Inconvénients des courbes en cœur. — Courbes propres à

3RCULAIRE œNTlNU EN CIRC. OU RECT. ALTERNATIF. 443 remplacer avec avantage. — Les courbes en cœur produisent I moQvements rectilignes proportionnels aux rotations de se; ce résultat, avantageux dans quelques cas où Ton con- *¥€ par suite les courbes en cœur, n*est pas celui qui doit en léral être recherché pour un organe de mouvement alternatif. obI , au lieu de ces courbes qui ne remplissent pas pratiquent les conditions d*un l)on travail, surtout dans nombre de I où les angles sont aigus, causent un brusque passage du MM au mouvement de la tige qui possède un mouvement réctipie, on peut se proposer de construire une courbe dont le (mvement s*accélère uniformément depuis l'origine de la •orse de la tige Jusqu'au milieu, et se retarde ensuite unirmément depuis le milieu Jusqu'à la fin de la course, de sorte le la vitesse croisse et décroisse de quantités égales en des mps égaux. Nous allons donner ce tracé d'après M. Morin. Supposons que la course totale doive être de 0'*,20 dans une mi-révolution; pour la période d'accélération correspondante . quart de la circonférence, elle sera de 0"',10 (fig. 355). Sur le ligne d'abscisses 0 A, portons le développement de la circon-

Fig. 356.

rence correspondante à la naissance de la courbe. Prenons 0 A ;al à la moitié, et OB égal au quart de cette circonférence, et 1 point B élevons une perpendiculaire égale à la moitié (0"*)10) i la course : on aura ainsi une al)scisse et une ordonnée de l'un 38 points de la courbe de la relation des mouvements, et Hnme on sait que cette relation doit représenter un mouvement

uniformément accéléré, la coarbe sera uneparaèole dont l'axe sera la perpendicalaire OC , et dont Taxe OB sera la tangente à rorigine. Diaprés les propriétés connues de ce genre de courbe, on portera de O en D une distance égale h CD = BM = 0%I0, ou à la demi-course; on joindra le point M au point D par la ligne MD, qui sera une tangente au point M à la courbe et qui coupera OB en un point G ; en ce point on élèvera a la ligne MD une perpendiculaire qui rencontrera OC au point F, foyer de la paral)ole. Connaissant ainsi les axes et le foyer de cette courbe, on achèvera son tracé par la méthode connue. Cette portion de la courbe du mouvement étant tracée, les autres branches correspondantes aux 3*, S*, 4* quarts, doivent être exactement les mêmes , mais disposées symétriquement. On reportera de h! en F la distance OF du foyer au sommet, et l'on tracera ainsi les deux parties supérieures de la courbe de relation des mouvements. On complétera d*nne manière analogue le dernier quart, qui donnera le tracé complet de la courbe cherchée.

Cela frai , on divisera la ligne d'abscisses AO correspondante à la demi -circonférence en dix parties, on élèvera en chaque point de division des perpendiculaires limitées à la courbe. On partagera de même en dix parties égales la demi -circonférence décrite x^ 7^\^^

avec le rayon de la naissance de la A ' / / \

courbe de la came ; par chaque point A>i4/ / .,- ' \

de division on mènera des rayons sur r/'^\V .. \

lesquels on portera, à partir de cette "*"" tAT --J-p:-—-""'

circonférence, des longueurs égales v>ïr::^^ /

aux ordonnées correspondantes de la \ / j \ . / courbe. On aura ainsi autant de points \i \ \^

qu'on voudra du contour de la came "^^

(flg. $56). La courbe que Ton vient de ^*«* ^^^

tracer présente, comme on le voit d'après la figure, un contour très-continu , sans angle rentrant ni saillant.

