Voyons comment on peut résoudre le problème prati

OM LIVRE JDEUXIËMS.

^lement. Soit d*abord une coarbe fermée daas Tintéi quelle on peut troayer un point tel que toutes lee • pMient par ce point ne puisaent renoontrer la ooi deux pointe.

Soit ABD cette courbe (fig. 448), menons par l Witre du mouvement circulaire, une ligne diamétrak eeltB ligne assemblons une droite OT, qui ne puisse que giister suivant sa longueur. L*extrâgiité O tracera évidMDBMOt la courbe ABD, si l*extrémité T se meut par reffet d'une cheville passant dans une rainure, suivant une courbe telle que Téquation de la courbe à tracer étant en coordonnées polaires p = f (a>), celte de la courbe directrice soit, / étant la longueur OT, p'=p — /=^ H, courbe liée à la première par une relation bien simple.

Le tracé de la courbe directrice s'obtiendra donc en d*nne quantité / tons les rayons vecteurs de la courii mécaniquement.

Cette courbe est une concJmdt, nom donné plus q au cas où la ligneà laquelle sont menés tous les raye que Ton prolonge d*une quantité constante pour oouii>e, est une ligne droite; elle est tracée au moyea vement circulaire et d'une courbe directrice qui, ec Tavons vu pour les excentriques, fournit le moyen i Faîde d'un mouvement circulaire , le mouvement rec vaut une loi donnée d'une barre guidée en ligne droii

S67. Examinons maintenant le cas des courbes fer leaqueUes on ne peut trouver un point tel que toute passant par oe point ne renoentrent la courbe c points, telle par exemple que la courbe p, faisant en B (flg. 449). Le problème n'est pas soiuble comm( car alors le rayon vecteur ne peut avoir qu'une si

«or chaque positkni, et ne peut fournir le tracé de plus de deux »int8 d'une même courbe pour chaque tour de rotation.

Mais si on fait mouvoir la ligne OT non plus suivant PQ , mais suivant une direction faisant un angle constant avec le rayon vecteur, le point T peut alors décrire le ncsud de la courbe.

En effet (flg. 450), quand PQ sera passé à la position F Q\ si le poiAt 0 s'approchant du centre C, vient en O' , le point T passera en T et aura rouvé un mouvement rétrograde relativement à celui de PQ, tracé pourra donc avoir lieu en général. ^>B ne peut donner une méthode générale pour déterminer ^S^e COT que doit foire la ligne OT avec le rayon vecteur, ^ longueur OT la plus convenable pour tracer une courbe ^^ée. Ce sera à i*aide des données spéciales a chaque cas, ou

Fig. <4âO.

' 4]uelques tâtonnements, qu'on parviendra à les déterminer. >earrait dans tous les cas calculer cette courbe pour diaque

valeur adoptée; mais cette possibilité théorique n'a pas de valeur d'application.

568. En effet, la courbe cherchée qui doit être tracée par le

point T (fig. 450) étant donnée par son équation en coordonnées

polaires p = <p (o)), CT étant le rayon vecteur p, MCT étant

Tangle m, et pour déterminer la courbe directrice que doit suivre

le point 0, le triangle TOC donne :

. r^r^r. OTsln.TOC ^^^ , /. OTsin.T0C\ sin.TCO= — ou TCO=angle(sin. — — J.

Posant la longueur constante 0T = / et l'angle constant

TOC=a,TCO=ang. fsln. -^-^j.

Cet angle ajoutéàrangleTCM=(o, correspondant au point T de la courbe , fera donc connaître Tangle 0 CM = fk>' et la longueur OC = p' , puisque tout est déterminé dans le triangleOGT. On aura donc Téquation en coordonnées polaires de la courbe décrite par le point 0 , courbe qui devra être de la nature de celles étudiées en premier. Son équation générale sera

, , /. /sin.a\ , ^^ , ,

o/ = (o+ang. (sin. 1 ,p=OCr=/cos.a4-^/p2/isin.«(i.

