En effet, le point d'application de cette force parcourant le petit arc < de la circonférence, son travail est Fx« projeté sur la direction de F, c'est-à-dire F* X sin. 0, 6 étant évidemment égal au complément de l'angle fait par la bielle supposée toujours parallèle à elle-même, avec la tangente au point considéré. Le travail élémentaire correspondant à Tare s sera donc représenté à une certaine échelle par le petit trapèze qui a cet arc pour base, et pour côtés les valeurs de sin. 0, et par suite le travail total transmis par la bielle à la manivelle sera représenté par l'aire entière comprise entre la circonférence développée et la courbe dont les ordonnées sont déterminées par les valeurs successives de sin. ô.

Fig. 325.

Le produit F sin. ô est nul quand la perpendiculaire abaissé de Taxe de rotation sur la bielle est égale à zéro, car alors 0 =: • ce qui correspond aux points 1 , 11 , 21 ; en ces points la bidl ne produit aucun travail. Le maximum a lieu pour sin. 0 = ou 0 = 90*, c* est-à-dire dans la figure aux diamètres vertiean: correspondants aux points 6 et 16 ; enfin la symétrie des figure montre que les deux courbes et chacune de leurs moitiés sos égales de part et d'autre.

392. Calcul de ce travail. — Le travail développé par la piifa sance F dans une demi-révolution , pendant laquelle le cherai parcouru, estimé suivant la direction de la force est 2 r, est égs à celui qu'une résistance constante Q, agissant sur nne cireoi fércnce de rayon R, consommerait pendant une demi-révolntkni on aura donc pour un tour entier et une oscillation oompièti 4Fr=2 77QR. Si donc on construit un rectangle dont la base

soit toujours 2 ir et la hauteur Q R = , la surface de ce rec-

tangle représentera le travail total développé par la résistance et sera égale à celle que circonscrit la courbe. Les points de rencontre du côté supérieur de ce rectangle avec la courbe correspondront aux points pour lesquels le travail élémentaire df la puissance et celui de la résistance sont égaux ( 1 ).

393. — La partie de la courbe que cette droite laisse au-dessous d'elle et les parties du rectangle non comprises dans h courbe, représentent les excédants successifs du travail moteai et du travail résistant qui engendrent les irrégularités du mou vementde rotation. Nous verrons comment, à Taide du volant on rend peu sensibles ces irrégularités; nous dirons seulemen

(1) Nous supposons ici qu'il s'agit d'une manivelle à double effet, c'ert à-dire que Teffort constant de la bielle change de sens à chaque demi révolution. Si Teffort était toujours de môme sens , comme cela a lieu poii la pesanteur, le travail serait évidemment nul pour une révolution com plète ; enfin, si la manivelle n'agissait que pendant une demi-révolution, résistance qui, agissant constamment sur une circonférence du rayon produirait le même travail , serait donnée par l'équation 2Fr = 2icQr.

ici que cet organe consiste en une masse pesante montée sur Taxe de la manivelle , dont le mouvement ne pouvant être arrêté brusquement aux points morts, empêche l'arrêt qui devrait se produire eu ces points » puisqu'alors TefTort de la bielle passe par Taxe, et ne tend plus à produire de rotation. Son action régulatrice est en raison de ses effets d'inertie, par suite de son poids et de son diamètre ; donc ces éléments doivent être déterminés en raison des excédants de travail que le tracé ci-dessus permet de mesurer.

894. Bielle courte. — Nous avons supposé dans ce qui précède que la bielle reste toujours parallèle à elle-même, que la direction de TefTort moteur reste constante. Il n*en est pas ainsi en réalité, et on ne peut admettre dans la pratique les résultats fournis par cette hypothèse quand la longueur de la bielle est au-dessous de cinq à six fois celle de la manivelle. On peut dans ce cas général construire graphiquement les courbes dont l'aire donne le travail produit.

Si l'on cherche le centre instantané de rotation I, et que de ce

Fig. 326.

point on abaisse une perpendiculaire sur la position primitive de la bielle, le pied de celle-ci se confond avec le point d'inter-

sectîoii de deux positions succesnves de la bielle, puisque I est le centre de rotation. La deuxième position, qui fait un angle infiniment petit avec la première, est donc la tangente voisine du cercle ayant sur la fig. 326 I D pour rayon. Si donc on appelle a Tangle décrit autour du centre I dans un déplacement infiniment petit du système, on aura dans ce déplacement élémentaire, pour lequel la figure du système reste invariable, puisqu'il ne se produit qu'une rotation autour du point I , égalité entre les quantités de travail produit par la force F agissant à Textrémité du balancier, et la force Q agissant dans là direction de la bielle, ou

FxCIXo = OxDIX«.

