CHAPITRE XI

MouTement quelconque en mouvement d*aFrèi une eourlie.

553. Revenons au problème de produire le mouvement diaprés une courbe donnée à laide d'un mouvement rectiligne OD circulaire. Le mouvement d'après une courbe ne se présente guère dans l'industrie que p«ur faire mouvoir certains outib; 11 ne se rencontre pas dans les récepteurs , la nature ne présentant que des forces qui agissent suivant des directions constantes et qui peuvent toij^ours s'utiliser par des systèmes à monvcnaat rectiligne ou circulaire.

Le mouvement suivant une courbe ne pouvant être produit n général qu'à l'aide de guides-courbes , les résistances passives [ui s*opposcnt au mouvement par TelTet de guides de cette naure font facilement comprendre pourquoi ce genre de mouveoent n'existe pas dans l'intérieur des machines , n'est jamais mployé dans un organe de communication du mouvement, et Test en général que le mouvement final de Topératcur, quelqueois nécessaire d'après la nature du travail à effectuer.

Quoi qu'il en soit, voyons les solutions possibles de ce proilème, qui peut évidemment se poser ainsi : Tracer une covrbe fuelconque à l'aide de mouvementé rectilignes ou de mouvements irctUaires; la pièce à mouvoir ou l'opérateur, s'il n'est autre u*un outil pour tracer, étant assujetti à suivre le point qui »ec la courbe.

Cette étude va nous faire sentir comment le mouvement sui- PMVUHt être produit par une combinaison de i, la question se réduit à une application iéjik étudié» y pour produire le tracé qui résulte de I «mUMmIm» ib taui «lou vements.

!• miHSwmaf tuivABrr une coiube par mouvements

iECTILIGNES.

$ê4. Mêwmmtnfê rdëiifi, — Le mouvement rectiligne engcui wfvtut une courbe si la pièce poussée en uae rainuie courbe, et si on déplace le la ham aiue par le plan iivcliué courbe trace Si oa lui donne une vitesse exactement égale et i à €BUe du plan incliné (art. 328), on obtiendra ainsi le ; niMt d'an point de la barre. On voit que dans ce mouvement, les longueurs perpendiculaires au plan incliné courbe ae sont nullement modifiées, tandis que celles parallèles au moa- ^ement du plan sont celles résultant du déplacement égal et parallèle du plan sur lequel s'effectue le tracé. Dans cette disposition, la barre qui se meut le long du plan

courbe, agit comme si elle se mouvait simultaiiëment suivait deux droites formant les deux côtés du petit plan incliné, formé par la tangente en un point à la courbe motrice.

La facile réalisation de la disposition qui permet d*obtenir le tracé du mouvement relatif par la combinaison de deax mouvements rectilignes, comme on vient de le dire, telsqoe Tun d'eux soit celui qui correspondrait au mouvement du plan sur lequel doit s* effectuer le tracé du mouvement relatif, conduit à obtenir expérimentalement les courbes figuratives du mouvement, les courbes ayant pour abscisses les temps et ponr ordoo* nées les espaces parcourus, dont nous avons montré rimp<x<tance. Par ce moyen on obtient ainsi de suite les divers éléments du mouvement; nous prendrons pour exemple an appareil propre à Tétude de la cbute des corps. Supposons un plan mûd'im mouvement rectiligne et uniforme (on préfère souvent le mouvement circulaire, qui occupe moins de place; mais lorsquMl s'agit, comme dans le cas que nous allons examiner, d'un plan enroulé sur un cylindre qui tourne uniformément, le tracé sur le plan tangent est le même que sur le cylindre), et en regard de ce plan un poids cylindro- conique, qui porte un crayon dont la pointe s'appuie sur le papier, et qui porte des oreilles glissant sur des fils verticaux destinés à le diriger dans sa cbute. En appuyant sur un levier^ on fait partir le poids à un mo- f*«- *»•

ment donné ; on attend pour cela que le mouvement du plan ou du cylindre soit devenu uniforme. Il suit de cette disposition, que si on a réglé la position du crayon de façon qQ*fl s'appuie sur le papier sans exercer un frottement trop considé-

rable, il tracera une ligne qui, sur une feuille de papier appiilaée sur le pian, aura la forme indiquée par la figure 439.