Les valeurs de p et w permettront en chaque instant de calculer p' et oi\ et l'on déterminera l'angle a et la longueur/, de telle sorte qu'elle puisse fournir une équation de la courbe directrice du point O , telle qu'elle soit une courbe sans nœuds (!)•

569. Nous avons supposé dans ce qui précède que Ton fiûsait mouvoir le rayon vecteur d'un mouvement circulaire, et qu'en même temps on déterminait un mouvement rectiligne suivant la longueur de ce rayon , nécessairement alternatif pour obtenir toute courbe fermée.

La barre suivant laquelle se produit le mouvement rectiligne étant entraînée circulairement , on voit qu'il se produit ici un

(1) L^équation en coordonnées rectilignes irune courbe qui peut être rencontrée par une droite en m points étant du degré m , on comprend que les calculs ci-dessus indiqués seraient toujours d*une extrême cemplication et le plus souvent échapperaient aux ressources de raoalTie*

MOUVEMEiNTS SUIVANT DES COURBES. 529

phénomène d'une nature différente de ceux étudiés jusqu'ici ; les guides du mouvement rectiligne ne sont plus absolument fixes , comme nous Tavons supposé jusqu'à présent. Chaque point de la barre qui décrit une ligne droite pendant que celle-ci est mue d'un mouvement circulaire, par Teffet de deux mouvements simultanés, parvient identiquement à la même position que si les deux mouvements s'étaient succédé. L'étude des effets produits par ce transport général sera l'objet du chapitre suivant.

Dans la pratique et malgré la simplicité théorique du système de coordonnées polaires, il y a avantage à communiquer à la surface sur laquelle doit être tracée la courbe un mouvement circulaire , et à produire séparément le mouvement rectiligne de la barre, cette direction se confondant avec Taxe de la barre qui tout entière, ou seulement le point 0 de celle-ci, se meut dans la direction d'un rayon passant par le centre du cercle.

570. Reprenons les deux cas qui correspondent aux deux positions de la ligne OT relativement au rayon vecteur, c*est-à- ^re aux deux genres de courbes précédemment indiqués, et "voyons ce que deviennent dans la pratique les procédés auxc|aels nous sommes conduits par l'emploi des guides simples.

I. Dans les arts, l'organe qui communique le mouvement rectiligne au porte-outil est presque toujours la ,vis (la crémaillère, les cordes pourraient être également employées), l'écrou étant en général le porte-outil. La vis et la surface sur laquelle le tracé doit être fait étant mues par les deux roues d'un même engrenage , fourniront les deux cas suivants :

1<* L'axe de la vis qui met l'outil en mouvement étant parallèle à la surface sur laquelle on veut tracer une courbe et passant parle centre de rotation, cet outil s'avancera des longuenrg p,p' , pendant qu'un rayon de la surface décrit les angles co , b/ ,

et si les deux mouvements sont uniformes, on a ~ =:a=Const. ;

c'est-à-dire qu'on trace ainsi une courbe plane, une spirale d'Archimède (p =rao>), par deux mouvements uniformes.

11 est facile de déterminer a d après le rapport des rayons to rooesde Tengrenage et le pas de lavis. En effet, (m a rw=:i^i»', r^r^ étant les rayons des roues qui font tourner la surface et k

vis, /tétant le pas de lavis, - sera la progression de Técrou pour

une partie n d*un tour égal à f' co' :

Swf^

p r^ ta* Sicr' p

stantp==-,w= = et-r-

^ n r m ta

rp

Donc en chaque in-

quantité constante.

2* L'axe du mouvement circulaire est parallèle à la dlrectfra du mouvement rectiligne, ou peu incliné sur celle-ci , et la direction de Toutil passe par Taxe du mouvement circulaire.

Le tracé de la courbe sera fait sur la sutface d*nn cylindre. S les deux mouvements sont uniformes, si le cylindre et laîis sont menés par deux roues dentées engrenant ensemble, m aura un système à Taide duquel on pourra tracer une hâlec sur la surfoce du cylindre, à Taide duquel on pourra taiiler sur un cylindre une vis d'un pas quelconque mi disposant de roues d'engrenage dont les rayons soient dans un rapport convenable.