On remarquera d'ailleurs que le choix du rayon du cercle qui correspond à la naissance de la courbe est à peu près arbî-

aRCUL^VIRE CONTINU EX CIRC. OU RECT. ALTERNATIF. 445

traire; en l^augmentant par rapport à la eoui*se à obtenir, on rend l'action de la came sur la tige moins oblique ; mais comme on accroît en même temps le chemin parcouru par le frottement, il convient de ne pas l'augmenter au delà de ce qui est nécessaire dans chaque cas. Il est utile d'observer que par suite de Tidentité des deux parties, placées inversement , de la courbe des espaces , celle de l'excentrique, la courbe peut être comprise entre deux galets, les quantités ajoutées à chaque rayon d'un même diamètre formant par leur somme une longueur égale à la course, mais non entre deux tangentes (ni par suite dans un cadre), les courbures étant différentes.

Nous avons donné en détail le tracé précédent, surtout parce qu'il montre l'application de la méthode générale qui consiste, à l'aide du tracé préalable d'une courbe rapportée à des coordonnées rectangulaires représentant la relation (qui serait formée de lignes droites dans les cas de courbes en cœur) que Ton veut obtenir entre les chemins parcourus par les deux organes, à en déduire le tracé de l'excentrique.

427. — Ce qui précède sufQt évidemment pour tracer, pour un rapport de vitesse quelconque, la forme des excentriques. Nous n'avons pas à insister sur les variations à l'infini que l'on rencontre daDS les machines, le tracé se déduira toujours facilement de ce qui précède.

Nous citerons toutefois encore une forme d'excentrique trèsfacile à exécuter, celle où l'excentrique est un cercle dont le centre est en 6, et qui tourne autour du point a ( fig. 357 ) ; ar étant la direction rectiligne assurée par des guides au galet <r, nous retombons sur l'excentrique circulaire décrit article 402, et la vitesse du mouvement rectiligne est celle de l'extrémité de la bielle dans le système composé de la bielle et de la manivelle; ai, l'excentricité étant le rayon de celle-ci, & c la longueur constante de la bielle.

438. Rainures appartenant au système tour. — Dans les divers systèmes qui précèdent, une cheville ou galet est adaptée au système conduit , une rainure ou une courbe appartenant toujours au système qui conduit.

On peut employer la disposition inverse, adapter les courbes au système conduit, la cheville ou galet au plateau mu d'un mouvement circulaire continu.

Telle est la disposition représentée dans la figure 358 , dans laquelle la direction de la rainure est perpendiculaire à celle de la barre qui ne peut se mouvoir que dans le sens de sa longueur. Il est focile de voir que le rapport des vitesses dans ce système est encore identiquement celui qui peut être obtenu avec une bielle infinie et une manivelle. Pour un angle de rotation 0 mesuré à partir de la position verticale du rayon , le mouvement rectiligne est de même égal à R (1 — COS. 0), R étant la distance de la cheville au centre. Il est bien clair que les deux systèmes ne sont cependant pas équivalents dans la pratique , à cause des frottements considérables de celui que nous étudions ici.

429. — Si l'on voulait que le mouvement rectiligne de la tige fût proportionnel à la rotation de la roue, la rainure dans laquelle glisse le galet ne devrait plus être une droite, mais prendre la forme d'une courbe facile à construire.

Divisons la demi -circonférence ae (flg. 359) en un certain nombre de parties égales, et la longueur de la course rectiligne correspondant à cette rotation , en un même nombre de parties égales aussi.

Soient m, m! deux points de division correspondants. Il faut que quand le galet fixé à la circonférence et qui parcourt la courl)e a a' sera arrivé en m, le point a de la tige Y Y' soit arrivé en m'. Si 4onc on prend ma = am\ le point a' appartient

aRCULAIRE œNTINU EN aRC. OU RECT. ALTERNATIF. 417 k la courbe que le galet doit parcourir pour obliger cette i*ai- Bure de descendre de la quantité am% en venant en m.

Fig. 359.