Menons par L'origine de la courbe une droite horizontale, irenons sur cette droite des longueurs égales, et par leurs extrénités traçons des perpendiculaires jusqu'à la rencontre de la »arbe; il est clair, puisque le mouvement du plan est uniforme, [ue la longueur de chaque verticale est Tespace parcouru par e corps, après un certain temps représenté par chaque horiumtale. Or, on reconnaît par la mesure directe que pour une ibscisse double de la première , la verticale est égale à 4 fois la )remière, pour une triple égale à 9 fois...: donc, les espaces Msreowrus sont proportionnels aux carrés des temps employés à es parcourir. On peut multiplier ainsi, les vérifications, qui sont Diyoors trèft-satisfaisantes. Pour rendre plus rapides les mesures lei lignes verticales et horizontales, on peut employer du papier p^rtW» tracer par avance sur une feuille de papier ordinaire ipl^Jlpijlli ..verticaux et horizontaux équidistants. ,,jf^lfi^,.f}n emploie le tracé de semblables courbes dans la dyna* $glffljftie^ pour la mesure du travail, et cçtte méthode forme la mplll^ l'expérimentation mécanique. C'est à M. Ponceletque |Hi|||i|lLriioim d'avoir montré la grande utilité de cette mé.

^jp Interpose un ressort entre le corps qui doit être mis

Fig. 440.

n mouvement et le point d'application de la puissance, un pineau attaché à ce ressort tracera sur une feuille de papier mue ans une direction perpendiculaire à celle de l'efifort , une courbe, «es ordonnées de cette courbe représenteront les tensions du essort, et par suite seront proportionnelles aux eHorts, tandis

que les abscisses seront proportionnelles au chemin parcoura par le corps en mouvement, à Taide duquel , par une communication de mouvement, on fait mouvoir le papier dans un rapport de vitesse constant. On aura donc ainsi une courbe figtmtîve du travail consommé, faire de la court)e représentent ce travail, à une certaine échelle facile à déterminer ém chaque cas.

556. Combinaison de deux mouvements rectilignes, — B'oiic manière générale, pour produire un mouvement suivant un fiément de courl)c à l'aide de mouvements rectilignes, il contient d*employer les mouvements de deux droites qui se coupent(n(Kis les supposerons à angle droit dans tout ce qui va suivre, poor plus de simplicité, mais tout ce que nous dirons s'applique «n cas où l'inclinaison serait quelconque) pour tracer toute cspèee de courI)es. Les points de rencontre de ces deux droites détomdneront des successions de points disposés en raison des viteiKi de ces droites, et pourront servir à tracer tout genre de coorbes.

Ces droites, en effet , ne seront autre chose que les roordbnnies rectilignes d'une courbe rapportée à deux axes parallèles aux mouvements rectilignes , et puisque toute courbe peut être représentée par une équation qui représente les relations de ses deux coordonnées, toute courbe sera aussi tracée par deux lignes dont les longueurs varieront en raison des relations exprimées par Féquation de la courbe.

Mais, ainsi que nous Tavons vu^ pour donner un mouvement varié à une droite en raison de la variation des coordonnées, il faut employer une courbe, et cette courbe sera évidenunent la même que celle qu'il s'agit de tracer.

En effet, soit AB (fig. 441) une barre douée d'un mouvement rectilignc: plaçons sur cette barre une courbe saillante a^, et assujettissons une tringle eD à se mouvoir en ligne droite en près- Fig. 44i.

sant sur cette courbe par l'effet d'un ressort, le point D extrémité de cette droite aura un mouvement rectiligne de progrcsak»

m raison ctes distances des divers points de la courbe à l*axe AB^ et si au point D on place un outil, celui-ci tracera sur un plan qui aurait k même mouvement que AB , en sens contraire, ane courbe ctf^'j identique k la courbe «é.