En effet, R étant le rayon de la roue montée sur Taxe du cylindre, pour un tour de la roue de rayon / montée sur Taxe de la vis, Técrou avance du pas p de cette vis et trace une fraction d'hélice sur le cylindre (puisque le mouvement rectilîgne et le mouvement circulaire sont uniformes).

P^ Le pas P de cette hélice sera égal à —,

qui met l'outil en mouvement et de celle tracée sur le eytodrt correspondent chacun à un tour de chaque roue d'engrenage ) 2 7rR, îTr/, c'est-à-dire qu'on a :

pr^

V\p = r^ : R,d'où P=

obtiendra donc telle valeur qii*on désirera de P en faisant

' convenablement le rapport — .

marquons qii*aa lieu de faire marcher Toutil et tourner le bre^ on pourrait théoriquement faire avancer le cylindre son axe et tourner routil.

jflqoe tout Fart du tour repose sur les considérations précés. Il est évident qu'en resserrant suffisamment le pas des es et des hélices , ou en employant des outils suffisamment \j de manière que leurs traces se superposent^ ces systèmes îssent le moyen d'cMenir à Taide du tour des surfaces plaies cylindres , des cônes , etc.

l. II. C'est encore dans Fart du tour que la seconde soluqui permet le tracé des courbes de formes accidentées, e son application, dans un genre de tour dit tour à guiUoqui sert à tracer des ornements sur des surfaces à Taide courbe directrice» En se reportant à la flg. 450 , la courbe riœ sur laquelle s'appuie le pcnnt 0 est appelée rosette , la OT qui porte Toutil en T se nomme la touche. question géométrique, qu'il faut résoudre à chaque instant dans l'emploi de cet instrument, peut s'énoncer ainsi : Trouver une ro' sette pour une courbe donnée. Ce qui revient à astreindre le mouvement rectlligne à se produire suivant une loi convenable, loi qu'une courbe peut re- /* présenter.

572. Ce problème est facilement résolu par un tracé. En effet, sott AB la courbe à reproduire (flg. 452), et CT, Fîg. 462. ^^ — ^^ fuyons vecteurs. On connaît

rinelinaisoB CTO de la touche sur ne rayon yecteur et la longueur OT. Prenant un point quetueT sur un de ces rayons, nous pourrons tracer T(y , Ht par O' une parallèle à CT% le point 0' de la courbe

sera le point qui devra être tracé par la touche , le point T étant en T", point de rencontre avec GT de la ligne O^V parallèle à (y T . La suite des points ainsi déterminée donnera le tracé de la rosette.

573. MM. Lantz et Bétancourt ont décrit un petit instniment fort simple inventé par la Gondamine pour tracer avec facib'té une rosette correspondant à une courbe donnée, et permettre par une opération simple de déterminer les rosettes qui correspondent à divers points pris pour centres des rayons vecteon, afin d'adopter le tracé qui fournit la rosette la moin^ anguleuse, celle qui convient le mieux , par suite , pour le tranii du tour.

ABGD (fig. 453) est une règle percée d'une rainure dans toute sa longueur; sur la partie AB s'assemble une pointe, si Ton veut obtenir seulement la conchoïde de la courbe cherchée, one barre O B dans le cas que nous traitons ici. La règle ABCDest embrassée par les tenons E et G d'une seconde règle , percéeaossi d'une rainure, et pouvant glisser sur la première, un barillet L monté sur la règle £G et assemblé par un fil à l'extrémité de la

Fig. 453.

première règle tend à produire cet effet. Une pointe N, faisant corps avec ABGD, tendra donc à se rapprocher du centre fixe F formé par une troisième pointe assemblée avec la deuxièni^ règle.

Soit T le contour d'une tête, par exemple (et il est ccurieox

s voir que la Gondamine semblait se poser, en 1730, le proème résola de nos Jours par Tinvention du tour à portrait), >ar lequel on cherche la rosette la plus convenable. Après avoir scoupé ce profil sur une carte, on le colle sur une autre RS. Dsaite on prend à volonté un point P pour centre; on perce les ;ux cartes en ce point, et on les attache sur un plan en y enoçant la pointe P ; après quoi, on applique la pointe N sur le condor du relief de la tète découpée ; on tourne ensuite à la main tout système, en faisant toujours porter la pointe N sur le bord de i découpure; ou, mieux encore, on ne fait que tourner d*une lain la carte sur son centre, en tenant de Tautre la machine xe, et en faisant attention à ce que la pointe N ne quitte pas { hofd de la carte découpée, action que facilite Teffet du res- )rt renfermé dans le barillet. La pointe B tracera la rosette bercbée.