Si donc on prend à Téchelle donnée c/ (perpendiculaire à C I) pour représenter Teffort constant F agissant à l'extrémité du balancier, et qu'on mène Im parallèle à CI, on aura :

^ = — = —r car les triangles C D I , C / m sont semblables,

et C m représentera la force qui agit dans la direction de la bielle. Ce tracé fournit donc en chaque instant la valeur variable de Q ainsi que sa distance Ao au centre A. Il sera donc facile de calculer le produit QxAo correspondant à chacune des positions, et de construire la courbe dont les oinionnées seront les valeurs de ce produit correspondante» à des abscisses égales aux arcs décrits par la rotation du bouton de la manivelle (fig. 327), et dont les aires donneront par suite le travail de la bielle.

Fig. 327.

395. Conséquences de V obliquité delà bielle. — Quand le bouton de la manivelle passant par le point le plus bas de sa course, et que par suite le changement de sens se produit nécessairement, la direction de la bielle ne passe pas par Taxe de rotation, le moment

CraCULAlRE CONTINU EN QRC. OU RECT. ALTERNATIF. 383

de Teffort (le ]^rodmt qu'il faat multiplier par Fangle au centre, pour avoir le travail élémentaire) n*est pas nul. Jusqu'à cette position, Teffort agit dans le sens du chemin décrit par le bouton; mais, au delà de cette position jusqu'à celle où le bras de levier est nul, cet effort tend à faire rétrograder le bouton de la manivelle, qui ne persévère dans son mouvement qu*en vertu de l'inertie des pièces en mouvement. Le moment est par conséquent négatif et ne devient positif que quand le bras de levier étant devenu nul , change lui-même de direction. Par conséquent, dans cette courte période , ce moment doit être porté au-dessous de la ligne des abscisses. Un effet analogue se produit vers Fautre point mort.

II résulte de là contrariété dans le mouvement, refoulement du l>outon sur la bielle, et réciproquement; et c'est ce qui contribue à produire la vibration toujours nuisible de la bielle. Ces défauts sont d'autant plus grands que la bielle est plus courte par rapport à la manivelle, et par suite que Tangle formé par les positions extrêmes de la bielle est plus grand. La pratique a fixé la dernière valeur de ce rapport vers 6 ou 4.

Il résulte encore de Tobliquité de la bielle, sensible quand sa longueur est petite, que, dans la première moitié de la demirévolution desceudante du bouton de la manivelle, le travail est plus grand que celui que donne la supposition d'une bielle de longueur infinie, tandis que c'est le contraire dans la seconde moitié; l'inverse se produit dans la demi-révolution ascendante. Les courbes cessent d'être symétriques. C'est ce qu'on voit bien sur la figure 327 que nous empruntons à M. Moiin; les lignes ponctuées y représentent les courbes pour une longueur de bielle infinie.

S96. Du nombre de tours de l'axe de rotation. -^ Les qualités dynamiques du système bielle qui le font adopter pour la simple transmission de travail , ne sont pas accompagnées d'aussi grands avantages en cinématique. En effet, sans revenir sur les vitesses relatives déjà étudiées, ce système ne peut produire qu'une eeole rotation autour de Taxe par double oscillation du balan^

der, et par suite les solutions directes ainsi obtenues sont bien souvent insuffisantes. On a tenté quelques combinaisons poar remédier à cet inconvénient, nous décrirons les suivantes.

397. — La première offre ceci d'intéressant, qu'elle fait bien sentir l'influence de la longueur de la bielle sur le mouvement et qu'elle n'est que l'emploi , dans des conditions dynamiques spéciales, de l'application de la bielle à la production d'un mouvement continu, lorsque sa longueur ne devrait lui permettre de produire d'autre résultat que la transmission de mouvement circulaire alternatif en circulaire alternatif.

Ce système avait été proposé par o

M. Girard pour produire deux tours de la manivelle pour une oscillation du balancier.

Si on donne à la bielle une longueur telle que, dans sa position moyenne le balancier se trouve en ligne droite avec elle, suivant H G sur la figure, l'inertie des pièces en mouvement aidant, on produira deux tours de la manivelle pour une oscillation complète du balancier.