547. C'est on traçant ainsi les courl)es qui correspondent à toutes les seetions d'une surface par des plans parallèles équidisUnta , que M. CoUas trace dans sa machine à graver les médaillea, sar un plan parallèle à ces sections, une sucoession de KNutes qui représentent admirablement la surface modèle. 11 bat^ pour réaliser cette machine, placer à angle droit le modèie it la planche, les faire marcher de quantités égales pour chaque ioorbe,et faire suivre le modèle par la touche dans le plan paallèle au plan à graver sur lequel la courbe est tracée par le »arin qui fait corps avec la touche.

568. Supposons maintenant le système précédent répété à angle droit du premier, qu'une barre A^ B^ douée d'un mouveneBt rectiUgBe porte une courbe a^'^"^ sur laquelle s'appuie une riBgie CD (ûg. 444) comme la barre AB porte la courbe of ê%

Fig. 4i2.

Fig. 443.

sur laquelle s*appuie la tringle cd, ces deux droites étant terminées par des rainures IJ, VJ' perpendiculaires à leur direction (fig« 443 et 443), un point de chacune de ces rainures donnera une des coordonnées perpendiculaire à la direction du mouvement. Un outil placé à la rencontre des deux rainures IJ, T J', tra-

cera une courbe qui sera déterminée par le transport rectiligne des deux premières.

La courbe ainsi déterminée par l'intersection de deux coordonnées sera telle, que si le mouvement des deux barres estk même, la vitesse la même, les deux courbes directrices a'6',t'6', devront être identiques avec la courbe à obtenir a 6.

Ainsi si la courbe à tracer est donnée par une équation ODtR ses coordonnées x et y,' la courbe aé aura évidemment par cobstruction toutes les mêmes valeurs de y (Vécue des y étant Taxe de A' B') que la courbe af&j augmentée d'une constante /, égale i la longueur de cd.

Par la même raison , les valeurs de x de la courbe a' 6' donneront les valeurs de x de la courbe a 6, en les augmentant d'une même quantité l' égale à la longueur de CD.

Puisque, par hypothèse, les mouvements rectiiignes sont teb que pendant que la tige cd parcourt tous les points de c^^, ceux de la tige CD parcourent tous les points de a'€', les abscisses X seront déterminées par la courbe a"^" et les ordonnées y par la courbe ol & (comme il résulte de la disposition des rainures).

Si par exemple la courbe cherchée était une ellipse dont l'équation rapportée aux axes de AB, A'B' j[\l!lt

la courbe a" 6", pour laquelle toujours x^=x — / (/ étant la longueur de la tige CD), devra avoir une équation de forme telle qu'en remplaçant x — / par x, on retoml)e sur Téquation prudente, autrement les valeurs de x — /pour les valeurs de y ne sauraient être toutes celles voulues. Les deux courbes a'6', « ^ seront donc :

a' (x—l)^-\-by^-\-c^(x—l)y-\-d*= 0,

et a'x*+6*(y— /')* + ^'^(y — ^')+^'=<>î c'est-à-dire deux ellipses identiques à la première transportées à des distances /et T, parallèlement à Taxe des x et à Taxe des}. La solution se réduit en réalité à un transport de courbe. Ô59. Au point de vue pratique, remploi de deux barres <ioi

MOUVEMENTS SUIVANT DES COURBES. 55i

représentent les deux coordonnées, qui se coupent et portent deux rainures pour emboîter Toutil qui trace la courbe, est défectueux. Pour le cas de simples tracés de courbes, la disposition équivalente que ce double système a pour but de remplacer serait préférable. Elle consisterait à faire communiquer un mouvement convenable au plan sur lequel la courbe doit être tracée par l'action d'une des barres , pendant qu'une seule pièce portant l'outil tracerait la courbe sur ce plan par Teifet du mouvement relatif des deux coordonnées.

S60. Dans le cas où les vitesses du mouvement rectiligue ne

seraient pas égales, si— est le rapport des vitesses, Tune des n

barres portera une courbe représentée par la même équation que celle de la courbe, en multipliant par m la coordonnée de cette courbe qui ne doit pas être fournie par son mouvement, et Taatre courbe obtenue en multipliant l'autre coordonnée par n. !Les deux coordonnées qui doivent se correspondre pour donner la courbe cberchée arriveront ainsi simultanément dans les positions convenables. Les courbes obtenues seront différentes des premières, mais de même degré et de même nature; ainsi, dans l'exemple qui précède, ce seront des ellipses allongées ou raccourcies qui fourniront les mêmes coordonnées que les courbes du cas précédent.