Da tracé de» courbes*

S74. Ce qui précède renferme Texposé des méthodes pouvant onduire au tracé des courbes à Taide de mouvements rectignes ou circulaires combinés. Les résultats obtenus semblent eu importants quant à la variété des courbes qu*il est possible obtenir sans guides spéciaux, si Ton observe que les plus rends géomètres du siècle dernier, Descartes, Pascal, Roberal, de Lahire, Réaumur, Newton, Mac-Laurin, etc., se sont ^ucoup occupés de la question. Ce sont surtout les courbes igendrées lors du roulement, du transport des guides, les cueux théorèmes fournis par la cycloïde notamment, qui avaient it concevoir Tespoir de résultats qui n*ont pu être atteints, limant de côté pour un instant ce cas où le guide du mouveent se transporte lui-même, moyen simple de tracer la courbe igendréepar le mouvement relatif d'un point, et qui, comme >iis le prouverons bientôt, ne peut, avec l'emploi des guides is mouvements simples, fournir que le tracé d'une famille parsoUère et limitée de courbes, nous passerons en revue les prin-

Ô3i LIVRE DEUXIÈME.

cipaax résultats obtenus dans les divers systèmes de coordonnées,

les moyens de tracer des courbes sans direetrice spéciale. La solution toujours possible dans le cas contraire, n^est pas supérieure à la construction d'une courbe par points, puisqu'il âuit partir de courbes aussi difficiles à obtenir, qu'on ne sait construire que de cette manière.

Nous Siipposerons toujours, dans ce qui \'a suivre, lorsque le système de coordonnées comportera deux mouvements, qu'ils seront dans un rapport de vitesse constant; il n'en saurait être autrement, en général, qu'en employant pour produire un mouvement varié, des courbes d'une nature analogue à celle des courbes à tracer, ce qui ne rentre plus dans le cas considéré UA.

676. P Un mouvement rectiligne ne peut engendrer qu'une ligne droite, c'est la règle qui sert à tracer celle-ci.

2*» Detix mouvements rectilignes correspondent au système ordinaire de coordonnées. Ils permettent de tracer toute espèce de courbes, mais en employant des courbes directrices de même nature que la courbe à tracer.

Un point d'une droite portant deux saillies qui glissent dans deux rainures droites, qui ont par suite des mouvements rectilignes de vitesses variables (mesurées, comme on l'a vu, par des projections sur les axes), trace un ellipse. Ce curieux tracé rentre dans la série de ceux que nous étudierons plus loin. Nous traiterons en même temps du cas où deux points de la droite sont assujettis à suivre deux circonféTences de cercle.

â° Un mouvement circulaire ne peut tracer qu'une circonférence du cercle; c'est le compas qui est employé à cet effet, instrument presque aussi simple que la règle pour tracer une ligne.

4* Un mouvement circulaire et un mouvement rectiligne : c'est le système des coordonnées polaires.

La vis, la crémaillère, qui donnent un mouvement reetiligne

ayant an rapport de vitesse constant avec la vitesse de rotation , permettent d'obtenir facilement les tracés :

De la spirale d'Archimède (p =<!(«)) sar le plan de rotation;

De l'hélice sur le cylindre dont les génératrices sont parallèles à Taxe de rotation ;

D^une ligne hélicoïdale sar un cône droit, dont la projection est une spirale d'Archimède, les génératrices de ce cône étant inclinées sur Taxe de rotation.

