POUR HOBLOGE DE HUIT

JOUBS.

PÉEIODES.

810 minutes.

1 minute.

60 minutes.

720 minutes.

10 — 80. , (Aiguille des minutes). . .

(Aiguille des heures). •

Cas générale

639. Considérons d'une manière tout à fait générale ce prodème d*une grande importance en mécanique :

Étant donné le rapport de vitesse de deux axes, déterminer U nombre des axes intermédiaires, les proportions des roues et Us nombres de dents convenables, pour transmettre le mouvement d'un axe à l'autre.

Pour simplifier, nous sapposerons qu'il s'agit seulement de roues dentées; mais toat ensemble de pièces de rotation composé de roues, poulies, crémaillères, etc., peut être calculé d'après les mêmes principes.

La solution consiste évidemment, pour ayoir le nombre des

T„ dents des roues et le nombre des axes, à décomposer -^r- ^^

nombres premiers , à établir une formule semblable à celle de Tarticle 518, en prenant le produit de plusieurs de ces nombres pour nombre des dents d'une seule roue s*il est nécessaire, afin de rester dans les limites des nombres convenables pour les émts des roues et des pignons.

530. On ne peut procéder que par approximation dans le cas où les deux nombres ou quelques-uns de leurs facteurs sont trop considérables pour deux roues et ne sont pas décomposables en facteurs premiers, sont premiers.

Soit posé -^ = aihE. Si on ne tient pas compte de E, on

peut en général avec a nombre simple , peu élevé le plus souvent, multiplié s'il est nécessaire par une fraction égale à l'unité, obtenir une solution , mais l'on introduit une erreur de E révolutions an dernier axe pour une du premier, et la nature de la macbine indique si cette approximation est sufilsanfe.

Pour oblendr une plus grande approximation, ou si <x est un nombre premier trop grand, on détermine, comme cî-dcssus, le plus petit nombre m d'axes nécessaire et le nombre d'ailes que, d'après la nature de la macbine, il convient de donner aux pignons. Soit D le produit des nombres des dents des roues, F le produit des nombres des dents des pignons, on aura dans ce

cas 7-^ =: ~ = -=- (nous supposons que les roues conduisent). Ti F F

Au lieu de prendre :=, = a, posons — = — - — , E étant F FF

choisi aussi peu différent du reste exact que possible, s'il y en a un, et tel que F a ±: E soit dëcomposable en facteui's. L'erreur commise en modifiant ainsi la valeur de D est alors moindre et de±: E' tours du dernier axe pour F tours du premier,

±E' ou — — rotations du dernier axe pour une du premier.

Si les pignons conduisent, on prend de la même manière

T Da"+'E' "^E'

=r = — ^— ï et Terreur est de ^^^^ rotations du premier axe

pour une du dernier.

581. Premier exemple : Soit demandé d'obtenir approximativement

Ta.

Si on prend le nombre entier le plus près, 270, Terreur est

d'un tour du dernier axe poul* 270 du premier. Si d'après la

nature de la machine le rapport - est plus grand que celui qui

est permis entre les roues et les pignons, comme 269 est compris entre 8* et 8^, trois paires de roues et de pignons sont nécessaires.

Si on emploie des pignons de 10 dents, on a — - = ,

et = =— constitue un train excellent dont Ter-

reur est de de révolution du dernier axe pour un tour

du premier.

582. Deuxième exemple : Soit à obtenir un rouage propre à réunir une roue d'horloge faisant un tour en 12 heures avec une roue faisant une révolution en un temps égal à une lunaison , qui est de 39^ 12^ 44' à très peu près, de manière à montrer

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COMBINAISONS DE MOUVEMENTS. i93

peut être positif ou négatif. Pour déterminer h, on a l*équation indéterminée ay — hx = k [i] , dont toutes les solutions sont a; = a-l-ma, y = 6-(-inft, m étant un nombre entier quelconque positif ou négatif, ^ = a, y = 6 étant des valeurs conyenables pour une solution.

Soit la firaction - convertie en fraction continue et ~ Favanth q

dernière réduite, les formules ci-dessus pour les valeurs possibles de a; et y deviennent a; = jpA -|- ma, y=zqh-\' mh,

• X ph'^nia et - = , ' — - est Texpression de la fraction approchée cherchée, dans laquelle meX k peuvent être tout nombre entier positif ou négatif, h étant petit par rapport à 5 y et ax.

En effet, x=spk, y^-qk fournissent une solution, puisqn*en mettant ces valeurs dans Téquation [l] pour x et y, il vient [aq — bp)k = k^ puisque la différence

a p aq — pb 1

b q bq bq^

d*après la théorie des fractions continues.

Un grand nombre de valeurs de — peuvent être obtenues à

l'aide de Texpression ci-dessus, et par suite on peut choisir celles décomposables en facteurs. Toute la difficulté de ce procédé consiste dans le choix des valeurs convenables de k et de m. Les nombres ainsi obtenus pour a; et y sont nécessairement petits, k et m étant petits et pouvant avoir des signes différents, ce qui donne une très-grande latitude pour le choix.