Ainsi dans la figure, le balancier passant de OA en OH, la bielle passera de AG à HG: elle passera ensuite de H G en BD pendant la seconde partie de la demi-oscillation. G et D, points pour lesquels la bielle se confond avec la ligne des centres, étant les points morts.

L'inertie aidant et l'angle GFD étant petit, lorsque le balancier revient de OB en OA, le bouton D qui sans cela rétrograderait et pixKluirait un mouvement alternatif, se dirigera vers G pour arriver en G, lorsque B sera en H. En une oscillation complète, un aller et un retour, le chemin parcouru est donc GGD -f-DGGDC = 2 tours complets.

On voit combien l'observation faite ci-dessus au sujet des bielles courtes, s'applique ici à plus forte raison; l'inconvénient

Fig. 328.

emCULAIRE CONTINU EN CIRC. OU RECT. ALTERNATIF. 385

est assez grave pour que ce système doive être jugé comme complètement défectueux pour tout appareil où des forces un peu considérables sont en Jeu.

L'appareil est d'autant plus défectueux que G B est plus grand, c'est-à-dire la bielle plus courte, les autres éléments restant les mêmes. Un seul véritable point mort se trouve en G au milieu de la course, et les conditions de maximum ne sont plus satisfaites au passage aux points G et D.

898. Mouvement à intermUtences produit à l'aide de la bielle. — On peut employer la bielle à produire un mouvement coupé par des intervalles de repos, par le système suivant, qui peut s'appliquer également au mouvement rectiligne ou au circulaire alternatif. Ges intermittences sont à étudier pour les mouvements alternatifs, dans lesquels ils se rencontrent souvent.

Soit B le centre de mouvement d'une roue (ilg. 829) qui communique, par rintermédiaire d'une bielle, un mouvement d'oscillation au levier Km, L'extrémité de la bielle porte une rainure fnn, dans laquelle passe une cheville m fixée à l'extrémité du levier Am. Ge levier se meut autour du centre A et est dis-

posé soit pour rester au point extrême où il parvient Jusqu'à une action nouvelle, soit pour appuyer constamment sur le fond de la rainure par l'effet d'une force quelconque, d'un poids ou d'un ressort, sa course vers l'axe de rotation étant dans les deux cas limitée en A A par un arrêt.

' Dans le prenner cas, lorsque le mouvemeot arrive à «m ex.trémité, la cheville m arrive aa point extrême p de la course, et quand le mouvement de la* bielle change de direction^ le levier ne reçoit pas de mouvement jusqu'à ce que l'autre extrémité » de la rainure ait rencontré la cheville et la ramèae à la position initiale; arrivée en ce point, ii y aura repos jusqu'à «e qoe Tantre extrémité m ait rencontré la ciieville.

Le mouvement du levier est ainsi intarrompu à la fin de chaque course pendant un temps qni^dépend de la longueur de la rainure. Si 1 et S sont les points qui correspondent au changement de sens do mouvement de la bielle, :2 et 4 les points qui correspondent aux positions de la bielle pour lesquelles les extréoûtés de la rainure commençait à agir, on aura le mouvement suivant pour chaque tour :

Ide i à t , k levier reste en kp, de 2 à 3 , il 8e meut de p en m, de 3 à 4 , u reste en A m , . de 4 à 1 , il se meut de m en p.

Dans le second cas, le levier étant toujours poussé vers la roue, la cheville m est toujours en contact avec l'extrémité de la rainure la plus rapprochée du centre, si ce n'est lorsque le levier est arrêté en A A: par Tarrèt k.

Quant A m s'appuie contre cet arrêt, dans la position correspondante par exemple au point 5 , il n'y a plus d'action pendant la fin de la course en arrière de la rainure. Prenons 3, 4 égal à 3, 5 sur la circonférence de la roue, le mouvement sera le suivant :

i de 1 à 5 , le levier va de Ap en Am, La roue tourne | de 5 à 4 , il reste (i\e.

( de 4 à ], Il se meut de Am en Ap.

Ces systèmes, dans lesquels la cheville en repos est rencon* trée par la bielle en mouvement, d'où résulte un choc d'autant plus grand quQ la course mn diffère plus de la course totale que pourrait produire la bielle, ne sont convenables que pour des forces minimes.