La suite de points ainsi déterminés formera un arc de la courbe Ulvant laquelle il faudra tracer la rainure qui , répété sur fës Fuatre quadrants, formera une courbe continue et fermée.

Pendant que le galet parcourra une demi-circonférence, la tige lescendra seulement de la quantité 2 r — a , moindre que le dianètre 2 r; c'est cette longueur qu'on divisera en autant de parties [ue la demi-circonférence pour construire la rainure. L'inter- 'alle qui sépare les deux branches de la courbe sera égal à a, le sorte que, quand le galet se trouvera à l'extrémité inférieure Lu diamètre vertical , le point a de la rainure en sera distant de ttîe longueur «.

430. Mouvement rectUigne situé dam un plan perpendiculaire ï taxe de rotation, mais ne le rencontrant pas, — Dans tout ce [oi précède (sauf toutefois la courbe étudiée art. 422), la direcion du mouvement rectiligne passe par Taxe de rotation. C'est ine condition avantageuse au point de vue des résistances pas-

idves, et sartont pour éviter de prodaire des pressions obliques et par suite ragendrant des frottements considérables. Lorsqu'on ne peut adopter cette disposition et que la direction du mouvement rectiligne passe à une distance notable de l*axe du mouvement circulaire, la méthode générale donne souvent des parties presque parallèles au mouvement recUIîgne lors du contact. On trouve dans ce cas avantage à la modifier ainsi qu*il suit :

Les longueurs qui correspondent aux diverses positions que prend Textrémité de la barre sont portées sur des droites faisant des angles droits avec les divers rayons du cercle décrit du centre de rotation comme centre , et tel que son rayon soit la longueur de la perpendiculaire abaissée du centre sur la direction du mouvement rectiligne. Les droites dont il vient d'être parlé coïncideront avec cette direction pour une rotation qui amènera un des rayons sur le rayon initial .

Supposons que les vitesses doivent être telles que, pour les rotations correspondant aux points l , 2 , 3 , 4 , 5 de la circonférence (fig. 360), la ban-e doive se trouver aux points I, II,

III , IV) V. Menons en chacun de ces points de la drconfërence des tangentes, puis du centre A traçons des cercles passant par les poiats I, II, III, qui viennent rencontrer les tangentes correspondantes aux points a, (, ^, d. On déterminera ainsi une série de points par lesqtiels on fera passer la courbe demandée. Si le mouvement rectiligne doit être uniforme, les espaces MI, ll^m, m -IV, ÎV-V sont tous égaux entw eux, comme les

CIRCULAraE CONTINU EN aRC. OU RECT. ALTERNATIF. 449

tenralles pris sur la circonférence, et la courbe est une déveppante de eercle si les espaces rectiligneset les intervalles entre ux points de division sur le cercle sont égaux en développemt ; des développantes allongées ou raccourcies, si les espaces ■t dans un rapport constant.

Il est facile d'établir l'équation d'une semblable courbe. En effet , r étant le rayon vecteur^ 6 l'angle du rayon pas- Qt par l'origine de la courbe avec le rayon vecteur (flg. 861), ? le chemin qui sera parcouru en ligne droite suivant la tannte pour un mouvement circulaire de G en a, o l'angle polaire; étant le rapport de vitesse constant , on aura : arc G a = m CP,ou04-<p=*» tang. ç. Or, a étant le rayon du cercle ,

ng. «P = et 9 = arc. cos. -, donc on a :

-}- arc. cos. - =r — V/ r* — «* , équation qui permet de dér a

rminer la valeur de r pour toute valeur de ô. Pour w = 1 , réquation devient Ô + arc. cos. — :

[uation de la développante du cercle du rayon a. 431. — Nous allons indiquer bientôt les applications de ce îrnier tracé. Ce qui précède suffit évidemment pour tracer, par 1 rapport de vitesse quelconque, la forme des excentriques dans 1 cas quelconque , et montre que le développement des courbes *olt avec la distance du mouvement rectiligne du centre de itation.