Ainsi, si Ton donne à A: les valeurs 0, — 1 ^ -H ^ 9 — ^9 ^^ ^^^^^ de suite, et que dans chaque cas on prenne de semblables valeurs de m qui donnent de petites valeurs de a; et y, on décomposera chaque paire de résultats en facteurs premiers, et, ceci fidt, on calculera Terreur résultante. En procédant ainsi on obtiendra des nombres pouvant conduire une exactitude suffisante sans employer un grand nombre de roues. Des tables de focteurs premiers facilitent beaucoup les calculs.

534. Soit, par exemple, à déterminer la fraction - très- voisine de —, l'avant- dernière réduite est — ; plaçant ces nombres dans

l'expression de -, on a :

tek + mAS

X 29 Soiti» = t,A = — 1, - = — ,

Deax de ces termes seraient obtenus par le seul calcul des ré-

duites, mais non le troisième : — = 3,230 quand — = 3-214 ; on

voit que cette valeur est très-approchée.

536. Si l'on applique cette méthode à l'exemple d'un mouvement d'une roue annuelle pour une horloge, dans ce cas la frac-

tioB 7 est égale à , lavantrdemiere réduite étant ,

Texpression des fractions approchées devient :

450XA; — mX 161

dans lesquels i: et m peuvent prendre toutes les valeurs, par

exemple:

correspondant à une période de 366^ 5" 48' 58^ 6944 (erreur de 10'^ 69 avec Tannée vraie).

C'est le résultat calculé par une méthode différente par le Père Alexandre, et dqpuis par Camus et Fergusson.

L'expression :

qui eonrespond à une période de 865^ 6^ 48' 55", 38, est aussi très-convenable.

&S6. Dans un système de roues dentées, il peut y avoir avantage à, introduire une on plusieurs vis sacs fin; par exemple, dans la dernière fraction citée, le dénominateur ne peut être di- "visé en moins de 8 roues d'un petit nombre d'ailes; mais on peut ^ remplacer par deux pignons et une vis sans fin (en se rappe- ^ut que cette dernière équivaut à un pignon à une aile); on •nra ainsi les systèmes équivalents l X20X 13 ou 1 X 10X26. ^ la yfiB sans un n*est pas facile à placer, les deux termes de la action doivent être multipliés j)ar un même nombre, 4 par exemple, ce qui rend le dénominateur suffisant pour trois pi-

sn^^ . 1 *« . , . ^ 44 X 89 X 97

e'ions, et le tram devient : — — .

^^7. ]>onnons encore un exemple de Tapplication de la mé-

^^^^e , en continuant à suivre M. Willis, qui a si complètement

^*Ac5îaé cette impwtante théorie.

Soit à mouvoir un arbre des heures d'une horloge de telle sorte

^^ *ï fasse sa révolution en un jour sidéral, de manière qu1l

°*^ï^ue le temps sidéral sur un cadran, pendant que le temps

^^^''«n est marqué sur le cadran ordinaire.

^-t heures de temps sidéral équivalent à 24^ 56' 4", 0906 de

**^I>s moyen. Négligeant les décimales et réduisant en secondes,

^^ ^l>tient 86400'' de temps sidéral, qui équivalent à 86164" de

*^t>s moyen; par suite, une des roues doit faire 86400 tours

*^^^<iant que l'autre en fait 86 164 , ou, en divisant par le facteur

^^"■^tnun 4, on a la fraction irréductible

^^ï^oulant comme ci-dessus, on a Texpression :

laquelle K = — 4etm=7 donnent :

qui donne une erreur Journalière en temps sidéral de O'', 0586, ou 21'%6 en une année.

538. Un autre mode d'indiquer le temps sidéral et le temps moyen sur la même horloge, consiste à placer en arrière de Taiguille ordinaire des heures un cadran mobile plus petit que le cadran ordinaire et concentrique avec lui. Les deux cadrans sont divisés en 24 heures. L'aiguille fait sa révolution en 24 heures solaires et indique comme de coutume le temps moyen sur le cadran fixe ; un petit mouvement rétrograde étant donné en même temps au cadran mobile, la même aiguille marque sur ce dernier le temps sidéral correspondant au temps moyen marqué sur le cadran fixe.

Pour cela il faut que pendant la durée de chaque révolution de Taiguille des heures, le cadran mobile rétrograde d'un angle correspondant à la quantité que le temps sidéral a gagné sur le temps moyen, qui est de 3' 56'' 555 = 236'', 555, et comme la circonférence entière du cadran contient 86400'% on a :

Vitesse angulaire de TaigoUle des heures 86400000 «^ v 2SS000

Vitesse angulaire du cadran 236555 47311 '

Des valeurs rapprochées de cette fraction donneront des nombres propres à l'exécution de ce système.

La firaction étant réduite en firactions continues, donne

QUOTIENTS.

627 etc.