20 MÔU\TMEyr^SL'n'A>T UNE COURBE PAR MOUVEMENTS CIRCULAIRES.

661. Le seul mouvement circulaire d'un point, l'assemblage à Taide duquel il est maintenu à une distance constante du centre, ne peut servir qu'à tracer un cercle. Un mouvement circulaire ferait naître un mouvement d'après une courbe, un arc de courbe, par mouvement relatif, c'est-à-dire si l'on communique an plan un mouvement circulaire égal et continu à celui du rayon du cercle. Si celui-ci pousse une pièce dont l'extrémité

oM LIVRE DEUXIÈME.

est engagée dans un guide courbe, cet effet est produit, nais on v<Ht qu'alors, en réalité, il y a double mouvement, e*est-ih dire mouvement circulaire et mouvement rectiligne simultaBè par la variation des rayons vecteurs de Texccntrique. Nous allMi étudier dans un instant cette solution en détail , mais auparavait voyons comment la combinaison de deux mouvements de mène nature , de deux mouvements circulaires engendrant deux mMvements rectilignes, peut servir à déterminer les deux coordMh nées rectilignes d'une courbe, et par suite cette courbe.

Combinaison de deux mouvements circulaires pour obtenir les coordonnées rectilignes d'une courbe,

662. Le mouvement circulaire pouvant se transformer m mouvement rectiligne suivant une loi voulue, à Taide d'exeet-^ triqnes ayant une forme convenable, il est possible (llg. 445) de tracer une courbe quelconque à Taide d'un double système analogue à celui déjà décrit pour le cas du mouvement rectiligne , c'est-à-dire à l'aide de règles guidées qu'un ressort applique contre les excentriques, ces excentriques étant mon- ^*«- **^tés sur les axes qui sont mus d'un mouvement circulaire. Celte solution n'est guère que la précédente, en y ajoutant le mode spécial du mouvement des coordonnées produit par le mouvemeol circulaire.

Les règles forment deux coordonnées dont Tin tersection décrit la courbe voulue ; si elles portent toutes deux des rainures, on crayon placé à leur rencontre tracera une courbe. Ce systèise ne peut guère être de bon usage dans la pratique; on le rendra moins imparfait en assemblant une des règles avec le plan sur lequel doit être tracée la courbe, l'autre règle portant assemblé à son extrémité l'outil qui doit la tracer.

563. Le tracé des excentriques convenables pour chaque cas se déduira facilement de la forme de la courbe à obtenir.

Eti effet, rapportant la courbe à tracer à des axes de coordon* nées parallèles aux règles et passant par les centres de rotation , appelant p et pMes valeurs variables des raycms vecteors des aeentrlqoes poar les points où les règles les toncbent, on aura pour éhaciae point ainsi déterminé de la courbe à tracer

/et t étant les longueurs des règles.

La courbe à tracer étant connue, on déterminera un certain fiombre m de valeurs de x pour des positions éqnidistantes ré- Nirtfes sur toute la longueur de la courbe, puis divisant la efr^ »>nférence de cercle en m parties égales, on portera sur cbaque ayon vecteur la longueur correspondante de x , diminuée de In ongueur / de la règle. On opérera de même pour obtenir l'autre xcentrique.

Si , au lieu d'être la même que celle du premier, la vitesse angulaire de cet excentrique était p fois plus grande, il faudrait K>rter la longueur déterminée, comme précédemment, sur des -ayons faisant des angles la partie m de la circonférence multi- >liée par/?.

Si la courbe à tracer est connue par son équation , celle-ci ionnera toutes les valeurs de p et p', et on pourra remplacer. Uns leur expression, p et p' par p + / et p'+/', ce qui montre lue les relations qui doivent exister entre les rayons vecteurs des leox excentriques sont précisément celles qui lient les coordonnées de la courbe à tracer.