Le mouvement rectiligne produit par le glissement dans des rainures, lorsque les guides qui limitent le mouvement sont ou une ligne droite ou un cercle, fournit le tracé de la amckéide et du limaçon de Pascal,

Soit DD une directrice rectiligne; menons par le centre G une droite quelconque, et à partir du point C où elle coupe la droite, prenons une longueur constante CM = a; le lieu des points ainsi déterminés appartient à la courbe dite conchoUde proprement 'dite. Elle sera obtenue par le mouvement du

Fig. 466.

rayon CM portant une partie g^ssante CM, dont la cheville C sera assujettie à glisser dans une rainure pratiquée suivant Diy.

La conchoîde a deux brandies, puisqu'on peut porter la longueur CM des deux eôtés du point C.

Si au lieu d'une droite on prend pour directrice une circonférence de cercle, et pour pôle un point situé sur cette circonférence, on a le limaçon de Pascal^ courbe obtenue en l)ortant sur une corde mobile, à partir du point de rencontre avec la circonférence, une longueur constante C M = C M' =«.

On peut é^idemment obtenir ce tracé avec des rainures et une pièce glissante, comme dans le cas précédent.

Il est facile de voir qu'en coordonnées polaires, Taxe polaire étant la ligne OX, Téquation de cette courbe est p == 2rcos. (o±:fl.

En debors de ces courbes, on ne peut tracer la conclmà d'une courbe donnée que par remploi d'une rosette de même ordre que la courbe à tracer, en se servant d'une courbe directrice qui fasse croître le rayon vecteur pour chaque angle décrit solvant une loi déterminée.

5° Deux mouvements circulaires ne peuvent donner des courbes qu'en raison des lois de ces mouvements, ce qui revient à dire en raison de la nature des courbes qui transforment en mouvements convenables les mouvements de rotation des arbres à rapport de vitesse constant, courbes qui équivalent en réalité à de véritables rosettes montées sur leurs axes. Il n'y a d'exception que pour la famille de courbes correspondant au rapport de vitesse constant; ainsi lorsque Tun des mouvements circulaires est entraîné par l'autre, on a un moyen simple de tracer les courbes de la famille des épicycloïdes ; on arrive de même à tracer les développantes de cercle. Ces questions seront étudiées aux combinaisons de vitesses.

6" Coordonnées focales. Un système de coordonnées qui pent s'appliquer assez facilement en mettant à profit ta flexibilité des cordes, est le système de coordonnées focales, dans lequd ia position d'un point est définie par la distance d'un point à deux points fixes ; ou à un point et à une droite fixe. Il fou^

lit an mode de génération pour les courbes du second degré, ai ont des équations très-simples dans ce système, savoir :

L*ellipse p -f- p' = 2 a;

L'hyperbole p — p' = 2 a;

La parabole p = p', p' se rapportant à la distance à une droite xe.

Ellipse. — Si on prend un fil de longueur égale à la somme 3S rayons vecteurs , qu'on en attache les extrémités à deux >iDtes fixées aux foyers et qu'on tende le fil à Faide d'un style, >ut point marqué par le style ainsi guidé appartiendra à Tellipse, ni sera ainsi tracée d'un mouvement continu.

Fig. 438.

FJg. 459.

Hyperbole. — F étant un foyer de l'hyperbole (fig. 459) au- [ùel est fixée l'extrémité d'un fil; si on appuie ce fil contre un ayon d'un cercle dont le centre soit à l'autre foyer, un style endant toujours le fil tandis que le rayon s'éloigne de l'axe race l'hyperbole, puisque la différence des rayons vecteurs reste onstante.

Parabole. — Un fil étant de même attaché au foyer F (fig. 458), i on le tend contre le côté d'une équerre dont le long côté a une ongueur égale à celle du fil , lors du mouvement de glissement le cette équerre un style placé à la rencontre du fil et de la tranche de l'équerre tracera une parabole.

On voit que grâce à la flexibilité des fils, les propriétés des ections coniques fournissent un moyen de les tracer par des ombinaisons assez simples.

576. Développantes. — La flexibilité des fils fournit le moyen

de tracer par le simple mouvement circulaire d'un fil tocyoon tendu et préalablement enroulé autour d'une courbe, la déve* loppante de cette courbe. Les développantes de cercle sont donc d'un tracé facile, grâce à ce mode particulier de génératioa.