664. On emploie avec avantage la courbe engendrée par leox mouvements circulaires pour Tétode d'un mouvement. LorMiQ*il s'agit d'un mouvement rectiligne, on dispose TapparoU ainsi qu'il suit : Sur un axe mû par une communication la mouvement reetiligne dans un rapport de vitesse constant [par le passage d'une corde chargée d'un poids sur une poulie ^*elie fait tourner, par exemple), et ayant par suite une ntesse proportionnelle à celle de ce mouvement, on monte un plateam sur lequel on peut tracer des lignes. Ce plateau ferait [Mirtie du mouvement circulaire, si c'était celui-ci qu'il s'agit

bU LIVRE DEUXIÈMB.

d'étadier : c'est à la même solution que Tétude des deux mouYdmentsest ainsi ramenée.

En avant du plateau recouvert de papier dont nous venons de parler, on dispose un mécanisme d'horlogerie donnant un mouvement de rotation uniforme à un pinceau imbibé d*encre de Chine. Si le disque était immobile , il est clair qu'il tracerait lue circonférence de cercle sur le disque E. Mais si celui-ci tooroe, le pinceau tracera une ligne courbe qui dépendra à la fols da mouvement du pinceau et de celui du disque. Le mouvement du pinceau étant connu , la forme de la ligne courbe fera connaitre le mouvement du disque.

Fig. 446.

Fig. 447.

Soit ABC la courbe tracée sur le disque par le pinceau, et A^c le cercle que le pinceau y eût tracé si le disque n*avait pas été mis en mouvement. Marquons les arcs A6, Ac^ que le pincean qui se meut uniformément parcourt en une secondé.

Le pinceau était au point A lorsque le disque a commencé à se mouvoir. Au bout d'une seconde, le pinceau, au lieu de tracer le point b, a marqué le point B, qui est venu se placer sous si pointe en vertu de la rotation du disque; celui-ci a donc tonné de Tanglc bOB pendant la première seconde. Au bout dedeox secondes, le pinceau placé eue a tracé le point G, donc pendant les deux premières secondes le disque a tourné de l'angle eOG, et ainsi de suite pour les secondes suivantes.

De la mesure de ces angles résulte la constatation des lois da mouvement. Ainsi dans le cas des expériences sur le frotteosent

MOUVEMENTS SUIVANT DES COURBES. 5SI5 de M. Morin , le disque étant mû par la corde supportant un poids qui entraînait la caisse qui exerçait le frottement étudié, on a trouvé que les angles des premières secondes étaient entre eux comme les nombres 1,4, 9 , c'est-à-dire qu'ils étaient proportionnels aux carrés des temps employés pour les décrire. Les clieniins parcourus par la surface frottante étant proportionnels à ces angles, on voit que le mouvement est semblable à celui dû à la pesanteur, c'est-à-dire à l'action d'une force constante.

Cest ainsi que s'établit la constance de Tintensité du frottement, et l'on voit la précision que peut fournir ce mode d'expérimentation, l'utilité de l'emploi des courbes tracées par deux Qouvements circulaires et la manière d'interpréter le double aouvement qui les produit.

Combinaison d'un mouvement circulaire et d'un mouvement recliligne.

565. La solution pratique qui est généralement la meilleure 6sQlte.de la combinaison d'un mouvement rectiligne avec un ml mouvement circulaire, un point d'une courbe étant déterliné par la position d'un point sur une droite faisant un angle oulu avec une droite donnée, ayant tourné d'une certaine oantîté comme rayon d'un cercle. Ce système est précisément elul qui est employé pour rapporter une courbe des coordonnées oUUres, pour en obtenir l'équation dans laquelle on fait entrer omme variables la longueur du rayon vecteur et Tangle qu'il lit en chaque instant avec sa position initiale.

On ne doit pas s'étonner de rencontrer ici, comme solution du •roblème consistant à décrire une courbe , les deux systèmes de oordonnées qu'emploie la géométrie analytique, car c'est réellenentsur la notion de continuité du mouvement que repose la coneption de celles-ci , et surtout bien clairement celle des coordonlées polaires. C'est un des exemples les plus importants et les (K^ns contestables de l'introduction de la cinématique dans la léométrie.